Λυμένο προτεινόμενο θέμα στην άλγεβρα και στο τριώνυμο α λυκείου

ΕΚΦΏΝΗΣΗ 

Δίνεται η εξίσωση 2x² + 2x + 3 - λ = 0, λ ∈ R (1)

α) Αν λ = 7 να λύσετε την εξίσωση

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε:

γ1) Να βρείτε το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ

γ2) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι σταθερό

γ3) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές

ΛΎΣΗ

α) Αν λ = 7 να λύσετε την εξίσωση

Για λ = 7, η εξίσωση (1) γίνεται:

2x² + 2x + 3 - 7 = 0 2x² + 2x - 4 = 0

Για να λύσουμε αυτή την δευτεροβάθμια εξίσωση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τις ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Στην εξίσωσή μας, α = 2, β = 2, και γ = -4.

Πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα (Δ = b² - 4ac):

Δ = 2² - 4 * 2 * (-4) Δ = 4 + 32 Δ = 36

Επειδή Δ > 0, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Τώρα υπολογίζουμε τις ρίζες x₁, x₂:

x₁,₂ = [-2 ± √36] / (2 * 2) x₁,₂ = [-2 ± 6] / 4

Έτσι έχουμε δύο ρίζες:

x₁ = (-2 + 6) / 4 = 4 / 4 = 1 x₂ = (-2 - 6) / 4 = -8 / 4 = -2

Άρα, για λ = 7, οι ρίζες της εξίσωσης είναι x = 1 και x = -2.

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες

Για να έχει η εξίσωση (1) δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, η διακρίνουσά της πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (Δ > 0).

Στην εξίσωση 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2, β = 2, και γ = 3 - λ.

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα Δ:

Δ = β² - 4αγ Δ = 2² - 4 * 2 * (3 - λ) Δ = 4 - 8 * (3 - λ) Δ = 4 - 24 + 8λ Δ = 8λ - 20

Για να έχει η εξίσωση δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, πρέπει Δ > 0:

8λ - 20 > 0 8λ > 20 λ > 20 / 8 λ > 5 / 2

Άρα, η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για λ > 5/2.

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε:

Για να έχει η εξίσωση (1) πραγματικές ρίζες, η διακρίνουσα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός (Δ ≥ 0). Από το προηγούμενο ερώτημα, ξέρουμε ότι Δ = 8λ - 20.

Έτσι, για πραγματικές ρίζες, πρέπει:

8λ - 20 ≥ 0 8λ ≥ 20 λ ≥ 5 / 2

γι) Να βρείτε το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ

Για μια δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής αx² + βx + γ = 0, το γινόμενο των ριζών (P) δίνεται από τον τύπο:

P = γ / α

Στην εξίσωσή μας 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2 και γ = 3 - λ.

Επομένως, το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ, είναι:

P(λ) = (3 - λ) / 2

Άρα, το γινόμενο των ριζών είναι P(λ) = (3 - λ) / 2.

γ2) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι σταθερό

Για μια δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής αx² + βx + γ = 0, το άθροισμα των ριζών (S) δίνεται από τον τύπο:

S = -β / α

Στην εξίσωσή μας 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2 και β = 2.

Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι:

S = -2 / 2 S = -1

Το άθροισμα των ριζών είναι S = -1, το οποίο είναι μια σταθερή τιμή και δεν εξαρτάται από το λ. Έτσι, αποδείξαμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι σταθερό.

γ3) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές

Για να έχει η εξίσωση (1) δύο αρνητικές ρίζες, πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι εξής συνθήκες:

1. Δ ≥ 0: Για να είναι οι ρίζες πραγματικές. Ήδη βρήκαμε ότι αυτό ισχύει για λ ≥ 5/2.

2. S < 0: Για να είναι το άθροισμα των ριζών αρνητικό (απαραίτητη συνθήκη για να είναι και οι δύο αρνητικές ή μη θετικές). Ήδη βρήκαμε ότι S = -1, το οποίο είναι πάντα αρνητικό. Άρα, αυτή η συνθήκη ισχύει πάντα.

3. P > 0: Για να είναι το γινόμενο των ριζών θετικό (απαραίτητη συνθήκη για να έχουν οι ρίζες το ίδιο πρόσημο, και εφόσον το άθροισμα είναι αρνητικό, πρέπει να είναι και οι δύο αρνητικές).

Πρέπει λοιπόν P(λ) = (3 - λ) / 2 > 0

(3 - λ) / 2 > 0 3 - λ > 0 (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2, το οποίο είναι θετικό και δεν αλλάζει την φορά της ανισότητας) 3 > λ λ < 3

Πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι συνθήκες λ ≥ 5/2 και λ < 3.

Σε μορφή διαστήματος, λ ≥ 5/2 είναι [5/2, +∞) και λ < 3 είναι (-∞, 3).

Η τομή αυτών των δύο διαστημάτων είναι:

[5/2, 3)

Άρα, η εξίσωση (1) έχει δύο αρνητικές ρίζες για λ ∈ [5/2, 3).

Συνοπτικά οι απαντήσεις:

• α) Για λ = 7, οι ρίζες είναι x = 1 και x = -2.
• β) Η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για λ > 5/2.
• γ1) Το γινόμενο των ριζών είναι P(λ) = (3 - λ) / 2.
• γ2) Το άθροισμα των ριζών είναι S = -1, το οποίο είναι σταθερό.
• γ3) Η εξίσωση (1) έχει δύο αρνητικές ρίζες για λ ∈ [5/2, 3).