Μάθε για τις ιδιότητες των συναρτήσεων άλγεβρα β λυκείου γενικής παιδείας

 Το αρχείο περιλαμβάνει  αναλυτικη θεωρία για τις ιδιότητες των ασκήσεων με σχήματα  και με πρόσθετες ασκήσεις για κατανόηση .Πατήστε ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΉΣΕΩΝ

Ο πυρετός του ασθενή και η έννοια της μονοτονίας ...... άλγεβρα α λυκείου

      Ο   πυρετός  του  ασθενή και η έννοια    της     μονοτονίας

      Από την σειρά          «    Οι έννοιες Μαθηματικών   »    

Στόχος : Η κατανόηση της έννοιας μονοτονίας –αύξουσα-φθίνουσα.

        Ο πυρετός είναι (ένα μέγεθος) που  προσδιορίζει την υγεία ενός ασθενή.’Οταν ο πυρετός ανεβαίνει καθώς περνά ο χρόνος  το άλλο μέγεθος τότε η εξέλιξη του ασθενούς είναι άσχημη.

Άπό το παραπάνω παράδειγμα  τα μεγέθη Πυρετός  και χρόνος  αποτελούν μια  συνάρτηση .Όσο μεγαλώνει  ο χρόνος  πχ (από τις 8 à9à10 κλπ ) ώρες όταν  αυξάνεται και ο πυρετός τότε  τη συναρτηση αυτή την ονομάζουμε αύξουσα.

Θα μπορούσε όμως καθώς μεγαλώνει ο χρόνος  ο πυρετός να μειωνόταν οπότε τη συνάρτηση θα την ονομάζοουμε φθίνουσα.

Τι παρατηρείτε καθώς μεγαλώνει το χ από τις 6 00 πρωινή μέχρι  και την 9 00 πρωινή;

Τι παρατηρείται από την 9 00 μέχρι και την 12 00 ;

Συμπέρασμα : Όταν  σε μια συνάρτηση  μεγαλώνει  η μια μεταβλητή το χ  και ταυτόχρονα μεγαλώνει και η άλλη μεταβλητή ψ τότε η συνάρτηση ονομάζεται αύξουσα.

‘Οταν σε μια συνάρτηση μεγαλώνει η μια μεταβλητή το χ και ταυτόχρονοα μικραίνει η άλλη μεταβλητή Ψ τότε η συνάρτηση ονομάζεται φθίνουσα.

Τι πλεονέκτημα  έχω όταν γνωρίζω ότι μια συνάρτηση είναι αύξουσα ;

Μπορώ να προβλέψω  αν η επόμενη τιμή της συνάρτησης δηλαδή το f(6:30)  θα μεγαλώσει περισσότερο από την προηγούμενη τιμή της f(x)  καθώς μεγαλώνει η ώρα από τις  600 στις 6 30.

Το ίδιο και για την επόμενη τιμή δηλαδή f(7 00) δηλαδή την θερμοκρασία του ασθενούς στις 7 00

Από την θερμοκρασία  στις 6 30 f( 6 30).

Συμπέρασμα : Όταν ξέρω ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα από τις  6 300 μέχρι και τις 9 00 καταλαβαίνω ότι κάθε μισή ώρα που μεγαλώνει το χ θα ανεβαίνει και ο πυρετός.

Ερωτήσεις από το παραπάνω συμπέρασμα :

‘Οταν η συνάρτηση  πυρετού ενός ασθενούς είναι αύξουσα  ποια θερμοκρασία θα είναι πιο μεγάλη :

Α) Αυτή που έχει στις 8 το πρωί ή αυτή που θα έχει στις 12 00 ;

Β) Αυτή ου θα έχει στις 15 00  ή αυτή  που θα έχει στις 20 00

‘Οταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β έχω κάνει σωστή θεραπεία αντιβιοτικού ή πρέπει να το αλλάξω;

Απαντήσεις

Α) Εφόσον έχω την πληροφορία ότι η συνάρτηση  μεταξύ του χρόνου και της θερμοκρασίας είναι αύξουσα  αυτό σημαίνει ότι όσο μεγαλώνει τ ο χρόνος από τις 8 00  μετά 9 00  μετά  10 μετά 11 00 κα ιμετά 12 00 τότε θα ανεβαίνει και η θερμοκρασία του ασθενούς χωρίς να  περιμένω να πάει η αντίστοιχη ώρα να δω αν έχει μεγαλώσει.

Δηλαδή απο τις 8 00  αν η θερμοκρασία ήταν f(8 00)=38,2  δεν θα περιμένω να πάει 12 00 να δω ότι θα είναι μεγαλύτερη f(12 00) =39.2   θα είμαι σίγουρος (πρόβλεψη ) ότι η θερμοκρασία στις 12 00 θα είναι πιο μεγάλη από ότι στις 8 00 δεν θα ξέρω όμως πόσο  ακριβώς.

Β) Το ίδιο θα ισχύει και για το ερώτημα αυτό.

Από την στιγμή που έχω την πληροφορία  ότι η συνάρτηση είναι  αύξουσα όσο μεγαλώνει η ώρα θα μεγαλώνει και η θερμοκρασία του ασθενούς (δεν θα ξέρω βέβαια πόση θα είναι  ακριβώς).

Αρα όταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β  θα πρέπει να σκεφτώ ότι δεν έχουμε κάνει καλή διάγνωση στον ασθενή προφανως το αντιπυρετικό που του δώσαμε δεν ειναι το σωστό γιατί αντί να κατεβαινει η θερμοκρασία του ανεβαίνει.

Αυτό το συμπέρασμα το βγάζω επειδή προ γνωριζω προς τα που θα κινειται η θερμοκρασία (πανω –αυξάνεται ) ή  (κάτω μειώνεται ) από το είδος της μονοτονίας μιας συνάρτησης.

‘Οταν η συνάρτηση  πυρετού ενός ασθενούς είναι φθίνουσα  ποια θερμοκρασία θα είναι πιο μεγάλη :

Α) Αυτή που έχει στις 8 το πρωί ή αυτή που θα έχει στις 12 00 ;

Β) Αυτή ου θα έχει στις 15 00  ή αυτή  που θα έχει στις 20 00

‘Οταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β έχω κάνει σωστή θεραπεία αντιβιοτικού ή πρέπει να το αλλάξω;

Απάντηση :

Εφόσον γνωρίζω ότι η συνάρτηση  είναι φθίνουσα συμπεραίνω ότι όσο περνά η ώρα (δηλαδή μεγαλώνει η τιμή του χ ) θα μειώνεται η θερμοκρασία.

Αυτό μπορείς να το δεις στο γράφημα από τις 9 00  και μετά.

‘Αρα σαν συμπέρασμα στην περίπτωση αυτή ο ασθενής έχει  πάρει το σωστό αντιπυρετικό και η διάγνωση είναι καλή .

Πως θα καταλαβαίνω μια συνάρτηση αν είναι αύξουσα ή φθινουσα από τη γραφική παράσταση ;

Δίνεται η παρακάτω γραφική παράσταση μιας συνάρτησης  f(x)=x-2

Στον παρακάτω πίνακα Τιμών παρατηρείστε  ποιες τιμές βάζουμε στο χ και τι παίρνουμε σαςν αποτέλεσμα. Τα κόκκινα βελάκια στον άξονα χχ΄και στον άξονα ψψ΄δείχνουν ότι καθώς μεγαλώνει το χ μεγαλώνει και το ψ . Τα αντίστοιχα δείχνουν και τα μπλε βελάκια όταν μεγαλώνει το χ μεγαλώνει και το ψ. ‘Αρα η συνάρτηση είναι αύξουσα.

 

 

Παράδειγμα φθίνουσας συνάρτησης : μελέτη απο τη γραφική της παράσταση :

Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης   όπως παρακάτω :

Από τις τυχαίες τιμές που βάζουμε στο χ  παίρνουμε αντίστοιχες τιμές σαν αποτέλεσμα . Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι καθώς  μεγαλώνουμε τις τιμές του χ  μικραίνουν οι τιμές που παίρνουμε στην συνάρτηση. Το κόκκινο βελάκι στον άξονα χχ’ δείχνει ότι από την μια τιμή χ1=0 πάνω στην χ2=1. Όμως η  f(0)=4  ενώ η  f(1)=3. Μεγάλωσε το χ αλλά μίκρινε το ψ. Αυτό μας δείχνει μια φθίνουσα συνάρτηση.

 

 

 

 

 

 

Η λογαριθμική συνάρτηση ως αντίθετη συνάρτηση της εκθετικής

 Σε προηγούμενο άρθρο  είχαμε αναφερθεί στην αντίστροφη συνάρτηση γενικά και τις ιδιότητές της που έχει .

Στο παρόν άρθρο θα παρουσιάσουμε  ένα παράδειγμα αντίθετης συνάρτησης και όπως περιγράφει ο τίτλος του άρθρου "Η λογαριθμικη συνάρτηση ως ατνίθετη της εκθετικής "

Για να δείτε το αρχείο πατήστε εδώ