ΕΡΩΤΉΣΕΙΣ ΘΕΩΡΊΑΣ ΠΆΝΩ ΣΤΟΝ ΚΎΚΛΟ ΚΑΙ ΕΡΩΤΉΣΕΙΣ ΚΡΊΤΙΚΉΣ ΙΚΑΝΌΤΟΤΗΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ Α ΓΥΜΝΑΣΊΟΥ

ΕΚΦΩΝΉΣΕΙΣ

Τι είναι ο κύκλος;

Πώς ονομάζεται η σταθερή απόσταση όλων των σημείων του κύκλου από το κέντρο του;

Πώς συμβολίζεται η ακτίνα ενός κύκλου;

Τι είναι η διάμετρος και πώς σχετίζεται με την ακτίνα;

Πώς ορίζεται η χορδή σε έναν κύκλο;

Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή χορδή ενός κύκλου;

Πότε δύο κύκλοι θεωρούνται ίσοι;

Πώς ονομάζεται το τμήμα του κύκλου που περιλαμβάνει το κέντρο και την ακτίνα;

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ κυκλικού δίσκου και κύκλου;

Τι συμβαίνει αν ενώσουμε δύο σημεία ενός κύκλου με μια ευθεία γραμμή που περνά από το κέντρο;

Ερωτήσεις αυξημένης κριτικής ικανότητας:

1. Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα $r$, ποια είναι η σχέση μεταξύ της ακτίνας και της διαμέτρου του; Μπορείς να εξηγήσεις γιατί αυτή η σχέση ισχύει πάντα;
2. Αν έχεις δύο κύκλους διαφορετικού μεγέθους, πώς μπορείς να αποδείξεις μαθηματικά ότι δεν είναι ίσοι;
3. Ένας μαθητής λέει ότι κάθε χορδή είναι και διάμετρος. Είναι σωστό; Αν όχι, ποια είναι η διαφορά μεταξύ χορδής και διαμέτρου;
4. Αν δύο κύκλοι έχουν την ίδια διάμετρο αλλά διαφορετικά κέντρα, είναι ίσοι; Γιατί ή γιατί όχι;
5. Αν ένα σημείο βρίσκεται εκτός του κύκλου, ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη απόσταση που μπορεί να έχει από το κέντρο;
6. Δίνεται κύκλος με κέντρο $O$ και ακτίνα $r$. Αν μεγαλώσουμε την ακτίνα κατά 50%, πώς αλλάζει η διάμετρος;
7. Μπορεί ένας κύκλος να έχει άπειρες ακτίνες; Γιατί;
8. Αν δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες, τι μπορείς να συμπεράνεις για την απόστασή τους από το κέντρο του κύκλου;
9. Μπορεί να υπάρχουν δύο διαφορετικοί κύκλοι που έχουν μόνο ένα κοινό σημείο; Αν ναι, σε ποια περίπτωση συμβαίνει αυτό;
10. Ένας μαθητής σχεδίασε έναν κύκλο και είπε ότι όλες οι χορδές του είναι ίσες. Είναι δυνατόν; Πότε θα μπορούσε να συμβεί κάτι τέτοιο;

ΣΧΈΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΎ ΓΩΝΙΏΝ ΕΠΊΚΕΝΤΡΗΣ ΚΑΙ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΈΝΗΣ

Ερωτήσεις αυξημένης κριτικής ικανότητας:

1. Γιατί η γωνία $xOy$ λέγεται επικεντρική γωνία; Πώς διαφέρει από μια εγγεγραμμένη γωνία σε έναν κύκλο;
2. Αν αλλάξουμε το μέγεθος του κύκλου, αλλά διατηρήσουμε την ίδια επικεντρική γωνία, τι συμβαίνει με το αντίστοιχο τόξο της; Μένει το ίδιο ή αλλάζει; Εξήγησε.
3. Αν δύο διαφορετικές επικεντρικές γωνίες έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο, τι μπορούμε να συμπεράνουμε για τα μέτρα τους;
4. Μπορεί μια επικεντρική γωνία να είναι μεγαλύτερη από 180°; Αν ναι, τι μορφή θα έχει το αντίστοιχο τόξο της και τι σχέση έχει με το υπόλοιπο τόξο του κύκλου;
5. Αν έχουμε δύο επικεντρικές γωνίες που είναι ίσες, αλλά βρίσκονται σε διαφορετικούς κύκλους, πώς συγκρίνονται τα αντίστοιχα τόξα τους;
6. Δίνεται ένας κύκλος με δύο επικεντρικές γωνίες, εκ των οποίων η μία είναι διπλάσια της άλλης. Πώς συγκρίνονται τα αντίστοιχα τόξα τους;
7. Αν μια επικεντρική γωνία είναι οξεία, τι μπορούμε να πούμε για το αντίστοιχο τόξο της; Μπορεί ποτέ να είναι μεγαλύτερο από τη μισή περιφέρεια του κύκλου;
8. Μπορεί δύο διαφορετικές επικεντρικές γωνίες σε έναν κύκλο να έχουν το ίδιο αντίθετο τόξο; Αν ναι, υπό ποιες συνθήκες;
9. Αν διπλασιάσουμε το μέτρο μιας επικεντρικής γωνίας, τι συμβαίνει με το μήκος του αντίστοιχου τόξου στον ίδιο κύκλο;
10. Γιατί το μέτρο ενός τόξου εκφράζεται σε μοίρες αντί για μονάδες μήκους; Μπορείς να προτείνεις έναν τρόπο να εκφράσουμε το τόξο σε μήκος;

Γεωμετρίας πρόβλημα:Υπολογίστε το εμβαδόν της χρωματισμένης περιοχής του κύκλου

 

Υπολογίστε το εμβαδόν της έγχρωμης επιφάνειας του σχήματος γνωρίζοντας ότι το τμήμα των 12 cm που φαίνεται εφάπτεται στον εσωτερικό κύκλο και είναι παράλληλο στην οριζόντια ακτίνα του τεταρτημορίου.

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δυο κύκλων γεωμετρία λυκείου

 

Τί ονομάζουμε εφαπτομένη ενός κύκλος και ποιες ιδίότητες έχει; γεωμετρία

 

Εφαπτομένη κύκλου

Μια ευθεία που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον κύκλο λέγεται εφαπτομένη του κύκλου 

Η εφαπτομένη:(ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ)

• Είναι κάθετη στην ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής.
• Σε κάθε σημείο του κύκλου είναι μοναδική.

Θεώρημα 

Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

Πόρισμα

Τρια σημεία ενός κύκλου δεν μπορεί να είναι συνευθειακά.

Τι ονομάζουμε διάκεντρο και ποια είναι η σχέση της διακέντρου με τις ακτίνες δυο κύκλων ;

   

Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Έστω κύκλοι (Ο, R) και (Κ, ρ) με R > ρ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΚΟ που ενώνει τα κέντρα των δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος. Έστω ΚΟ = δ. • Αν ισχύει δ > R + ρ τότε οι κύκλοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. • Αν ισχύει δ = R + ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο τομής τους με τη διάκεντρο. • Αν ισχύει R – ρ < δ < R + ρ τότε οι κύκλοι έχουν δύο κοινά σημεία τα οποία είναι τα άκρα της κοινής χορδής τους. • Αν ισχύει δ = R – ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά. • Αν ισχύει δ < R – ρ τότε ο κύκλος (Κ,ρ) είναι  εσωτερικός του κυκλου (Ο,R). Θεώρημα  Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της  κοινής χορδής τους. Στην περίπτωση που οι δύο κύκλοι είναι ίσοι, η κοινή χορδή είναι μεσοκάθετος της διακέντρου. Θεώρημα  Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κα θεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου.

 

Κύκλος θέση δυο κύκλων εγγεγραμμένες επίκεντρες γωνίες ασκήσεις γεωμετρίας

Εκφωνήσεις 

Στις παρακάτω ασκήσεις  μπορείτε για να βρείτε βοήθεια να πατήσετε τη λέξη με υπερσύδεσμο.
Θα σας οδηγήσει στην αντίστοιχη θεωρία .

                       

1. Να υπολογίσετε την εγγεγραμμένη γωνία α στα πιο κάτω σχήματα. (Να δικαιολογήσετε) 

(β.6)

2. Δίνονται οι κύκλοι (Κ,5cm), (Λ,3cm). Να βρείτε:

1. Τη θέση των δυο κύκλων αν η διάκεντρος τους είναι ΚΛ = 2cm 

2. Τη θέση των δυο κύκλων αν η διάκεντρος τους είναι ΚΛ = 6cm

3. Να υπολογίσετε το μήκος της διακέντρου ώστε οι κύκλοι να  εφάπτονταιεξωτερικά .(β.3)

3. Nα υπολογίσετε τις γωνίες  και του τριγώνου και το μέτρο του μικρού τόξου στο πιο κάτω σχήμα. (Να δικαιολογήσετε)

4. Σε κύκλο (Κ,R) δίνονται τα τόξα , και . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

5. Δίνεται κύκλος (Ο,R).  Φέρουμε τη διάμετρο ΒΓ και από το Γ την χορδή ΓΔ ώστε το τόξο ΒΔ=60°.  Στο σημείο Δ φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου που τέμνει την προέκταση της διαμέτρου ΓΒ στο σημείο Α.  Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές.

6. Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 6cm και 8cm . Να βρείτε τη ακτίνα του κύκλου που περνά από τις τρεις κορυφές του τριγώνου

Σχέση επίκεντρης γωνίας - τόξου - χορδής - αποστήματος γεωμετρία

Θεωρία

 

 

 

 

 

 

 

Ασκήσεις και θεωρία στον κύκλο γεωμετρία α λυκείου

 Το αρχείο περιέχει θεωρία και στη συνέχεια  ασκήσεις στο κεφάλαιο Κύκλος από τη γεωμετρία της α λυκείου.
Για να το δείτε ή να το κατεβάσετε πατήστε εδώ

Επίκεντρη γωνία Σχέση επίκεντρης γωνίας και αντίστοιχου τόξου Μέτρηση τόξου 1. Τι είναι επίκεντρη γωνία και τι αντίστοιχο τόξο; μαθηματικά β γυμνασίου

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β.1.12 Επίκεντρη γωνία Σχέση επίκεντρης γωνίας και αντίστοιχου τόξου Μέτρηση τόξου 1. Τι είναι επίκεντρη γωνία και τι αντίστοιχο τόξο; Τι

Σχέση μεταξύ της επίκεντρης και της εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο του κύκλου ,γεωμετρία β γυμνασίου

Μάθε για τα στοιχεία του κύκλου γεωμετρία β γυμνασίου

 

Ασκήσεις στον κύκλο και στις εγγεγραμμένες γωνίες γεωμετρία α λυκείου

 

Για να δείτε το αρχείο πατήστε εδώ