Κύκλος που Εφάπτεται στους Άξονες: Μια Σημαντική Ιδιότητα μαθηματικά β λυκείου προσανατολισμοόυ

Στην Αναλυτική Γεωμετρία, ο κύκλος που εφάπτεται και στους δύο άξονες, x και y, αποτελεί μια ειδική και σημαντική περίπτωση. Η γνώση αυτής της ιδιότητας μας επιτρέπει να βρίσκουμε την εξίσωση του κύκλου πολύ πιο εύκολα, χωρίς να χρειάζονται πολύπλοκες πράξεις.

Βασική Αρχή

Όταν ένας κύκλος εφάπτεται σε έναν άξονα, η απόσταση του κέντρου του από αυτόν τον άξονα είναι ίση με την ακτίνα του.

Επομένως, αν ένας κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξονες, τότε:

• Η απόσταση του κέντρου από τον άξονα x είναι ίση με την ακτίνα r.

• Η απόσταση του κέντρου από τον άξονα y είναι επίσης ίση με την ακτίνα r.

Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του κέντρου (x0​,y0​) θα είναι αριθμητικά ίσες με την ακτίνα, δηλαδή $|x_0|=r$ και $|y_0|=r$.

ΕΞΊΣΩΣΗ ΚΎΚΛΟΥ

Η γενική εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο K(x0​,y0​) και ακτίνα r είναι:

Ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το κέντρο, έχουμε τέσσερις περιπτώσεις:

Τεταρτημόριο	Συντεταγμένες Κέντρου	Εξίσωση Κύκλου
1ο ($x>0,y>0$)	K(r,r)	$(x-r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$
2ο ($x<0,y>0$)	K(−r,r)	$(x+r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$
3ο ($x<0,y<0$)	K(−r,−r)	$(x+r{)}^2+(y+r{)}^2=r^2$
4ο ($x>0,y<0$)	K(r,−r)	$(x-r{)}^2+(y+r{)}^2=r^2$

Εφαρμογή στην Επίλυση Προβλημάτων

Αυτή η "συντόμευση" είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε ασκήσεις όπου δίνεται ένα σημείο από το οποίο διέρχεται ο κύκλος.

Παράδειγμα: Έστω ένας κύκλος που εφάπτεται στους άξονες και διέρχεται από το σημείο A(2,1).

• Το σημείο A(2,1) βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, άρα και το κέντρο του κύκλου θα είναι στο ίδιο τεταρτημόριο.

• Το κέντρο του κύκλου είναι K(r,r) και η εξίσωσή του είναι $(x-r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$.

• Εφόσον ο κύκλος διέρχεται από το A(2,1), οι συντεταγμένες του σημείου ικανοποιούν την εξίσωση:

  
  
  
  

• Άρα, υπάρχουν δύο δυνατές τιμές για την ακτίνα: $r=1$ ή $r=5$.

• Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο διαφορετικοί κύκλοι που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος.