Σύστημα εξισώσεων:
y = log₂(5x + 4)
y = 3 + log₂(x - 1)
Λύση:
Βήμα 1: Ισότητα των δύο εκφράσεων για το y
Δεδομένου ότι και οι δύο εξισώσεις έχουν το y ως άγνωστο, μπορούμε να τις θέσουμε ίσες μεταξύ τους:
log₂(5x + 4) = 3 + log₂(x - 1)
Βήμα 2: Μεταφορά όλων των λογαρίθμων στην ίδια πλευρά της εξίσωσης
log₂(5x + 4) - log₂(x - 1) = 3
Βήμα 3: Χρήση του κανόνα διαίρεσης λογαρίθμων
log₂[(5x + 4) / (x - 1)] = 3
Βήμα 4: Μετατροπή της λογαριθμικής εξίσωσης σε εκθετική
Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των λογαρίθμων που λέει ότι αν logₐ(b) = c, τότε a^c = b.
2³ = (5x + 4) / (x - 1)
Βήμα 5: Επίλυση της προκύπτουσας εξίσωσης
8 = (5x + 4) / (x - 1)
Αφού πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με (x - 1), παίρνουμε:
8(x - 1) = 5x + 4
8x - 8 = 5x + 4
3x = 12
x = 4
Βήμα 6: Υπολογισμός της τιμής του y
Αντικαθιστώντας το x = 4 σε μία από τις αρχικές εξισώσεις (π.χ. την πρώτη), βρίσκουμε:
y = log₂(5*4 + 4)
y = log₂(24)
Λύση του συστήματος:
Το σύστημα εξισώσεων έχει μία μοναδική λύση:
x = 4
y = log₂(24)
Συμπέρασμα:
Το σημείο (4, log₂(24)) είναι το σημείο τομής των δύο γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων που ορίζονται από τις δύο εξισώσεις του συστήματος.
