Φυσικό εκκρεμές με ράβδο και δίσκο φυσική γ λυκείου προσανατολισμού

Φυσικό εκκρεμές με ράβδο και δίσκο

Εκφώνηση

Ένα φυσικό εκκρεμές αποτελείται από δύο στερεά σώματα:

• Ράβδος: λεπτή, ομογενής, μάζας m και μήκους L.
• Δίσκος: λεπτός, ομογενής κυκλικός δίσκος, μάζας M και ακτίνας R, σταθερά συνδεδεμένος στο κάτω άκρο της ράβδου.

Το σύστημα περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από οριζόντιο άξονα στο πάνω άκρο της ράβδου (σημείο P). Η απόσταση από το σημείο P μέχρι το κέντρο μάζας του δίσκου είναι L.

Σχηματική αναπαράσταση

P

L

Δίσκος (M, R)

Δεδομένα και σχέσεις

• Ροπή αδράνειας ράβδου ως προς P: I_ράβ,P = (1/3) m L²
• Ροπή αδράνειας δίσκου ως προς κέντρο μάζας: I_δίσκ,CM = (1/2) M R²
• Θεώρημα παραλλήλων αξόνων: I_P = I_CM + M d²
• Εξίσωση ροπών: Στ = I_ολ · θ̈
• Ροπή επαναφοράς: Στ = −(mgL/2 + MgL) sinθ

Ζητούμενο

Να υπολογιστεί η συνολική ροπή αδράνειας I_ολ του συστήματος (ράβδος + δίσκος) ως προς το σημείο περιστροφής P, σε συνάρτηση των m, M, L, R.

Υποβολή

Λύση

Η συνολική ροπή αδράνειας ως προς το σημείο P είναι το άθροισμα:

I_ολ = I_ράβ,P + I_δίσκ,P.

1. Ροπή αδράνειας ράβδου

Δίνεται:

I_ράβ,P = (1/3) m L².

2. Ροπή αδράνειας δίσκου ως προς το P

Για τον δίσκο γνωρίζουμε τη ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας του:

I_δίσκ,CM = (1/2) M R².

Η απόσταση του κέντρου μάζας του δίσκου από το σημείο P είναι:

d = L.

Με το θεώρημα παραλλήλων αξόνων:

I_δίσκ,P = I_δίσκ,CM + M d² = (1/2) M R² + M L².

3. Συνολική ροπή αδράνειας

Άρα:

I_ολ = I_ράβ,P + I_δίσκ,P = (1/3) m L² + (1/2) M R² + M L².

Τελικό αποτέλεσμα

I_ολ = (1/3) m L² + M L² + (1/2) M R².