Λυμένη άσκηση στην ελαστική κρούση φυσική β λυκείου προσανατολισμού

Β' Λυκείου Προσανατολισμού

Κεντρική Ελαστική Κρούση

Εκφώνηση:
Δύο σφαίρες \( \Sigma_1 \) και \( \Sigma_2 \) με ίσες μάζες \( m_1 = m_2 = 0,5 \text{ kg} \) κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο πάνω στην ίδια ευθεία. Η σφαίρα \( \Sigma_1 \) κινείται με ταχύτητα \( v_1 = 8 \text{ m/s} \), ενώ η σφαίρα \( \Sigma_2 \) είναι αρχικά ακίνητη (\( v_2 = 0 \)). Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά.

Ζητούμενα:

1. Να υπολογίσετε τις ταχύτητες \( v_1' \) και \( v_2' \) των δύο σφαιρών μετά την κρούση.
2. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ορμής \( \Delta \vec{p}_1 \) της πρώτης σφαίρας.
3. Να επαληθεύσετε ότι η συνολική Κινητική Ενέργεια του συστήματος διατηρείται.
4. Τι θα συνέβαινε αν οι μάζες ήταν ίσες αλλά η \( \Sigma_2 \) είχε αρχική ταχύτητα \( v_2 = -2 \text{ m/s} \);

Αναλυτική Επίλυση

1. Ταχύτητες μετά την κρούση:
Επειδή η κρούση είναι κεντρική ελαστική και οι μάζες είναι ίσες (\( m_1 = m_2 \)), γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες. Συνεπώς:

\( v_1' = v_2 = \mathbf{0 \text{ m/s}} \) (η 1η σφαίρα σταματά)
\( v_2' = v_1 = \mathbf{8 \text{ m/s}} \) (η 2η σφαίρα κινείται με την ταχύτητα της 1ης)

2. Μεταβολή Ορμής της \( \Sigma_1 \): \[ \Delta p_1 = p_{1,τελ} - p_{1,αρχ} = m_1 \cdot v_1' - m_1 \cdot v_1 \] \[ \Delta p_1 = 0,5 \cdot 0 - 0,5 \cdot 8 = \mathbf{-4 \text{ kg}\cdot\text{m/s}} \] (Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η δύναμη που δέχτηκε ήταν αντίθετη της κίνησής της).

3. Επαλήθευση Διατήρησης Κινητικής Ενέργειας:
Πριν την κρούση: \[ K_{ολ,πριν} = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + 0 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 64 = \mathbf{16 \text{ J}} \] Μετά την κρούση: \[ K_{ολ,μετά} = 0 + \frac{1}{2}m_2 (v_2')^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 64 = \mathbf{16 \text{ J}} \] Παρατηρούμε ότι \( K_{ολ,πριν} = K_{ολ,μετά} \), άρα η κρούση είναι ελαστική.

4. Θεωρητικό Ερώτημα:
Αν η \( \Sigma_2 \) είχε \( v_2 = -2 \text{ m/s} \), λόγω ίσων μαζών θα είχαμε πάλι ανταλλαγή:

\( v_1' = -2 \text{ m/s} \) και \( v_2' = 8 \text{ m/s} \)