Σπαζοκεφαλιά: Υπολόγισε τον όγκο της δεξαμενής

💧 Γρίφος Δεξαμενής

Ερώτηση: Μια δεξαμενή ήταν γεμάτη κατά τα 4/5. Αφού αφαιρέθηκαν 190 λίτρα, έμεινε γεμάτη κατά το 1/6. Ποια είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής;

✅ Απάντηση: 300 Λίτρα

Λύση με εξίσωση:

(4/5)X - 190 = (1/6)X
(24/30)X - (5/30)X = 190
(19/30)X = 190
X = 190 * (30/19)
X = 300

Μοιράσου το γρίφο:

Πόσα κουτιά έχει το φορτηγό ;

 

Εάν έχετε ήδη δοκιμάσει την ερώτηση, αφιερώστε λίγο χρόνο για να εξετάσετε εάν μπορεί να έχετε παραβλέψει κάποιο από αυτά τα κοινά λάθη. Τώρα, ας αναλύσουμε τη σωστή προσέγγιση για την επίλυση αυτού του παζλ, βήμα προς βήμα.

Σπαζοκεφαλιά Βρες πόσοι κύκλοι είναι στην παρακάτω εικόνα ;

 

🔍 Ανάλυση της ψευδαίσθησης:

• Οι κύβοι είναι τοποθετημένοι σε στρώσεις, αλλά λόγω της προοπτικής και της σκίασης, κάποιοι φαίνονται να "κρύβονται" ή να συγχωνεύονται.

• Το μάτι μπερδεύεται από τις γωνίες και τις σκιές, κάνοντάς μας να μετράμε λιγότερους ή περισσότερους κύβους απ’ όσους υπάρχουν στην πραγματικότητα.

✅ Λύση: Αν μετρήσεις προσεκτικά κάθε εμφανή κύβο, λαμβάνοντας υπόψη και αυτούς που είναι μερικώς κρυμμένοι, ο σωστός αριθμός είναι 16 κύβοι.

🎯 Γιατί 99% αποτυγχάνουν: Οι περισσότεροι βλέπουν 9, 12 ή 15, αλλά ξεχνούν να υπολογίσουν τους κύβους που είναι ενσωματωμένοι στο βάθος ή που μπερδεύονται με τις γωνίες των άλλων.

🧩 Ερώτημα:

Πόσοι κύβοι υπάρχουν στην εικόνα;

🪵 Βήμα 1: Εντόπισε τους εμφανείς κύβους

Κοίτα την εικόνα σαν να είναι μια τρισδιάστατη κατασκευή. Θα δεις ότι υπάρχουν κύβοι σε διαφορετικά επίπεδα και γωνίες.

• Πάνω επίπεδο: 3 κύβοι

• Μεσαίο επίπεδο: 3 κύβοι (1 πλήρης στο κέντρο και 2 μισοί στα πλάγια)

• Κάτω επίπεδο: 3 κύβοι (2 πλήρεις και 1 μισός στο κέντρο)

👉 Σύνολο εμφανών: 9 κύβοι (αλλά δεν είναι όλοι πλήρεις!)

🪞 Βήμα 2: Αναγνώρισε τους μισούς κύβους

Οι μισοί κύβοι είναι οπτικά παραπλανητικοί. Αν ενώσεις κάθε δύο μισούς, σχηματίζεται ένας πλήρης κύβος.

• 2 μισοί στο μεσαίο επίπεδο → 1 πλήρης

• 1 μισός στο κάτω επίπεδο + 1 μισός από πίσω → 1 πλήρης

👉 Άρα έχουμε 2 επιπλέον πλήρεις κύβους από μισά.

🧮 Βήμα 3: Σύνολο κύβων

• 7 πλήρεις κύβοι που φαίνονται καθαρά

• +2 πλήρεις κύβοι που προκύπτουν από μισά

✅ Σύνολο: 9 κύβοι

🧠 Γιατί είναι δύσκολο;

Η προοπτική και η σκίαση κάνουν τους μισούς κύβους να φαίνονται σαν πλήρεις ή να κρύβονται. Ο εγκέφαλος προσπαθεί να ερμηνεύσει το βάθος και συχνά μπερδεύεται.

Μαθηματικά και στρατηγική : Το παιχνίδι των 100 νομισμάτων .Ποια στρατηγική εξασφαλίζει την νίκη στον πρώτο παίκτη;

 

1️⃣ Το παιχνίδι των 100 νομισμάτων

Στο τραπέζι υπάρχουν 100 νομίσματα. Δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ και σε κάθε γύρο μπορούν να πάρουν 1, 2 ή 3 νομίσματα. Ο παίκτης που θα πάρει το τελευταίο νόμισμα κερδίζει. 

Ερώτηση: Ποια στρατηγική εξασφαλίζει τη νίκη στον πρώτο παίκτη;

Σπαζοκεφαλιά :Πόσο αιχμηρό είναι το μυαλό σου ;

🧩 Πόσο αιχμηρό είναι το μυαλό σου σήμερα;

1. Ποια λέξη δεν ταιριάζει;
Μήλο, Μπανάνα, Καρότο, Πορτοκάλι

Μήλο Μπανάνα Καρότο Πορτοκάλι

2. Ποιο γράμμα έρχεται επόμενο στη σειρά: A, C, F, J, O, ?

U V W X

3. Αν 3 γάτες πιάνουν 3 ποντίκια σε 3 λεπτά, πόσες γάτες χρειάζονται για να πιάσουν 100 ποντίκια σε 100 λεπτά;

3 100 9 1

4. Ποια λέξη είναι αντώνυμο της λέξης "σκοτεινός";

Φωτεινός Μαύρος Βαθύς Ψυχρός

5. Ποιο είναι το επόμενο αριθμητικό μοτίβο: 2, 4, 8, 16, ?

32 24 20 18

Σπαζοκεφαλιά : Πόσα γλυκά υπήρχαν στην τσάντα στην αρχή ;

 

Ο Μίκυ έχει ένα σακουλάκι με γλυκά. Τρώει ένα και μοιράζεται τα μισά από τα υπόλοιπα γλυκά στον Β. Στη συνέχεια τρώει άλλο ένα και μοιράζεται τα μισά από τα υπόλοιπα γλυκά στον C. Μετά από αυτό, τρώει άλλο ένα και τώρα του απομένουν 4 γλυκά. Πόσα γλυκά υπήρχαν στην τσάντα στην αρχή;

ΛΎΣΗ

Σπαζοκεφαλιά :Αν ένα αυτοκίνητο περάσει από αυτό το φανάρι, πόσο πιθανό είναι να περάσει χωρίς να σταματήσει;

 

Ένα φανάρι αλλάζει μεταξύ κόκκινου και πράσινου φωτός. Μετά από κάθε 24 δευτερόλεπτα κόκκινου φωτός, αλλάζει σε 96 δευτερόλεπτα πράσινου φωτός. Αν ένα αυτοκίνητο περάσει από αυτό το φανάρι, πόσο πιθανό είναι να περάσει χωρίς να σταματήσει;

ΛΎΣΗ

Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα ένα αυτοκίνητο να περάσει το φανάρι χωρίς να σταματήσει, πρέπει να εξετάσουμε τη διάρκεια του κύκλου του φαναριού και τη διάρκεια που το φανάρι είναι πράσινο.

1. Καθορισμός της Διάρκειας του Κύκλου:

Το φανάρι έχει δύο φάσεις: κόκκινο φως και πράσινο φως.

• Η διάρκεια του κόκκινου φωτός είναι 24 δευτερόλεπτα.
• Η διάρκεια του πράσινου φωτός είναι 96 δευτερόλεπτα.

Ο συνολικός χρόνος για έναν πλήρη κύκλο του φαναριού είναι το άθροισμα της διάρκειας του κόκκινου και του πράσινου φωτός:

Συνολική διάρκεια κύκλου = Διάρκεια κόκκινου φωτός + Διάρκεια πράσινου φωτός Συνολική διάρκεια κύκλου = 24 δευτερόλεπτα + 96 δευτερόλεπτα = 120 δευτερόλεπτα.

Άρα, κάθε 120 δευτερόλεπτα, το φανάρι ολοκληρώνει έναν πλήρη κύκλο αλλαγών.

2. Καθορισμός του Ευνοϊκού Ενδεχομένου:

Το αυτοκίνητο θα περάσει το φανάρι χωρίς να σταματήσει μόνο αν το φανάρι είναι πράσινο όταν φτάσει. Η διάρκεια που το φανάρι είναι πράσινο είναι 96 δευτερόλεπτα σε κάθε κύκλο.

3. Υπολογισμός της Πιθανότητας:

Η πιθανότητα ενός γεγονότος υπολογίζεται ως ο λόγος του αριθμού των ευνοϊκών ενδεχομένων προς τον συνολικό αριθμό των πιθανών ενδεχομένων. Στην περίπτωσή μας, μπορούμε να θεωρήσουμε τη διάρκεια του χρόνου ως αναλογία.

Πιθανότητα (να περάσει χωρίς να σταματήσει) = (Διάρκεια πράσινου φωτός) / (Συνολική διάρκεια κύκλου) Πιθανότητα (να περάσει χωρίς να σταματήσει) = 96 δευτερόλεπτα / 120 δευτερόλεπτα

4. Απλοποίηση του Κλάσματος:

Για να απλοποιήσουμε το κλάσμα 96/120, μπορούμε να διαιρέσουμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό τους διαιρέτη. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των 96 και 120 είναι το 24.

96 ÷ 24 = 4 120 ÷ 24 = 5

Έτσι, η πιθανότητα είναι 4/5.

5. Έκφραση της Πιθανότητας ως Ποσοστό (Προαιρετικά):

Για να εκφράσουμε την πιθανότητα ως ποσοστό, πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα με το 100%:

(4/5) * 100% = 0.8 * 100% = 80%

Συμπέρασμα:

Η πιθανότητα ένα αυτοκίνητο να περάσει αυτό το φανάρι χωρίς να σταματήσει είναι 4/5 ή 80%. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε κύκλο 120 δευτερολέπτων, υπάρχουν 96 δευτερόλεπτα όπου το φανάρι είναι πράσινο, και επομένως υπάρχει μια μεγάλη πιθανότητα το αυτοκίνητο να περάσει χωρίς να χρειαστεί να σταματήσει

Σπαζοκεφαλιά : Βρείτε τις ηλικίες των κοριτσιών

 Η Μαρία, η Όλγα και η Αναστασία  είναι όλες διαφορετικές ηλικίες (8, 9 και 10 ετών) και έχουν διαφορετικούς μήνες γέννησης (Μάρτιος, Αύγουστος και Οκτώβριος). 

Βρείτε την ηλικία και τον μήνα γέννησης κάθε ατόμου χρησιμοποιώντας τις παρακάτω ενδείξεις.

1. Η Jayna είναι 10 ετών

.2. Η Όλγα δεν γεννήθηκε τον Μάρτιο.

3. Η Αναστασία δεν είναι 8 ετών

.4. Η Αναστασία γεννήθηκε τον Οκτώβριο.

 

Μετακινήσετε 5 σπίρτα για να ισορροπήσετε την ζυγαριά σπαζοκεφαλιά

 

ΛΎΣΗ

Βρείτε ποιος είναι ο ένοχος σπαζοκεφαλιά

 

Απάντηση 

• Αν ο John έλεγε την αλήθεια, δηλαδή αν και ο ίδιος και η Alice ήταν αθώοι, τότε και οι άλλοι δύο θα έπρεπε να λένε την αλήθεια, αφού μόνο ένας είναι ένοχος. Αυτό όμως δεν είναι δυνατό, αφού ο Pete λέει ότι η Alice είναι ένοχη.
• Άρα, ο John λέει ψέματα. Αφού ο John λέει ψέματα, τότε αυτό σημαίνει ότι είτε ο ίδιος είτε η Alice είναι ένοχος. Αλλά, αφού η Alice λέει ότι δεν είναι ένοχη, τότε ο ένοχος είναι ο John.
• Ο Pete, αν και λέει ότι η Alice είναι ένοχη, στην πραγματικότητα λέει κάτι που είναι αληθές, αφού ο ένοχος είναι ο John.

Συμπέρασμα:

Ο μόνος που λέει ψέματα είναι ο John, άρα είναι ο ένοχος.

Σε ποιο κουτί βρίσκονται τα χρήματα ;

Ερώτηση

Αν μία μόνο επιγραφή λέει την αλήθεια, μπορείτε να βρείτε ποιο κουτί περιέχει τα χρήματα;

Α. Το 1ο κουτί
Β. Το 2ο κουτί
Γ. Το 3ο κουτί

Κουίζ "Ο ελέφαντας και το ποντίκι στην τραμπάλα"

 

Μπορούν ένας ελέφαντας και ένα ποντίκι να κάνουν τραμπάλα;

Μα και βέβαια μπορούν!

Γιατί όπως αποδεικνύουμε, ΕΝΑΣ ΕΛΕΦΑΝΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΑ ΠΟΝΤΙΚΙ ΕΧΟΥΝ ΠΑΝΤΑ ΤΟ ΙΔΙΟ ΒΑΡΟΣ!:

Βρείτε τη διαφορά μεταξύ των εικόνων

 

Τι θα λέγατε για ένα spot the διαφορά πρόκληση; Βρείτε τη μοναδική διαφορά μεταξύ αυτών των εικόνων δεξαμενής ψαριών σε λιγότερο από 6 δευτερόλεπτα!

Μαθηματικά Παζλ

 

Βρείτε το κομμάτι κέιΚ

Η  Τούλα  είναι ένας εξαιρετικός ζαχαροπλάστης με πολλή φαντασία. Έχει φτιάξει ένα κυβικό κέικ με  πλευρά 2 dm και έχει καλύψει τις  πέντε 

εμφανείς όψεις του με  στρώση σοκολάτας. Το κόβει κατακόρυφα σε τρία μέρη, όπως  φαίνεται σε   αυτήν την κάτοψη και όπου το M είναι το μέσο ενός  άνω άκρου.

Υπολογίστε την επιφάνεια της σοκολάτας που  έχει  το κομμάτι Β .

 

Πρόβλημα που πήρε το όνομά του από τον Yakubovich: τρεις κασετίνες με χρήματα

Η διαίσθηση θα σας εξαπατήσει σε αυτό το έργο. Δοκίμασε καλύτερα τη θεωρία πιθανοτήτων, είναι εύκολο.

Υπάρχουν τρία πανομοιότυπα κλειστά κουτιά μπροστά σας, ένα από αυτά περιέχει πολλά χρήματα και τα άλλα δύο είναι άδεια. Μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε κουτί, αλλά δεν μπορείτε να το ανοίξετε αμέσως. Στη συνέχεια, ο οικοδεσπότης του παιχνιδιού παίρνει ένα από τα υπόλοιπα κουτιά, το ανοίγει και δείχνει ότι είναι άδειο.

Τώρα έχετε μια επιλογή: κρατήστε το κουτί που επιλέξατε από την αρχή ή ανταλλάξτε το με το υπόλοιπο κλειστό. Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να το κάνετε;

===========================================================

Κατατακτήριες Αγγλικής

Προετοιμασία για τις Κατατακτήριες Εξετάσεις Αθήνας & Θεσ/νίκης με σταθερά εντυπωσιακά αποτελέσματα επί σειρά ετών!

Στήριξη των Πανεπιστημιακών Μαθημάτων για τους φοιτητές της Αγγλικής Φιλολογίας Αθήνας & Θεσ/νίκης!

Online Μαθήματα

Τα μαθήματα γίνονται on line με κέρδος χρόνου και άνεσης για τους υποψηφίους.

Η Προετοιμασία έχει  πρακτικό χαρακτήρα, ΔΕΝ απαιτεί πολύωρη μελέτη, αναδιαρθρώνεται κάθε χρόνο και είναι προσανατολισμένη προς τις Εξετάσεις και όχι απλά στην κάλυψη της ύλης!100% Επιτυχία

Κάθε χρόνο τα ποσοστά επιτυχίας αγγίζουν το 100% των συμμετεχόντων μας αποδεδειγμένα με τα ΟΝΌΜΑΤΑ από το Πανεπιστήμιο και τις ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΚΡΙΤΙΚΕΣ των επιτυχόντων μας και στις δύο πόλεις!

88 ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ τα τελευταία 8 έτη 

Για περισσότερες πληροφορίες πατήστε πάνω στην εικόνα

===========================================================

Λύση


Ας αφήσουμε στην άκρη τα συναισθήματα, τη διαίσθηση και άλλους εσωτερισμούς και ας αρχίσουμε να λύνουμε αυτό το πρόβλημα σαν προγραμματιστές - ας δώσουμε στα κουτιά μας ονόματα:
Επιλεγμένα - το πλαίσιο που επιλέξαμε από την αρχή.
Άδειο - αυτό που άνοιξε μετά από επιλογή μας και έδειξε ότι ήταν άδειο.
Άγνωστο - ένα από τα δύο κασετίνες που δεν επιλέξαμε, το οποίο παρέμεινε κλειστό και για το οποίο μπορείτε να ανταλλάξετε το δικό μας.

Αρχικά, η πιθανότητα να επιλέξατε αμέσως το κουτί με χρήματα είναι 33%, γιατί στην αρχή κάθε κουτί έχει τις ίδιες πιθανότητες. Αλλά τώρα όλα εξαρτώνται από το αν ο παρουσιαστής άνοιξε κατά λάθος το Empty Box ή ήξερε εκ των προτέρων ότι δεν υπήρχε τίποτα σε αυτό. Αυτό θα εξαρτηθεί από το τι πρέπει να κάνετε.
Εάν ένα άδειο κουτί άνοιξε κατά λάθος

Ας υποθέσουμε ότι ο οικοδεσπότης του παιχνιδιού δεν γνώριζε τίποτα για το περιεχόμενο του κουτιού. Δηλαδή ανοίγοντας έναν από τους μη επιλεγμένους θα μπορούσε να ανοίξει και ένα κουτί με χρήματα.

Δεδομένου ότι αυτό δεν συνέβη και κανείς δεν ήξερε εκ των προτέρων σε ποιο από τα κουφώματα ήταν τα χρήματα, τότε έχουν πλέον ίσες πιθανότητες να κερδίσουν: αντί για ⅓, έγιναν ίσοι με ½. Και τα δύο κουτιά έχουν τώρα τις ίδιες πιθανότητες να καταλήξουν με χρήματα, επομένως δεν έχει νόημα να αλλάξετε τα κουτιά: μαθηματικά, αυτό δεν θα αυξήσει τις πιθανότητές σας με κανέναν τρόπο. Όλα όσα συμβαίνουν στη συνέχεια είναι ήδη εσωτερικά.

Σύνολο. Εάν το Empty Box άνοιγε κατά λάθος και κανείς δεν γνώριζε εκ των προτέρων ότι ήταν άδειο, τότε η σωστή στρατηγική θα ήταν να κρατήσετε το Chosen Box.
Το κενό κουτί επιλέχθηκε ειδικά

Τώρα σκεφτείτε την κατάσταση: ο συντονιστής γνώριζε ότι το ανοιχτό κουτί θα ήταν άδειο. Αρχικά ήξερε πού ήταν τα χρήματα και επίτηδες διάλεξε ένα άδειο κουτί για να το ανοίξει.
Αυτή είναι μια εντελώς διαφορετική κατάσταση, αν και μπορεί να φαίνεται ότι είναι η ίδια όπως στην πρώτη περίπτωση. Όχι πραγματικά. Εκεί είχαμε νέα στοιχεία , γιατί κανείς δεν ήξερε πού ήταν τα χρήματα. Νέες πληροφορίες αναγκάστηκαν να υπολογίσουν εκ νέου τις πιθανότητες.

==========================================================

Καλλιτεχνικό Βιβλιοχαρτοπωλείο - Δώρα - Διοργάνωση εκδηλώσεων - καλλιτεχνική δημιουργία -φωτοτυπίες

Για περισσότερα πατήστε πάνω στην εικόνα.

=====================================================

======

Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν νέα στοιχεία γιατί η κουμπαρά είναι γνωστή εκ των προτέρων. Και επειδή δεν υπάρχουν νέες πληροφορίες, τότε το Chosen Box έχει τις ίδιες ⅓ πιθανότητες να κερδίσει όπως ήταν. Και τώρα αρχίζει η μαγεία της θεωρίας πιθανοτήτων: οι πιθανότητες να κερδίσετε το Άγνωστο Κουτί έχουν διπλασιαστεί!

Το θέμα εδώ είναι αυτό. Δεδομένου ότι αρχικά όλα τα κουτιά είχαν ίσες ευκαιρίες, τότε για κάθε κουτί ήταν ⅓. Όταν μας άνοιξε σκόπιμα το Empty Box, η πιθανότητα του Chosen Box δεν άλλαξε (καθώς δεν υπάρχουν νέες πληροφορίες) και η πιθανότητα του Unknown Box διπλασιάστηκε:

⅓ που αρχικά ήταν + ⅓ που πήγε από το Άδειο Κουτί στο Άγνωστο = ⅔.

Δεν υπάρχουν νέες πληροφορίες - οι πιθανότητες δεν υπολογίζονται εκ νέου, αλλά αναδιανέμονται μεταξύ αυτών των κουφωμάτων, το περιεχόμενο των οποίων είναι γνωστό εκ των προτέρων. Αφού αυτός που ανοίγει τα κουτιά ξέρει πού είναι τα χρήματα, τότε οι πιθανότητες αναδιανέμονται μεταξύ τους. Και το κουτί σας, καθώς είχε ⅓ πιθανότητες να κερδίσει, παραμένει.

Σύνολο. Εάν το Empty Box άνοιξε επίτηδες, η σωστή στρατηγική θα ήταν να αλλάξετε το Selected Box σε ένα Unknown. Αυτό θα διπλασιάσει τις πιθανότητές σας να κερδίσετε.

Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι μιλάμε για πιθανότητες και πιθανότητες, και όχι για μια συγκεκριμένη μεμονωμένη περίπτωση. Με άλλα λόγια, αυτή η στρατηγική θα έχει νόημα αν παίξετε πολλά παιχνίδια με τις ίδιες προϋποθέσεις: εκατό, τριακόσια, χίλια. Σε ένα συγκεκριμένο παιχνίδι, η επίδραση των πιθανοτήτων δεν θα είναι αισθητή. Επομένως, αντί για τζόγο, προτείνουμε εμπορικό προγραμματισμό. 🙂

===========================================================

Γαλλική Φιλολογία / Παν/ιακά Μαθήματα/Διπλωματικό Σώμα/ Κατατακτήριες-Α1-C2

+30 697 303 4528    Αποστολή μηνύματος   st_kourneta@yahoo.gr

            Για περισσότερες πληροφορίες                      

• Αρχική σελίδα    Η ΟΜΆΔΑ ΜΑΣ    ΕΝΔΙΑΦΈΡΟΝΤΑ

• ΔΗΜΟΤΙΚΌ         ΓΥΜΝΆΣΙΟ               ΛΎΚΕΙΟ

• ΦΟΙΤΗΤΙΚΆ ΘΈΜΑΤΑ      ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΊ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΊ

• ΒΙΒΛΙΟΘΉΚΗ                                                           ΓΙΑ ΓΟΝΕΊΣ

Είμαστε πάντα κοντά στον μαθητή και στον φοιτητή.

Φροντιστηριακή Υποστήριξη με εξασφάλιση της επιτυχίας.

New Big brain‘s team

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες

Ενημερωθείτε για τα οικονομικά πακέτα (μέχρι  30 ώρες τον μήνα )  σε ιδιαίτερα μαθήματα που οδηγούν με σιγουριά στην επιτυχία .

Αν χρειάζεσαι βοήθεια για την λύση των ασκήσεων ή έχεις οποιαδήποτε απορία πάτησε εδώ

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Σου άρεσε? Μοιραστείτε το με τους φίλους σας!

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram