Γιατί είναι τα Μαθηματικά τόσο δύσκολα για τις κοπέλες;
Αυτό το ερώτημα είναι ένας από τους μεγαλύτερους μύθους που υπάρχουν στην εκπαίδευση. Η αλήθεια είναι ότι δεν υπάρχει καμία βιολογική ή γνωστική διαφορά που να κάνει τα αγόρια καλύτερα στα μαθηματικά από τα κορίτσια. Ο λόγος που νιώθεις ότι τα μαθηματικά είναι δύσκολα δεν είναι επειδή δεν έχεις το ταλέντο, αλλά επειδή κανείς δεν σου έδειξε την πραγματική τους αξία.
Τα μαθηματικά δεν είναι μια συλλογή από αφηρημένους τύπους. Είναι ένα εργαλείο που σε βοηθά να κατανοήσεις τον κόσμο γύρω σου, να λύνεις προβλήματα και να δημιουργείς.
Μια νέα οπτική: Δες τα Μαθηματικά με διαφορετικό μάτι
Αντί να βλέπεις τα μαθηματικά ως μια αγγαρεία, προσπάθησε να τα δεις ως μια γλώσσα που μπορεί να σου δώσει νέες δυνατότητες.
Μαθηματικά και Τέχνη: . Η χρυσή αναλογία, για παράδειγμα, χρησιμοποιείται εδώ και αιώνες στη ζωγραφική και την αρχιτεκτονική για να δημιουργεί αρμονία και ομορφιά. Στην πραγματικότητα, η τέχνη είναι γεμάτη γεωμετρία και συμμετρία!
Μαθηματικά και Καριέρα: Στον κόσμο της τεχνολογίας, οι γυναίκες είναι πρωτοπόροι. Δημιουργούν εφαρμογές, αναπτύσσουν τεχνητή νοημοσύνη και σχεδιάζουν βιντεοπαιχνίδια. Όλα αυτά βασίζονται στα μαθηματικά.
Μαθηματικά και Καθημερινότητα: Όταν υπολογίζεις τα ποσοστά για τις εκπτώσεις, όταν μαγειρεύεις ακολουθώντας μια συνταγή ή όταν σχεδιάζεις τον προϋπολογισμό σου, χρησιμοποιείς μαθηματικά.
Τα μαθηματικά είναι παντού και σε βοηθούν να παίρνεις πιο έξυπνες αποφάσεις.
Τι μπορείς να κάνεις για να βελτιωθείς
Άλλαξε τη νοοτροπία σου. Σταμάτα να λες "δεν μπορώ" και πες "θα προσπαθήσω".
Ψάξε την εφαρμογή. Όταν μαθαίνεις έναν νέο τύπο, αναρωτήσου: "Πού μπορώ να το χρησιμοποιήσω στην πραγματική ζωή;"
Μην ντρέπεσαι να κάνεις λάθη. Τα λάθη είναι μέρος της μάθησης. Ο μεγαλύτερος μαθηματικός στον κόσμο έχει κάνει άπειρα λάθη πριν φτάσει στην επιτυχία.
Βρες ένα πρότυπο. Αναζήτησε γυναίκες που έχουν διαπρέψει στα μαθηματικά και τις επιστήμες, όπως η Maryam Mirzakhani, η πρώτη γυναίκα που κέρδισε το Μετάλλιο Fields. Η ιστορία τους μπορεί να σε εμπνεύσει.
Το ταξίδι στα μαθηματικά δεν είναι μια ευθεία γραμμή. Είναι γεμάτο στροφές, ανηφόρες και κατηφόρες. Αυτό που έχει σημασία είναι να συνεχίζεις να περπατάς. Και να θυμάσαι: έχεις όλες τις δυνατότητες για να πετύχεις. Το μόνο που χρειάζεσαι είναι να πιστέψεις στον εαυτό σου.
Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα από τα πιο δυναμικά εργαλεία των μαθηματικών. Δεν περιγράφουν απλώς τι είναι κάτι, αλλά πώς αλλάζει. Χρησιμοποιούνται για να μοντελοποιήσουν φαινόμενα που
Το 1972, ο John Conway έθεσε ένα ενδιαφέρον ερώτημα σχετικά με το Παιχνίδι της Ζωής: θα μπορούσε να υπάρχει ένα μοτίβο νεκρής φύσης που δεν έχει άλλον προκάτοχο εκτός από τον εαυτό του;
Σε πολλούς ανθρώπους αρέσουν τα μαθηματικά επειδή δίνουν σαφείς απαντήσεις. Τα πράγματα είναι είτε αληθινά είτε ψευδή, και τα αληθινά πράγματα φαίνονται αληθινά με έναν πολύ θεμελιώδη τρόπο.
Φανταστείτε την πόλη του Κένιγκσμπεργκ (σημερινό Καλίνινγκραντ της Ρωσίας) τον 18ο αιώνα. Η πόλη ήταν χτισμένη γύρω από τον ποταμό Πρέγκελ, ο οποίος χώριζε την ξηρά σε τέσσερις περιοχές: δύο μεγάλες νησιωτικές περιοχές και δύο ηπειρωτικές ακτές. Αυτές οι τέσσερις περιοχές συνδέονταν μεταξύ τους με επτά γέφυρες.
Ο κόσμος του Κένιγκσμπεργκ είχε μια συνήθεια: ήθελαν να βρουν έναν τρόπο να περπατήσουν μέσα στην πόλη, διασχίζοντας κάθε μία από τις επτά γέφυρες ακριβώς μία φορά και επιστρέφοντας στο σημείο εκκίνησης (ή απλώς να περάσουν από όλες). Φαίνεται απλό, έτσι δεν είναι; Ωστόσο, κανείς δεν τα κατάφερνε. Πολλοί προσπάθησαν, πολλοί απογοητεύτηκαν.
Η Επέμβαση του Λέοναρντ Όιλερ
Εδώ έρχεται ο Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler), ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Το 1736, ο Όιλερ ασχολήθηκε με το πρόβλημα και, αντί να προσπαθήσει να βρει μια λύση διασχίζοντας τις γέφυρες, αποφάσισε να αλλάξει τον τρόπο προσέγγισης. Αυτή η αλλαγή οπτικής ήταν επαναστατική.
Ο Όιλερ αντιλήφθηκε ότι η ακριβής μορφή των γεφυρών ή οι αποστάσεις μεταξύ των περιοχών δεν είχαν καμία σημασία. Το μόνο που είχε σημασία ήταν οι συνδέσεις. Μετέτρεψε το πρόβλημα από ένα γεωγραφικό σε ένα αφηρημένο πρόβλημα.
Αντιπροσώπευσε κάθε περιοχή ξηράς (τις δύο όχθες και τα δύο νησιά) ως ένα σημείο ή κορυφή (vertex).
Αντιπροσώπευσε κάθε γέφυρα ως μια γραμμή ή ακμή (edge) που συνδέει τις αντίστοιχες κορυφές.
Με αυτόν τον τρόπο, το πρόβλημα μετατράπηκε σε ένα γράφημα (graph):
Σε αυτό το γράφημα, οι τέσσερις κορυφές αναπαριστούν τις περιοχές της ξηράς και οι επτά ακμές τις γέφυρες.
Η Λύση και η Θεωρία Γράφων
Ο Όιλερ αναζητούσε έναν «περίπατο» στο γράφημα που να διασχίζει κάθε ακμή ακριβώς μία φορά. Τέτοιους περιπάτους τους ονομάζουμε σήμερα μονοπάτια Όιλερ (Eulerian paths) ή κύκλους Όιλερ (Eulerian circuits) αν ξεκινούν και καταλήγουν στην ίδια κορυφή.
Η βασική του παρατήρηση ήταν η εξής:
Αν ξεκινάτε και τελειώνετε τον περίπατο στην ίδια κορυφή (κύκλος Όιλερ), τότε κάθε κορυφή πρέπει να έχει άρτιο βαθμό (δηλαδή, να συνδέεται με άρτιο αριθμό ακμών). Γιατί; Γιατί κάθε φορά που μπαίνετε σε μια κορυφή μέσω μιας ακμής, πρέπει να μπορείτε να φύγετε από αυτήν μέσω μιας άλλης ακμής.
Αν ξεκινάτε και τελειώνετε τον περίπατο σε διαφορετικές κορυφές (μονοπάτι Όιλερ), τότε ακριβώς δύο κορυφές πρέπει να έχουν μονό βαθμό (η αρχική και η τελική κορυφή), ενώ όλες οι άλλες κορυφές πρέπει να έχουν άρτιο βαθμό.
Εφαρμόζοντας αυτή την παρατήρηση στο γράφημα του Κένιγκσμπεργκ:
Περιοχή A (αριστερή όχθη): 3 γέφυρες (μονός βαθμός)
Περιοχή B (δεξιά όχθη): 3 γέφυρες (μονός βαθμός)
Περιοχή C (πάνω νησί): 5 γέφυρες (μονός βαθμός)
Περιοχή D (κάτω νησί): 3 γέφυρες (μονός βαθμός)
Παρατηρούμε ότι όλες οι κορυφές έχουν μονό βαθμό! Σύμφωνα με την αρχή του Όιλερ, αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει δυνατότητα να διασχίσει κανείς όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά, είτε επιστρέφοντας στο σημείο εκκίνησης είτε όχι.
Ο Όιλερ απέδειξε ότι το παζλ ήταν άλυτο.
Η Κληρονομιά του Παζλ
Η σημασία της εργασίας του Όιλερ δεν ήταν απλώς η επίλυση ενός τοπικού παζλ. Ήταν η γέννηση της Θεωρίας Γράφων (Graph Theory). Αυτός ο κλάδος των μαθηματικών μελετά τα δίκτυα και τις σχέσεις μεταξύ αντικειμένων, ανεξάρτητα από τη φυσική τους φύση.
Σήμερα, η Θεωρία Γράφων έχει εφαρμογές σε αμέτρητα πεδία:
Πληροφορική: Σχεδιασμός δικτύων υπολογιστών, αλγόριθμοι αναζήτησης στο διαδίκτυο (π.χ., ο αλγόριθμος του Google PageRank).
Από ένα φαινομενικά απλό παζλ, ο Όιλερ μας έδειξε ότι με την κατάλληλη αφαίρεση και την εστίαση στις θεμελιώδεις δομές, μπορούμε να ξεκλειδώσουμε βαθύτερες μαθηματικές αρχές που έχουν εφαρμογές σε ολόκληρο τον κόσμο γύρω μας. Το παζλ των επτά γεφυρών του Κένιγκσμπεργκ είναι ένα λαμπρό παράδειγμα του πώς η περιέργεια και η συστηματική σκέψη μπορούν να οδηγήσουν σε πρωτοποριακές ανακαλύψεις.
🔺 Πώς βρίσκουμε το ύψος ενός τριγώνου χωρίς τον τύπο του Ήρωνα;
Έχεις ένα τρίγωνο με βάση a και πλευρές b, c, και ξέρεις ότι οι γωνίες στη βάση είναι οξείες. Μπορείς να βρεις το ύψος χωρίς να μπλέξεις με πολύπλοκους τύπους!
📐 Γεωμετρική προσέγγιση:
👉 Χρησιμοποίησε τον τύπο:
h=abc⋅sinA
Όπου:
a είναι η βάση του τριγώνου
b και c είναι οι άλλες δύο πλευρές
A είναι η γωνία απέναντι από τη βάση a
🔎 Αν γνωρίζεις τις πλευρές και όχι τις γωνίες, μπορείς πρώτα να βρεις τη γωνία A με τον Νόμο του Συνημίτονου και μετά να βάλεις την τιμή στον τύπο.
🎯 Το σημαντικό: Το ύψος δεν εξαρτάται μόνο από τη βάση, αλλά και από το άνοιγμα της γωνίας απέναντι από αυτήν. Όσο πιο "κλειστό" το τρίγωνο, τόσο μικρότερο το ύψος για την ίδια βάση!
📊 Ένας όμορφος τρόπος να δεις πώς η γεωμετρία "μιλάει" χωρίς ανάγκη για περίπλοκα τετραγωνικά ριζικά.
✍️ Δοκίμασέ το στην πράξη — θα καταλάβεις πώς "χτίζεται" η έννοια του ύψους μέσα στο ίδιο το σχήμα.
Πριν από περίπου μια δεκαετία, ο Tonan Kamata, τώρα μαθηματικός στο Ιαπωνικό Ινστιτούτο Επιστήμης και Τεχνολογίας (JAIST), στεκόταν γοητευμένος μπροστά στην έκθεση origamilike ενός μαθηματικού μουσείου.Είχε ένα τριγωνικό πλακίδιο κομμένο σε τέσσερα κομμάτια που συνδέονταν με μικροσκοπικούς μεντεσέδες.Με μια απλή περιστροφή, τα κομμάτια περιστρέφονται για να μεταμορφώσουν το τρίγωνο σε τετράγωνο.
Το έκθεμα εντοπίζει την προέλευσή του σε ένα μαθηματικό παζλ που δημοσιεύτηκε σε εφημερίδα του 1902.Ο Henry Dudeney, ένας αυτοδίδακτος Άγγλος μαθηματικός και αρθρογράφος παζλ, ζήτησε από τους αναγνώστες του να τεμαχίσουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο στον μικρότερο αριθμό κομματιών που θα μπορούσαν να αναδιαταχθούν σε τετράγωνο.Στην επόμενη στήλη του δύο εβδομάδες αργότερα, σημείωσε ότι ένας «Κύριος C. W. McElroy του Μάντσεστερ»—ο Charles William McElroy, ένας υπάλληλος που έγραφε συχνά στον Dudeney με λύσεις παζλ—είχε μια λύση τεσσάρων τεμαχίων.Μετά από δύο ακόμη εβδομάδες, ο Dudeney ανέφερε ότι κανένας από τους άλλους αναγνώστες της εφημερίδας δεν είχε πετύχει τη λύση και από τότε, το ρεκόρ έχει παραμείνει.Παρέμενε αναπόδεικτο όμως αν υπήρχε λύση με λιγότερα κομμάτια.
Το παζλ έγινε γνωστό ως «Η ανατομή του Dudeney» ή «το πρόβλημα των ψιλικών» και παρουσιάστηκε ακόμη και στο τεύχος Ιουνίου 1958 του Scientific American.Ο Μάρτιν Γκάρντνερ, μαθηματικός και μακροχρόνιος αρθρογράφος του περιοδικού, έγραψε για το δίλημμα.
Τώρα, περισσότερα από 122 χρόνια αφότου προτάθηκε για πρώτη φορά, ο Καμάτα και δύο άλλοι μαθηματικοί απέδειξαν επιτέλους ότι μια λύση με λιγότερα κομμάτια είναι αδύνατη.Το αποτέλεσμά τους δημοσιεύτηκε στον διακομιστή arXiv.org σε μια προεκτύπωση του Δεκεμβρίου 2024 με τίτλο «Η ανατομή του Dudeney είναι βέλτιστη».
«Πιστεύω ότι πολλοί που εκτιμούν τα μαθηματικά θα συμφωνούσαν ότι όσο πιο απλό εμφανίζεται ένα άλυτο πρόβλημα, τόσο πιο σαγηνευτικό γίνεται για όσους αγαπούν τα μαθηματικά», λέει ο Kamata.
Μαζί με τον μαθηματικό του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης Erik Demaine και τον μαθηματικό JAIST Ryuhei Uehara, ο Kamata ανέπτυξε μια νέα προσέγγιση για την αντιμετώπιση προβλημάτων αναδίπλωσης origami χρησιμοποιώντας τη θεωρία γραφημάτων.Στη θεωρία γραφημάτων, ένα γράφημα είναι ουσιαστικά μια συλλογή γραμμών ή ακμών και κορυφών, τα σημεία όπου συναντώνται οι ακμές.Οι ακμές και οι κορυφές ενός γραφήματος μπορούν να συγκριθούν με εκείνες ενός άλλου για να διερευνηθούν βαθύτερες σχέσεις μεταξύ των δύο δομών - μια προσέγγιση που ο Kamata πίστευε ότι θα μπορούσε να βοηθήσει στην επίλυση της ανατομής του Dudeney.
Ένα μέρος του προβλήματος είναι αρκετά απλό: μια λύση δύο τμημάτων μπορεί να αποκλειστεί αν σκεφτεί κανείς τους περιορισμούς του προβλήματος.Για αρχή, το τρίγωνο και το τετράγωνο πρέπει να έχουν ίσα εμβαδά γιατί τα κομμάτια είναι ίδια.Για ένα τετράγωνο, η μεγαλύτερη δυνατή τομή του είναι κατά μήκος της διαγώνιου.Λίγα μαθηματικά με στυλό και χαρτί δείχνουν ότι, δυστυχώς, το μήκος της διαγώνιου είναι πολύ μικρό για την άκρη του τριγώνου ίσου εμβαδού της, γεγονός που αποκλείει μια λύση δύο τεμαχίων.
Ωστόσο, η απόδειξη ότι δεν υπάρχουν λύσεις τριών κομματιών είναι πολύ πιο δύσκολο, και αυτός είναι ο λόγος για την καθυστέρηση ενός αιώνα.Αν και είναι ένα απλό παζλ τριών κομματιών, υπάρχουν άπειροι τρόποι για να κόψετε το τρίγωνο, λέει ο Demaine.«Κάθε ένα από αυτά τα κομμάτια θα μπορούσε να έχει αυθαίρετα πολλές άκρες και οι συντεταγμένες αυτών των περικοπών ξεκινούν από αυθαίρετα σημεία», λέει."Έχετε αυτές τις συνεχείς παραμέτρους όπου υπάρχουν πολλές και πολλές άπειρες πιθανές επιλογές που το καθιστούν τόσο ενοχλητικά δύσκολο. Δεν μπορείτε απλώς να το εξαναγκάσετε με έναν υπολογιστή."
Μια διδακτορική φοιτήτρια από τη Φινλανδία κατάφερε να λύσει ένα μαθηματικό πρόβλημα που παρέμενε άλυτο επί 40 και πλέον χρόνια.
Η Susanna Heikkilä από το Πανεπιστήμιο του Ελσίνκι κατάφερε να αποκρυπτογραφήσει το ερώτημα που έθεσε ο μαθηματικός Misha Gromov το 1981, και δημοσίευσε το αποτέλεσμα σε ένα από τα πιο έγκυρα επιστημονικά περιοδικά του κόσμου, τo Annals of Mathematics.
Η υποψήφια διδάκτωρ έλυσε ένα πρόβλημα στην τοπολογία, δηλαδή στα μαθηματικά που αφορούν το σχήμα των επιφανειών, επισημαίνει σε δημοσίευμά του το πανεπιστήμιό της. Το γεγονός ότι ένα από τα άρθρα που περιλαμβάνονται στη διδακτορική της διατριβή έχει δημοσιευθεί στο ιδιαίτερα αξιόλογο περιοδικό Annals of Mathematics είναι χαρακτηριστικό για το επίπεδο των αποτελεσμάτων της.
Έδωσε απάντηση σε άλυτο μαθηματικό πρόβλημα 40 ετών
Αποδεικνύοντας μια ευρύτερη εκδοχή του περίφημου 10ου προβλήματος του Χίλμπερτ, δύο ομάδες μαθηματικών έχουν επεκτείνει τη σφαίρα της μαθηματικής μη γνώσης.
Η Myriam Wares για το περιοδικό QuantaΟ κόσμος των μαθηματικών είναι γεμάτος απρόσιτες γωνιές, όπου ζουν άλυτα προβλήματα. Τώρα, ένα άλλο έχει αποκαλυφθεί.Το 1900, ο διαπρεπής μαθηματικός David Hilbert ανακοίνωσε μια λίστα με 23 βασικά προβλήματα που θα καθοδηγήσουν τον επόμενο αιώνα μαθηματικής έρευνας. Τα προβλήματά
Φαινόμενο Baader-Meinhof. Έχει ένα ασυνήθιστο όνομα, αυτό είναι σίγουρο. Ακόμα κι αν δεν το έχετε ακούσει ποτέ, το πιθανότερο είναι ότι έχετε βιώσει αυτό το ενδιαφέρον φαινόμενο ή θα το κάνετε σύντομα.
Εν ολίγοις, το φαινόμενο Baader-Meinhof είναι μια προκατάληψη συχνότητας. Παρατηρείς κάτι νέο, τουλάχιστον είναι καινούργιο για σένα. Θα μπορούσε να είναι μια λέξη, μια ράτσα σκύλου, ένα συγκεκριμένο στυλ σπιτιού ή σχεδόν οτιδήποτε. Ξαφνικά, συνειδητοποιείς αυτό το πράγμα παντού.
Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει αύξηση στην εμφάνιση. Απλώς έχεις αρχίσει να το παρατηρείς.
Ακολουθήστε καθώς κάνουμε μια βαθύτερη βουτιά στο φαινόμενο Baader-Meinhof, πώς πήρε αυτό το περίεργο όνομα και τις δυνατότητές του να μας βοηθήσει ή να μας εμποδίσει.
Έχουμε πάει όλοι εκεί. Άκουσες ένα τραγούδι για πρώτη φορά μόλις τις προάλλες. Τώρα το ακούς όπου κι αν πας. Στην πραγματικότητα, δεν φαίνεται να μπορείτε να το ξεφύγετε. Είναι το τραγούδι — ή είσαι εσύ;
Αν το τραγούδι μόλις χτύπησε το νούμερο ένα στα chart και παίζεται πολύ, είναι λογικό να το ακούς πολύ. Αλλά αν το τραγούδι αποδειχθεί παλιό, και το συνειδητοποιήσατε μόλις πρόσφατα, μπορεί να είστε στα νύχια του φαινομένου Baader-Meinhof, ή στην αντίληψη της συχνότητας.
Είναι η διαφορά ανάμεσα σε κάτι που πραγματικά συμβαίνει πολύ και κάτι που αρχίζεις να εντοπίζεις πολύ.
Το φαινόμενο Baader-Meinhof, ή το φαινόμενο Baader-Meinhof, είναι όταν η επίγνωσή σας για κάτι αυξάνεται. Αυτό σας κάνει να πιστεύετε ότι στην πραγματικότητα συμβαίνει περισσότερο, ακόμα κι αν αυτό δεν συμβαίνει.
Γιατί ο εγκέφαλός σου σου κάνει κόλπα; Μην ανησυχείς. Είναι απολύτως φυσιολογικό. Ο εγκέφαλός σας απλώς ενισχύει κάποιες νεοαποκτηθείσες πληροφορίες. Άλλα ονόματα για αυτό είναι:
ψευδαίσθηση συχνότητας
ψευδαίσθηση πρόσφατου
προκατάληψη επιλεκτικής προσοχής
Μπορεί επίσης να το ακούσετε να ονομάζεται σύνδρομο κόκκινου (ή μπλε) αυτοκινήτου και για καλό λόγο. Την περασμένη εβδομάδα αποφασίσατε ότι θα αγοράσετε ένα κόκκινο αυτοκίνητο για να ξεχωρίσετε από το πλήθος. Τώρα κάθε φορά που μπαίνεις σε ένα πάρκινγκ, περιτριγυρίζεσαι από κόκκινα αυτοκίνητα.
Δεν υπάρχουν περισσότερα κόκκινα αυτοκίνητα αυτήν την εβδομάδα από ό,τι την περασμένη εβδομάδα. Οι άγνωστοι δεν ξέμειναν και αγόρασαν κόκκινα αυτοκίνητα για να σε καψαλίσουν . Απλώς από τότε που πήρες την απόφαση, ο εγκέφαλός σου τραβάει τα κόκκινα αυτοκίνητα.
Αν και είναι συχνά ακίνδυνο, υπάρχουν φορές που μπορεί να είναι πρόβλημα. Εάν έχετε ορισμένες παθήσεις ψυχικής υγείας, όπως σχιζοφρένεια ή παράνοια , η προκατάληψη συχνότητας μπορεί να σας οδηγήσει να πιστέψετε κάτι που δεν είναι αλήθεια και μπορεί να επιδεινώσει τα συμπτώματα.
Το φαινόμενο Baader-Meinhof μας κρυφά, οπότε συνήθως δεν το αντιλαμβανόμαστε καθώς συμβαίνει.
Σκεφτείτε όλα όσα έχετε εκτεθεί σε μια μέρα. Απλώς δεν είναι δυνατό να εμποτιστείτε με κάθε λεπτομέρεια. Ο εγκέφαλός σας έχει τη δουλειά να αποφασίσει ποια πράγματα απαιτούν εστίαση και ποια μπορούν να φιλτραριστούν. Ο εγκέφαλός σας μπορεί εύκολα να αγνοήσει πληροφορίες που δεν φαίνονται ζωτικής σημασίας αυτή τη στιγμή, και το κάνει κάθε μέρα.
Όταν εκτίθεσαι σε ολοκαίνουργιες πληροφορίες, ειδικά αν τις βρίσκεις ενδιαφέρουσες, ο εγκέφαλός σου το προσέχει. Αυτές οι λεπτομέρειες προορίζονται δυνητικά για το μόνιμο αρχείο, επομένως θα είναι μπροστά και στο κέντρο για λίγο.
Αν και είναι συνήθως ακίνδυνο, το φαινόμενο Baader-Meinhof μπορεί να προκαλέσει προβλήματα στην επιστημονική έρευνα.
Η επιστημονική κοινότητα αποτελείται από ανθρώπινα όντα και, ως εκ τούτου, δεν έχουν ανοσία στην προκατάληψη συχνότητας. Όταν συμβεί αυτό, είναι πιο εύκολο να δούμε στοιχεία που επιβεβαιώνουν την προκατάληψη ενώ λείπουν στοιχεία εναντίον της.
Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι ερευνητές λαμβάνουν μέτρα για να προφυλαχθούν από την προκατάληψη.
Πιθανότατα έχετε ακούσει για «διπλή-τυφλές» σπουδές . Τότε είναι που ούτε οι συμμετέχοντες ούτε οι ερευνητές γνωρίζουν ποιος παίρνει τι θεραπεία. Είναι ένας τρόπος για να ξεπεραστεί το πρόβλημα της «προκατάληψης των παρατηρητών» από την πλευρά οποιουδήποτε.
Η ψευδαίσθηση της συχνότητας μπορεί επίσης να προκαλέσει προβλήματα στο νομικό σύστημα. Λογαριασμοί αυτοπτών μαρτύρων , για παράδειγμα, είναισυχνάλανθασμένος. Η επιλεκτική προσοχή και η μεροληψία επιβεβαίωσης μπορεί να επηρεάσουν τις αναμνήσεις μας.
Η προκατάληψη της συχνότητας μπορεί επίσης να οδηγήσει τους διαλυτές εγκλημάτων σε λάθος δρόμο.
Θέλετε ο γιατρός σας να έχει μεγάλη εμπειρία ώστε να μπορεί να ερμηνεύσει τα συμπτώματα και τα αποτελέσματα των εξετάσεων. Η αναγνώριση προτύπων είναι σημαντική για πολλές διαγνώσεις, αλλά η μεροληψία συχνότητας μπορεί να σας κάνει να δείτε ένα μοτίβο όπου δεν υπάρχει.
Για να συμβαδίζουν με την πρακτική της ιατρικής, οι γιατροί εξετάζουν ιατρικά περιοδικά και ερευνητικά άρθρα. Υπάρχει πάντα κάτι καινούργιο να μάθουν, αλλά πρέπει να προφυλαχθούν από το να δουν μια πάθηση σε ασθενείς μόνο και μόνο επειδή την έχουν διαβάσει πρόσφατα.
Η μεροληψία συχνότητας μπορεί να οδηγήσει έναν απασχολημένο γιατρό να χάσει άλλες πιθανές διαγνώσεις.
Από την άλλη, αυτό το φαινόμενο μπορεί να αποτελέσει εργαλείο μάθησης. Το 2019, ο τριτοετής φοιτητής ιατρικής Kush Purohit έγραψε μια επιστολή στον εκδότη του Academic Radiology για να μιλήσει για τη δική του εμπειρία σχετικά με το θέμα.
Μόλις έμαθε για μια πάθηση που ονομάζεται «βόειο αορτικό τόξο », συνέχισε να ανακαλύπτει άλλες τρεις περιπτώσεις μέσα στις επόμενες 24 ώρες.
Ο Purohit πρότεινε ότι η αξιοποίηση ψυχολογικών φαινομένων όπως το Baader-Meinhof θα μπορούσε να ωφελήσει τους φοιτητές της ακτινολογίας, βοηθώντας τους να μάθουν βασικά πρότυπα αναζήτησης καθώς και τις δεξιότητες για τον εντοπισμό ευρημάτων που άλλοι μπορεί να παραβλέψουν.
Όσο περισσότερο γνωρίζετε κάτι, τόσο πιο πιθανό είναι να το θέλετε. Ή έτσι πιστεύουν ορισμένοι έμποροι. Αυτός είναι πιθανώς ο λόγος που ορισμένες διαφημίσεις συνεχίζουν να εμφανίζονται στις ροές των μέσων κοινωνικής δικτύωσης. Το να γίνει viral είναι το όνειρο πολλών γκουρού του μάρκετινγκ.
Βλέποντας κάτι να εμφανίζεται ξανά και ξανά μπορεί να οδηγήσει στην υπόθεση ότι είναι πιο επιθυμητό ή πιο δημοφιλές από ό,τι είναι. Ίσως στην πραγματικότητα είναι μια νέα τάση και πολλοί άνθρωποι αγοράζουν το προϊόν, ή μπορεί να φαίνεται έτσι.
Εάν έχετε την τάση να αφιερώσετε λίγο χρόνο για να ερευνήσετε το προϊόν, μπορεί να καταλήξετε σε μια διαφορετική προοπτική. Εάν δεν το σκέφτεστε πολύ, η επανάληψη της προβολής της διαφήμισης μπορεί να επιβεβαιώσει την προκατάληψη σας, ώστε να έχετε περισσότερες πιθανότητες να καταργήσετε την πιστωτική σας κάρτα.
Το 2005, ο γλωσσολόγος του Πανεπιστημίου του Στάνφορντ, Άρνολντ Ζβίκι, έγραψε για αυτό που ονόμασε «ψευδαίσθηση της πρόσφατης συμπεριφοράς», ορίζοντας την ως «την πεποίθηση ότι πράγματα που έχετε παρατηρήσει μόλις πρόσφατα είναι στην πραγματικότητα πρόσφατα». Μίλησε επίσης για την «ψευδαίσθηση συχνότητας», περιγράφοντάς την ως «από τη στιγμή που παρατηρείς ένα φαινόμενο, νομίζεις ότι συμβαίνει πολύ».
Σύμφωνα με τον Zwicky , η ψευδαίσθηση της συχνότητας περιλαμβάνει δύο διαδικασίες. Το πρώτο είναι η επιλεκτική προσοχή, που είναι όταν παρατηρείς πράγματα που σε ενδιαφέρουν περισσότερο ενώ αγνοείς τα υπόλοιπα. Το δεύτερο είναι η μεροληψία επιβεβαίωσης, η οποία είναι όταν αναζητάτε πράγματα που υποστηρίζουν τον τρόπο σκέψης σας, ενώ αγνοείτε πράγματα που δεν υποστηρίζουν.
Αυτά τα μοτίβα σκέψης είναι πιθανώς τόσο παλιά όσο η ανθρωπότητα.
Η συμμορία Baader-Meinhof
Η συμμορία Baader-Meinhof, γνωστή και ως Φατρία του Κόκκινου Στρατού, είναι μια δυτικογερμανική τρομοκρατική ομάδα που δραστηριοποιήθηκε τη δεκαετία του 1970.
Έτσι, πιθανότατα αναρωτιέστε πώς το όνομα μιας τρομοκρατικής συμμορίας συνδέθηκε με την έννοια της ψευδαίσθησης συχνότητας.
Λοιπόν, όπως μπορεί να υποψιάζεστε, φαίνεται ότι γεννήθηκε από το ίδιο το φαινόμενο. Μπορεί να πάει πίσω σε έναν πίνακα συζητήσεων στα μέσα της δεκαετίας του 1990, όταν κάποιος αντιλήφθηκε τη συμμορία Baader-Meinhof και μετά άκουσε αρκετές ακόμη αναφορές γι' αυτήν μέσα σε σύντομο χρονικό διάστημα.
Χωρίς μια καλύτερη φράση για χρήση, η έννοια έγινε απλά γνωστή ως φαινόμενο Baader-Meinhof. Και κόλλησε.
Ορίστε το έχετε. Το φαινόμενο Baader-Meinhof είναι όταν αυτό για το οποίο ανακάλυψες πρόσφατα βρίσκεται ξαφνικά εδώ, εκεί και παντού. Αλλά όχι πραγματικά. Απλώς μιλάμε για την προκατάληψη της συχνότητας.
Τώρα που το διαβάσατε, μην εκπλαγείτε αν το ξανασυναντήσετε σύντομα.
Όταν κανείς δεν μπορεί να λύσει την εικασία που σκαρφίστηκε ο Γάλλος μαθηματικός πριν από 382 χρόνια, το πρόβλημα μετατρέπεται σε… μαθηματικός θρύλος. Τα τελευταία 3 χρόνια όμως, το «δυσκολότερο μαθηματικό πρόβλημα» όπως αναφέρει το βιβλίο Γκίνες, βρίσκεται ένα βήμα πιο κοντά στην λύση του. Ο δρόμος για την απόδειξη του ωστόσο, παραμένει ακόμα δύσβατος.
Αλλά προσέξατε ποτέ ότι το 144 , που είναι το 12 στο τετράγωνο, είναι ο δωδέκατος αριθμός Fibonacci;
Ένα άλλο ενδιαφέρον πράγμα: Γ Αν αλλάξουμε τη σειρά των ψηφίων του αριθμού 144 προκύπτει ο αριθμός 441, το οποίο είναι 21 στο τετράγωνο. Το μόνο άλλο ζεύγος αριθμών με αυτήν την ιδιότητα είναι ο 169 και ο 961, οι οποίοι έχουν τετραγωνικές ρίζες 13 και 31 αντίστοιχα.
1+4+4=9, που είναι επίσης τετράγωνο. 1*4*4=16, που είναι επίσης τετράγωνο. Και πάλι 9*16= 144 .
Επιπλέον, αν προσθέσουμε το 9 και 16 δίνει 25, που είναι ένας άλλος τρόπος να πούμε ότι 3^2+4^2=5^2. Και είναι ενδιαφέρον ότι η περίμετρος αυτού του τριγώνου είναι ίση με ΔΩΔΕΚΑ.
Και μιλώντας για τρίγωνα, έχω ένα άλλο τρελό τρίγωνο που περιλαμβάνει το 144: το τρίγωνο 5, 12, 13. Έχουμε το 5 και το 12, τις τετραγωνικές ρίζες του 25 και του 144, και έχουμε επίσης 13. Το τετράγωνό του είναι 169. Συνδέοντας το 16 και το 9 προκύπτει 169. Επίσης, το 169 είναι στο ζεύγος που προανέφερα.
Ένα άλλο τρελό με το τρίγωνο 5-12-13 είναι ότι 12+13=25, που είναι το τετράγωνο του μήκους της ΤΡΙΤΗΣ πλευράς. Προσθέτοντας το 5 σε αυτό προκύπτει μια περίμετρος 30, που είναι και το εμβαδόν του τριγώνου, οπότε η αναλογία μεταξύ τους είναι μόνο ΜΙΑ. Αυτό οδήγησε σε μια ολόκληρη έρευνα των αναλογιών μεταξύ της περιμέτρου και του εμβαδού των πυθαγόρειων τριπλών, η οποία φυσικά οδήγησε σε ΑΥΤΟ:
Οι αριθμοί Markov αποκαλύπτουν τα μυστικά των παράλογων αριθμών και τα μοτίβα της ακολουθίας Fibonacci. Αλλά υπάρχει μια ερώτηση σχετικά με αυτούς που αντιστέκεται στην απόδειξη για πάνω από έναν αιώνα.
Αυτό το δέντρο δείχνει πώς μπορείτε να προσδιορίσετε μοναδικά μια τριάδα Markov. Ξεκινήστε από τον μεγαλύτερο αριθμό στο τριπλό σας. Στη συνέχεια, διασχίστε δύο παρακείμενα κλαδιά για να μετακινηθείτε προς τα κάτω στο δέντρο. Για παράδειγμα, αν ξεκινήσετε από το 194, θα φτάσετε στο 13 και στο 5. Kristina Armitage/ Περιοδικό QuantaΕισαγωγή Οι περισσότεροι άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με μια χούφτα αριθμών που δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα, π.χ √2ήπ. Αλλά τέτοιοι αριθμοί, που ονομάζονται παράλογοι αριθμοί, είναι πολύ πιο πολλοί από τα κλάσματα ή τους ρητούς αριθμούς. Πόσο εύκολο είναι να προσεγγιστούν με κλάσματα; Εάν χρησιμοποιείτε ένα κλάσμα με αυθαίρετα μεγάλο παρονομαστή, μπορείτε να πλησιάσετε αυθαίρετα. (Όπως είναι γνωστό, το 22/7 δίνει μια αξιοπρεπή προσέγγιση του π; Το 355/113 είναι ακόμα καλύτερο.) Αλλά ορισμένοι παράλογοι αριθμοί είναι πιο δύσκολο να προσεγγιστούν από άλλους, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν πολύ μεγάλο παρονομαστή για να λάβετε μια κοντινή προσέγγιση. Το πιο δύσκολο αποδεικνύεται η χρυσή τομή,ϕ, ή(1+)/2. Είναι, με μια συγκεκριμένη μαθηματική έννοια, ο αριθμός που απέχει περισσότερο από το να είναι λογικός. Ποιο είναι το επόμενο-μακρύτερο; Και το επόμενο; Η ακολουθία των δύσκολων στην προσέγγιση παράλογων αριθμών αποδεικνύεται ότι δίνεται από τις ακέραιες λύσεις σε μια απατηλά απλή εξίσωση που δεν έχει προφανή σχέση με την προσέγγιση παράλογων αριθμών. Αυτή η σύνδεση αποδείχθηκε από τον Andrey Markov, έναν προνοητικό Ρώσο μαθηματικό, το 1879.Ο Markov είναι διάσημος για τη δημιουργία μιας ιδέας στη θεωρία πιθανοτήτων που ονομάζεται αλυσίδες Markov, οι οποίες χρησιμοποιούνται σε οτιδήποτε, από τον αλγόριθμο PageRank της Google μέχρι μοντέλα εξέλιξης DNA. Όμως, αν και οι λύσεις της εξίσωσής του, που ονομάζονται αριθμοί Markov, δεν είναι σχεδόν τόσο γνωστές, προκύπτουν σε ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών κλάδων, όπως η συνδυαστική, η θεωρία αριθμών, η γεωμετρία και η θεωρία γραφημάτων.
«Δεν είναι απλώς μια εξίσωση, είναι ένα είδος μεθόδου», είπε ο Oleg Karpenkov , μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Λίβερπουλ. «Αυτοί οι αριθμοί είναι κεντρικοί, βαθιά μέσα στα μαθηματικά… δομές όπως αυτή είναι το είδος των ιδεών που είναι σπάνιες».
Η εξίσωσή του,++=3Χyz
, έχει μια προφανή ακέραια λύση όταν τα x , y και z είναι όλα 1 (αφού 1 + 1 + 1 = 3 × 1). Αποδεικνύεται ότι όλες οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης συνδέονται με έναν απλό κανόνα. Ξεκινήστε με μια λύση ( a , b , c ). Τότε η σχετική τριάδα ( a , b , 3 ab − c ) είναι επίσης λύση. Οι δύο πρώτοι αριθμοί παραμένουν ίδιοι, ενώ ο c , ο τρίτος, αντικαθίσταται από 3 ab − c . Εφαρμόστε αυτόν τον κανόνα στο (1, 1, 1) και θα λάβετε (1, 1, 2). (Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι η εισαγωγή αυτών των τιμών κάνει και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ίσες με 6.) Εφαρμόστε ξανά τον κανόνα και θα επιστρέψετε εκεί που ξεκινήσατε, αφού 3 − 2 = 1. Αλλά αν αντιστρέψετε τη σειρά του αριθμοί στο τριπλό πριν εφαρμόσει τον κανόνα, δημιουργεί ένα ολόκληρο σύμπαν λύσεων. Εισαγάγετε (1, 2, 1) και θα λάβετε (1, 2, 5).
Μέχρι τώρα, λόγω των πανομοιότυπων 1, το δέντρο (που φαίνεται στην εικόνα στην αρχή αυτής της ιστορίας) δεν διακλαδίζεται — τα πρώτα βήματα μεγαλώνουν τον κορμό του δέντρου, ας πούμε έτσι. Αλλά αν ξεκινήσετε με μια λύση με τρεις διαφορετικούς αριθμούς, όπως (1, 2, 5), τα κλαδιά αρχίζουν να πολλαπλασιάζονται. Εισαγάγετε (5, 1, 2) και λαμβάνετε (1, 5, 13). Αλλά το (2, 5, 1) καταλήγει σε (2, 5, 29). (Αν εισαγάγετε (1,2,5) τότε ο κανόνας σας μεταφέρει πίσω σε έναν χαμηλότερο κλάδο του δέντρου.) Από αυτό το σημείο και μετά, κάθε λύση έχει τρεις διαφορετικούς αριθμούς, επομένως κάθε κλάδος του δέντρου οδηγεί σε δύο νέους κλάδους .
Ο αριστερός κλάδος του δέντρου μπορεί να φαίνεται οικείος — περιέχει κάθε άλλο αριθμό στην ακολουθία Fibonacci, έναν από τους πιο γνωστούς στα μαθηματικά (κάθε αριθμός σε αυτήν την ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …). Ο δεξιότερος κλάδος περιέχει ομοίως κάθε άλλο όρο στην ακολουθία Pell, μια σχετική, αν και λίγο λιγότερο διάσημη, ακολουθία. Ο τρόπος με τον οποίο εμφανίζονται αυτές οι ακολουθίες στο δέντρο των λύσεων είναι «ένα από τα πιο όμορφα πράγματα στα μαθηματικά που γνωρίζω», είπε ο Alexander Gamburd , καθηγητής στο Πανεπιστήμιο City της Νέας Υόρκης.
Το θεώρημα του Markov του 1879, που συσχετίζει κάθε τριπλέτα με έναν δύσκολα προσεγγίσιμο παράλογο αριθμό, ήταν ο πρώτος υπαινιγμός ότι αυτή η εξίσωση μπορεί να έχει βαθιά απήχηση σε όλα τα μαθηματικά. Σε ένα βιβλίο του 2013 για το θέμα , ο Martin Aigner, ένας Αυστριακός μαθηματικός που πέθανε τον Οκτώβριο, ονόμασε το θεώρημα «αναμφίβολα ένα από τα κλασικά όλων των εποχών στη θεωρία αριθμών».
Το 1913, ο Georg Frobenius, ένας γερμανός μαθηματικός που έκανε εκτεταμένες συνεισφορές στην άλγεβρα, τη θεωρία αριθμών και τη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων, παρατήρησε κάτι περίεργο για τις τριάδες Markov. Κάθε μεγαλύτερος αριθμός φαινόταν να καθορίζει μοναδικά τους δύο μικρότερους. Ένας αριθμός — πάρτε για παράδειγμα το 5 — μπορεί να εμφανίζεται σε πολλές τρίδυμες, όπως (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29) και ούτω καθεξής. Όμως, παρατήρησε, εάν κοιτάξετε μόνο τον μεγαλύτερο αριθμό σε κάθε τρίδυμο, θα συνδεθεί μόνο με ένα ζευγάρι μικρότερων αριθμών.
Επειδή οι αριθμοί αυξάνονται τόσο γρήγορα, δεν είναι προφανές ότι αυτό θα έπρεπε να είναι αλήθεια. Για παράδειγμα, πάρτε την τριάδα (5, 433, 6,466). Δεν είναι εύκολα προφανές ότι αν ορίσετε το z σε 6.466, τα μόνα δυνατά x και y που θα λύσουν την εξίσωση είναι το 5 και το 433. Όμως, όσο μπορούσε να πει ο Frobenius, ο μεγαλύτερος αριθμός καθόριζε πάντα μοναδικά τους δύο μικρότερους. Στα 110 χρόνια από τότε, παρά τον τεράστιο όγκο έρευνας που συνδέει τους αριθμούς Markov με άλλα προβλήματα, κανείς δεν μπόρεσε να αποδείξει αυτό που έγινε γνωστό ως εικασία μοναδικότητας.
Η σχετική απλότητα της εικασίας απεικονίζει ένα κοινό μαθηματικό παράδοξο. Εργαλεία όπως η εξίσωση Markov μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη λεπτών και περίπλοκων αποτελεσμάτων ακόμη και όταν βασικά ερωτήματα σχετικά με τις ιδιότητές τους παραμένουν άλυτα.
Ωστόσο, τα τελευταία χρόνια, έχει σημειωθεί κάποια αξιοσημείωτη πρόοδος προς την απόδειξη της εικασίας μοναδικότητας. Είναι από καιρό γνωστό ότι είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια αντιστοιχία μεταξύ κάθε τριπλού Markov και όλων των κλασμάτων μεταξύ μηδέν και 1. Για κάθε κλάσμα p / q , που ονομάζεται δείκτης, μπορείτε να αντιστοιχίσετε έναν αριθμό Markov m p / qακολουθώντας μια συγκεκριμένη μαθηματική διαδικασία. Για παράδειγμα, το m 2/3 είναι 29 και το m 3/5 είναι 433.
Το 2013, ο Aigner έκανε τρεις εικασίες σχετικά με το πώς μπορούν να παραγγελθούν τα τρίκλινα χρησιμοποιώντας αυτήν την αλληλογραφία. Αυτές οι εικασίες αποτελούν σκαλοπάτι στο δρόμο για την απόδειξη της εικασίας μοναδικότητας. Υπέθεσε ότι εάν κρατήσετε τον αριθμητή του δείκτη σταθερό και αυξήσετε τον παρονομαστή (όπως στο 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,…), οι αντίστοιχοι αριθμοί Markov θα συνεχίσουν να μεγαλώνουν. Ομοίως, σκέφτηκε ότι αν αυξήσετε τον αριθμητή αλλά διατηρήσετε τον ίδιο παρονομαστή (όπως στα 1/17, 2/17, 3/17, 4/17, …), θα πρέπει επίσης να πάρετε μια σειρά από ολοένα και μεγαλύτερους αριθμούς Markov. Το ίδιο μοτίβο αυξανόμενων αριθμών, σκέφτηκε, θα έπρεπε να ισχύει αν το άθροισμα του αριθμητή και του παρονομαστή διατηρηθεί σταθερό (όπως στο 1/100, 2/99, 3/98, …).
Η εικασία σταθερού αριθμητή αποδείχθηκε σεμια εργασία του 2020στο Advances in Mathematics από τη Michelle Rabideau του Πανεπιστημίου του Χάρτφορντ και τον Ralf Schiffler του Πανεπιστημίου του Κονέκτικατ. Τον Φεβρουάριο του 2023, μαζί με δύο άλλους συνεργάτες, ο Rabideau και ο Schiffler δημοσίευσαν μια απόδειξη και για τις άλλες δύο εικασίες .
Εξαιτίας αυτών και άλλων προόδων, ο Karpenkov είναι αισιόδοξος ότι μια απόδειξη της εικασίας της μοναδικότητας του Frobenius μπορεί τελικά να είναι στα σκαριά. «Ξέρω ανθρώπους που λένε ότι πλησιάζουν να το αποδείξουν», είπε. «Νομίζω ότι είμαστε πολύ κοντά – ίσως μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια».
Διόρθωση: 18 Δεκεμβρίου 2023 Η σειρά των δύο τριπλών (2,5,29) και (1,5,13) σε ένα παράδειγμα αυτής της ιστορίας ήταν λανθασμένη. Εμφανίζονται τώρα με τη σωστή σειρά.
