Νέες αποδείξεις διερευνούν τα όρια της μαθηματικής αλήθειας

 Αποδεικνύοντας μια ευρύτερη εκδοχή του περίφημου 10ου προβλήματος του Χίλμπερτ, δύο ομάδες μαθηματικών έχουν επεκτείνει τη σφαίρα της μαθηματικής μη γνώσης.

Η Myriam Wares για  το περιοδικό Quanta

Ο κόσμος των μαθηματικών είναι γεμάτος απρόσιτες γωνιές, όπου ζουν άλυτα προβλήματα. Τώρα, ένα άλλο έχει αποκαλυφθεί.Το 1900, ο διαπρεπής μαθηματικός David Hilbert ανακοίνωσε μια λίστα με 23 βασικά προβλήματα που θα καθοδηγήσουν τον επόμενο αιώνα μαθηματικής έρευνας. Τα προβλήματά του όχι μόνο παρείχαν έναν οδικό χάρτη για το πεδίο, αλλά αντανακλούσαν ένα πιο φιλόδοξο όραμα - να χτίσει μια σταθερή βάση από την οποία θα μπορούσαν να αντληθούν όλες οι μαθηματικές αλήθειες.Ένα βασικό μέρος αυτού του οράματος ήταν ότι τα μαθηματικά πρέπει να είναι «πλήρη». Δηλαδή, όλες οι δηλώσεις του θα πρέπει να είναι αποδεδειγμένα αληθείς ή ψευδείς.Στη δεκαετία του 1930, ο Kurt Gödel έδειξε ότι αυτό είναι αδύνατο: Σε οποιοδήποτε μαθηματικό σύστημα, υπάρχουν δηλώσεις που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να διαψευσθούν. Λίγα χρόνια αργότερα, ο Άλαν Τούρινγκ και άλλοι βασίστηκαν στη δουλειά του, δείχνοντας ότι τα μαθηματικά είναι γεμάτα από «αναποφάσιστες» δηλώσεις — προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν από κανέναν αλγόριθμο υπολογιστή.Αυτά τα αποτελέσματα έδειξαν ότι υπάρχουν θεμελιώδη όρια στο τι μπορούν να κάνουν η απόδειξη και ο υπολογισμός. Κάποια μαθηματικά απλά δεν μπορούν ποτέ να γίνουν γνωστά.Το όνειρο του Χίλμπερτ ήταν νεκρό. Αλλά έζησε αποσπασματικά. Πολλές από τις ερωτήσεις από τη λίστα των τελευταίων του αιώνα εξακολουθούσαν να προκαλούν το όραμά του, επιτρέποντας στην ιδέα ενός ολοκληρωμένου μαθηματικού να επιβιώσει σε στενότερα πλαίσια.

Κυριότερο μεταξύ αυτών ήταν το 10ο πρόβλημά του. Αφορά τις Διοφαντικές εξισώσεις: πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, όπως x 2 + y 2 = 5. Αυτές οι γνωστές εξισώσεις είναι ένα από τα πιο κεντρικά αντικείμενα μελέτης στα μαθηματικά. Για χιλιετίες, οι μαθηματικοί αναζήτησαν ακέραιες λύσεις σε αυτές. Σε αυτό το παράδειγμα, για παράδειγμα, μια λύση είναι x = 1, y = 2 (αφού 1 2 + 2 2 = 5). Ένα άλλο είναι x = 2, y = −1.

Το 1900, ο David Hilbert έθεσε 23 προβλήματα που ήλπιζε ότι θα καθοδηγούσαν τον επόμενο αιώνα μαθηματικής έρευνας. Αυτά τα προβλήματα εξακολουθούν να επηρεάζουν τον τομέα σήμερα. Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν

Άλλες Διοφαντικές εξισώσεις, όπως x 2 + y 2 = 3, δεν έχουν ακέραιες λύσεις. Το 10ο πρόβλημα του Χίλμπερτ ρώτησε εάν είναι πάντα δυνατό να πούμε εάν μια δεδομένη εξίσωση Διοφαντίνου έχει ακέραιες λύσεις. Υπάρχει αλγόριθμος για να το προσδιορίσει αυτό για κάθε εξίσωση ή το πρόβλημα δεν μπορεί να επιλυθεί; Μπορεί να μην υπάρχει ελπίδα για μια πλήρη και συστηματική προσέγγιση σε όλα τα μαθηματικά - ή ακόμα και στα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ - αλλά μπορεί να υπάρχει ακόμα όταν πρόκειται για τις Διοφαντικές εξισώσεις, που αποτελούν έναν μικρόκοσμο του αρχικού του προγράμματος. «Αυτό το πρόβλημα είναι μια πολύ φυσική εκδοχή αυτού του ονείρου», είπε από το Πανεπιστήμιο της Ουτρέχτης.Peter Koymans

Το 1970, ένας Ρώσος μαθηματικός ονόματι γκρέμισε αυτό το όνειρο. Έδειξε ότι δεν υπάρχει γενικός αλγόριθμος που να μπορεί να προσδιορίσει εάν οποιαδήποτε δεδομένη εξίσωση Διοφαντίνης έχει ακέραιες λύσεις — ότι το 10ο του Χίλμπερτ είναι ένα αδιευκρίνιστο πρόβλημα. Ίσως μπορέσετε να βρείτε έναν αλγόριθμο που μπορεί να αξιολογήσει τις περισσότερες εξισώσεις, αλλά δεν θα λειτουργήσει για κάθε μία.Γιούρι Ματίγιασεβιτς

Ακόμη και σε αυτό το πιο απλό είδος μαθηματικών, ελλοχεύει η αγνωσία.

Ο μαθηματικός Yuri Matiyasevich, που είδαμε εδώ το 1969, απέδειξε ότι το 10ο πρόβλημα του Hilbert δεν μπορεί να επιλυθεί. Yuri Matiyasevich μέσω Wikimedia Commons, Creative Commons-Attribution 3.0/Unported άδεια

Οι μαθηματικοί ήθελαν να δοκιμάσουν την εμβέλεια του συμπεράσματος του Matiyasevich. Ας υποθέσουμε ότι επιτρέπετε στις Διοφαντικές εξισώσεις σας να έχουν σύνθετες λύσεις (αριθμοί που μπορούν να γραφτούν με πραγματικά και φανταστικά μέρη και που δεν περιορίζονται σε ακέραιους αριθμούς). Σε αυτή την περίπτωση, κάθε Διοφαντική εξίσωση έχει μια λύση και η απάντηση στο 10ο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα ηχηρό ναι. Αλλά υπάρχει μια ολόκληρη σειρά Διοφαντικών εξισώσεων μεταξύ εξισώσεων με λύσεις που πρέπει να είναι ακέραιοι και εξισώσεων με λύσεις που μπορεί να είναι σύνθετες.

«Είναι άλυτο για ακέραιους αριθμούς, τότε όταν περνάς σε πολύ μεγαλύτερα συστήματα αριθμών, αποκτάς επιλυτότητα ξαφνικά», είπε του Πανεπιστημίου Χάρβαρντ. «Πού είναι η αποκοπή;»Μπάρι Μαζούρ

Στα 50 χρόνια από τότε που επιλύθηκε το 10ο πρόβλημα του Χίλμπερτ, οι μαθηματικοί αναζητούσαν αυτό το όριο. Τώρα, ο Koymans και ο μακροχρόνιος συνεργάτης του, του Πανεπιστημίου Concordia στο Μόντρεαλ - καθώς και μια άλλη ομάδα ερευνητών που εργάζονται ανεξάρτητα - έχουν κάνει ένα σημαντικό βήμα προς αυτόν τον στόχο. Και οι δύο ομάδες έχουν αποδείξει ότι, για πέρα ​​από ακέραιους αριθμούς, δεν υπάρχει για να προσδιοριστεί εάν κάποια δεδομένη εξίσωση Διοφαντίνης έχει λύση. Το έργο όχι μόνο επιτρέπει στους μαθηματικούς να έχουν μια πιο ακριβή άποψη για το τι μπορούν και τι δεν μπορούν να γνωρίζουν, αλλά τους δίνει ένα εντελώς νέο επίπεδο ελέγχου σε ένα από τα πιο κεντρικά αντικείμενα στα μαθηματικά.Κάρλο Παγκάνο

Επέκταση από ακέραιους αριθμούςΟι νέες αποδείξεις επικεντρώθηκαν σε μια φυσική επέκταση του 10ου προβλήματος του Hilbert. Η επέκταση ασχολείται με Διοφαντικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις ανήκουν σε συστήματα αριθμών που είναι στενοί συγγενείς των ακεραίων.

Εάν ξεκινήσετε με τους αριθμούς 1 και −1, μπορείτε να τους προσθέσετε σε διαφορετικούς συνδυασμούς για να πάρετε κάθε άλλο ακέραιο. Αλλά ας πούμε ότι ξεκινάτε με ένα διαφορετικό πεπερασμένο σύνολο αριθμών — όπως 1, −1 και $latex \sqrt{2}$. Μπορείτε να προσθέσετε αυτούς τους αριθμούς σε διαφορετικούς συνδυασμούς για να αποκτήσετε ένα νέο σύστημα αριθμών, που ονομάζεται δακτύλιος ακεραίων (ονομάζεται έτσι, παρόλο που ο δακτύλιος δεν χρειάζεται να περιέχει μόνο ακέραιους αριθμούς). Άλλοι δακτύλιοι ακεραίων μπορούν να δημιουργηθούν από σύνολα αριθμών που περιλαμβάνουν, ας πούμε, την τετραγωνική ρίζα του −1 (ο φανταστικός αριθμός που οι μαθηματικοί αποκαλούν i ) ή την κυβική ρίζα του 2. Υπάρχει αλγόριθμος που μπορεί πάντα να καθορίσει εάν μια δεδομένη εξίσωση Διοφαντίου έχει λύσεις που εμπίπτουν σε έναν από αυτούς τους δακτυλίους ακέραιων αριθμών;

Ο Carlo Pagano του Πανεπιστημίου Concordia χρησιμοποίησε πρόσφατα την τεχνογνωσία του στις ελλειπτικές καμπύλες για να επιλύσει μια σημαντική εικασία στη θεωρία αριθμών. Maude Dufour-Gauthier

Οι μαθηματικοί υποψιάζονταν ότι, για κάθε δακτύλιο ακεραίων - δηλαδή, άπειρα πολλά συστήματα αριθμών - το πρόβλημα είναι ακόμα αδιευκρίνιστο. Αυτό θα επεκτείνει το συμπέρασμα πολύ πέρα ​​από το αρχικό, εστιασμένο σε ακέραιο πεδίο εφαρμογής του 10ου προβλήματος του Hilbert.Για να το αποδείξουν αυτό, ήλπιζαν να ακολουθήσουν τα βήματα της απόδειξης αυτού του αρχικού προβλήματος — εκείνου που περιελάμβανε μόνο ακέραιες λύσεις.Γενικά, οι αποδείξεις ακαθόριστης ικανότητας — αποδείξεις που καθορίζουν εάν υπάρχει ένας γενικός αλγόριθμος που μπορεί να απαντήσει σε μια δεδομένη ερώτηση — ακολουθούν την ίδια συνταγή: Δείχνουν ότι το πρόβλημα που μας ενδιαφέρει είναι ισοδύναμο με ένα διάσημο μη αποφασιστικό πρόβλημα στην επιστήμη των υπολογιστών που ονομάζεται πρόβλημα διακοπής. Το πρόβλημα διακοπής ρωτά εάν μια εξιδανικευμένη υπολογιστική συσκευή που ονομάζεται μηχανή Turing, όταν τροφοδοτείται μια δεδομένη είσοδος, θα λειτουργεί για πάντα ή τελικά θα σταματήσει. Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να μπορεί να απαντήσει σε αυτό για κάθε μηχανή Turing.

Είναι δυνατό να σκεφτούμε τις εξισώσεις Διοφαντίνων ως υπολογιστικές συσκευές επίσης. Θεωρήστε την εξίσωση y = x 2 . Έχει άπειρες ακέραιες λύσεις. Εάν συνδέσετε διαφορετικούς ακέραιους αριθμούς για το x και λύσετε για το y , οι τιμές που λαμβάνετε ανήκουν όλες σε ένα διάσημο σύνολο ακεραίων: τα τέλεια τετράγωνα. Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς ένα πρόγραμμα υπολογιστή (δηλαδή, μια μηχανή Turing) που εκτελεί μια ισοδύναμη εργασία: «Υπολογίστε την ακολουθία των τέλειων τετραγώνων».

Άλλες Διοφαντικές εξισώσεις μπορούν να κωδικοποιήσουν άλλα είδη υπολογισμών.

Η Τζούλια Ρόμπινσον έπαιξε βασικό ρόλο στην τελική απόδειξη του 10ου προβλήματος του Χίλμπερτ. «Έκανε μια από τις θεμελιώδεις ανακαλύψεις στην ιστορία των μαθηματικών», είπε ο μαθηματικός Andrew Granville. Ωστόσο, «κάπως, οι άνθρωποι που έδωσαν βραβεία δεν της έδωσαν πολλά». George M. Bergman

Για να διευθετήσουν το αρχικό 10ο πρόβλημα του Χίλμπερτ, οι μαθηματικοί βασίστηκαν σε αυτήν την ιδέα. Στην εργασία που ξεκίνησε με την Julia Robinson και άλλους γύρω στο 1950 και κορυφώθηκε στο αποτέλεσμα του Matiyasevich το 1970, αποδείχθηκε ότι για κάθε μηχανή Turing, υπάρχει μια αντίστοιχη Διοφαντική εξίσωση. «Ήταν εντελώς απροσδόκητο», είπε από το Ποντιφικό Καθολικό Πανεπιστήμιο της Χιλής στο Σαντιάγο. «Οι διοφαντικές εξισώσεις πάνω από τους ακέραιους αριθμούς είναι αρκετές για να ορίσουν, βασικά, οτιδήποτε μπορείς να φανταστείς».Έκτορ Πάστεν

Επιπλέον, οι μαθηματικοί έθεσαν αυτή την κομψή αντιστοιχία έτσι ώστε εάν μια μηχανή Turing σταματούσε για μια δεδομένη είσοδο, η αντίστοιχη Διοφαντική εξίσωσή της θα είχε μια ακέραια λύση. Αν η μηχανή Turing λειτουργούσε για πάντα, η αντίστοιχη Διοφαντική εξίσωσή της δεν θα είχε λύση. Αλλά αυτό σήμαινε ότι το 10ο πρόβλημα του Χίλμπερτ κωδικοποίησε το πρόβλημα διακοπής: Ένας αλγόριθμος που θα μπορούσε να ταξινομεί τις Διοφαντικές εξισώσεις με βάση το αν είχαν ή όχι ακέραιες λύσεις θα μπορούσε επίσης να ταξινομήσει τις μηχανές Turing με βάση το αν σταμάτησαν ή όχι.Με άλλα λόγια, το 10ο πρόβλημα του Χίλμπερτ δεν μπορεί να επιλυθεί.Οι μαθηματικοί ήλπιζαν να ακολουθήσουν την ίδια προσέγγιση για να αποδείξουν την εκτεταμένη εκδοχή του προβλήματος με δαχτυλίδια ακέραιων αριθμών — αλλά πέτυχαν ένα εμπόδιο.Gumming Up the Works

Η χρήσιμη αντιστοιχία μεταξύ των μηχανών Turing και των εξισώσεων Diophantine καταρρέει όταν οι εξισώσεις επιτρέπεται να έχουν μη ακέραιες λύσεις. Για παράδειγμα, θεωρήστε ξανά την εξίσωση y = x 2 . Εάν εργάζεστε σε έναν δακτύλιο ακεραίων αριθμών που περιλαμβάνει $latex \sqrt{2}$, τότε θα καταλήξετε με μερικές νέες λύσεις, όπως x = $latex \sqrt{2}$, y = 2. Η εξίσωση δεν αντιστοιχεί πλέον σε μια μηχανή Turing που υπολογίζει τέλεια τετράγωνα — και, γενικότερα, δεν μπορεί πλέον να εκφράζει τις εξισώσεις Διοφαντικών προβλημάτων.

Αλλά το 1988, ένας μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης ονόματι άρχισε να παίζει με ιδέες για το πώς να ξεπεράσει αυτό το πρόβλημα. Μέχρι το 2000, αυτή και άλλοι είχαν διαμορφώσει ένα σχέδιο. Ας πούμε ότι επρόκειτο να προσθέσετε μια δέσμη επιπλέον όρων σε μια εξίσωση όπως y = x 2 που ανάγκασε με μαγικό τρόπο το x να είναι ξανά ακέραιος, ακόμη και σε διαφορετικό σύστημα αριθμών. Τότε θα μπορούσατε να σώσετε την αλληλογραφία σε μια μηχανή Turing. Θα μπορούσε να γίνει το ίδιο για όλες τις Διοφαντικές εξισώσεις; Εάν ναι, θα σήμαινε ότι το πρόβλημα του Hilbert θα μπορούσε να κωδικοποιήσει το πρόβλημα διακοπής στο νέο σύστημα αριθμών.Σάσα Σλαπεντόκ

Με τα χρόνια, ο Shlapentokh και άλλοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ποιους όρους έπρεπε να προσθέσουν στις εξισώσεις Διοφαντίνων για διάφορα είδη δακτυλίων, κάτι που τους επέτρεψε να αποδείξουν ότι το πρόβλημα του Hilbert ήταν ακόμη αναπόφευτο σε αυτές τις ρυθμίσεις. Έπειτα έβρασαν όλους τους εναπομείναντες δακτυλίους ακεραίων σε μία περίπτωση: δακτυλίους που περιλαμβάνουν τον φανταστικό αριθμό i . Οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι σε αυτή την περίπτωση, οι όροι που θα έπρεπε να προσθέσουν θα μπορούσαν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας μια ειδική εξίσωση που ονομάζεται ελλειπτική καμπύλη.

Αλλά η ελλειπτική καμπύλη θα έπρεπε να ικανοποιεί δύο ιδιότητες. Πρώτον, θα έπρεπε να υπάρχουν άπειρες λύσεις. Δεύτερον, εάν μεταβείτε σε διαφορετικό δακτύλιο ακεραίων - εάν αφαιρούσατε τον φανταστικό αριθμό από το σύστημα αριθμών σας - τότε όλες οι λύσεις στην ελλειπτική καμπύλη θα πρέπει να διατηρήσουν την ίδια υποκείμενη δομή.Όπως αποδείχθηκε, η κατασκευή μιας τέτοιας ελλειπτικής καμπύλης που λειτουργούσε για κάθε εναπομείναν δαχτυλίδι ήταν ένα εξαιρετικά λεπτό και δύσκολο έργο. Αλλά ο Koymans και ο Pagano - ειδικοί στις ελλειπτικές καμπύλες που είχαν συνεργαστεί στενά από τότε που ήταν στο μεταπτυχιακό - είχαν ακριβώς το κατάλληλο εργαλείο για να δοκιμάσουν.Άυπνες νύχτεςΑπό την εποχή του ως προπτυχιακός, ο Koymans σκεφτόταν το 10ο πρόβλημα του Hilbert. Σε όλη τη διάρκεια του μεταπτυχιακού και σε όλη τη συνεργασία του με την Pagano, το σήμανε. «Περνούσα μερικές μέρες κάθε χρόνο σκεπτόμενος το και κολλούσα φρικτά», είπε ο Koymans. «Θα δοκίμαζα τρία πράγματα και όλα θα έσκαγαν στο πρόσωπό μου».Το 2022, ενώ σε ένα συνέδριο στο Banff του Καναδά, αυτός και ο Pagano κατέληξαν να συζητούν για το πρόβλημα. Ήλπιζαν ότι μαζί, θα μπορούσαν να δημιουργήσουν την ειδική ελλειπτική καμπύλη που απαιτείται για την επίλυση του προβλήματος. Αφού τελείωσαν κάποια άλλα έργα, έπιασαν δουλειά.

Ο Peter Koymans, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Ουτρέχτης, σκεφτόταν το 10ο πρόβλημα του Hilbert από τότε που ήταν προπτυχιακός. Ιλάρια Προσέπε

Ξεκίνησαν με μια απλή εξίσωση για μια ελλειπτική καμπύλη που δεν ικανοποιούσε καμία από τις απαιτούμενες ιδιότητες. Ήξεραν ότι μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν μια καθιερωμένη τεχνική που ονομάζεται quadratic twist - κάτι που μελετούσαν για το μεγαλύτερο μέρος μιας δεκαετίας - για να τροποποιήσουν την εξίσωση έτσι ώστε να πληροί την πρώτη συνθήκη. Έπρεπε απλώς να πολλαπλασιάσουν μια από τις μεταβλητές της εξίσωσης με έναν συγκεκριμένο αριθμό και θα έπαιρναν μια νέα ελλειπτική καμπύλη με άπειρες πολλές λύσεις.Αυτό όμως τους άφησε με ένα πρόβλημα. Δεν είχαν κανέναν τρόπο να εγγυηθούν ότι αυτή η νέα καμπύλη ικανοποιούσε τη δεύτερη ιδιότητα - ότι οι λύσεις της θα έμοιαζαν παρόμοιες για δακτυλίους που διέφεραν κατά έναν φανταστικό αριθμό. Οι μαθηματικοί έπρεπε να αποκτήσουν καλύτερο έλεγχο της τετραγωνικής συστροφής.Κόλλησαν. «Είχα αυτό το σκοτεινό συναίσθημα», είπε ο Koymans. «Άρχισα να υποψιάζομαι ότι κάτι μας έλειπε».

Στη συνέχεια, το καλοκαίρι του 2024, ενώ εργαζόταν σε ένα διαφορετικό πρόβλημα, το ζευγάρι έπρεπε να χρησιμοποιήσει ξανά τετραγωνικές ανατροπές. Ένα βράδυ, στη μέση αυτής της έρευνας, ο Koymans βρέθηκε ξύπνιος, ανίκανος να σταματήσει να σκέφτεται το 10ο πρόβλημα του Hilbert.Αυτό το άλλο έργο, κατάλαβε ο Koymans, τους έδωσε μια σημαντική υπόδειξη, μια από αυτές τις περίεργες και εκπληκτικές μαθηματικές συμφωνίες που εμφανίζονται μερικές φορές: Εάν ο αριθμός που χρησιμοποίησαν στην τετραγωνική συστροφή ήταν το γινόμενο ακριβώς τριών πρώτων αριθμών, τότε θα έπαιρναν τον έλεγχο που χρειάζονταν για να εγγυηθούν τη δεύτερη ιδιότητα. Αλλά επειδή η ελλειπτική καμπύλη τους έπρεπε να κατασκευαστεί τόσο προσεκτικά και να πληροί τόσες πολλές προδιαγραφές, υπήρχαν πολλοί πρόσθετοι περιορισμοί σχετικά με το ποιοι θα μπορούσαν να είναι αυτοί οι τρεις πρώτοι. Θα μπορούσαν ο Koymans και ο Pagano να βρουν αυτά που λειτουργούσαν — ανεξάρτητα από το δαχτυλίδι που χρησιμοποιούσαν;Ο Pagano έτυχε να είχε προγραμματίσει μια επίσκεψη στο Ελβετικό Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Ζυρίχης, όπου εργαζόταν τότε ο Koymans, λίγες μέρες αργότερα. Πέρασαν την επόμενη εβδομάδα αγωνιζόμενοι στον μαυροπίνακα μαζί, προσπαθώντας να βρουν πρώτους αριθμούς που θα ανταποκρίνονταν σε όλους τους περιορισμούς. Τελικά, κατάλαβαν ότι έπρεπε να χρησιμοποιήσουν τέσσερις πρώτους, αντί τρεις, για να κατασκευάσουν την τετραγωνική συστροφή τους. Αυτό τους επέτρεψε να εφαρμόσουν μια μέθοδο από μια εντελώς ξεχωριστή περιοχή των μαθηματικών, που ονομάζεται συνδυαστική προσθήκη, για να εξασφαλίσουν ότι υπήρχε ο σωστός συνδυασμός πρώτων για κάθε δακτύλιο.Αυτό ήταν το τελευταίο κομμάτι: Είχαν φτιάξει την ελλειπτική τους καμπύλη. Τους έδωσε τη συνταγή που χρειάζονταν για να προσθέσουν όρους στις Διοφαντικές εξισώσεις τους, η οποία στη συνέχεια τους επέτρεψε να κωδικοποιήσουν τις μηχανές Turing - και το πρόβλημα διακοπής - σε αυτές τις εξισώσεις, ανεξάρτητα από το σύστημα αριθμών που χρησιμοποιούσαν. Τακτοποιήθηκε. Το 10ο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι αδιευκρίνιστο για κάθε δακτύλιο ακεραίων.

Το αποτέλεσμα εδραιώθηκε περαιτέρω την περασμένη Πέμπτη, όταν, λιγότερο από δύο μήνες αφότου ο Koymans και ο Pagano δημοσίευσαν την εργασία τους στο διαδίκτυο, μια ανεξάρτητη ομάδα τεσσάρων μαθηματικών ανακοίνωσε μια . Αντί να αναζητήσουν μια ειδική ελλειπτική καμπύλη, βασίστηκαν σε ένα διαφορετικό είδος εξίσωσης για να κάνουν την ίδια δουλειά.νέα απόδειξη του ίδιου αποτελέσματος

Και οι δύο ομάδες ελπίζουν να χρησιμοποιήσουν τις τεχνικές τους - που τους δίνουν άνευ προηγουμένου έλεγχο στις ελλειπτικές καμπύλες και τις σχετικές εξισώσεις - για να σημειώσουν πρόοδο και σε άλλα προβλήματα. «Υπάρχει πιθανότητα οι δύο μέθοδοι να χρησιμοποιηθούν μαζί για να κάνουμε ακόμη περισσότερα», είπε , μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον και ένας από τους συγγραφείς της δεύτερης απόδειξης.Manjul Bhargava

Εν τω μεταξύ, η αναζήτηση για το πού τελειώνει η αποφασιστικότητα και πού αρχίζει η αποφασιστικότητα δεν έχει τελειώσει: Οι μαθηματικοί συνεχίζουν να εξερευνούν το 10ο πρόβλημα του Χίλμπερτ σε νέες ρυθμίσεις.

Αυτό είναι μόνο ένα από τα πολλά ερωτήματα, σύμφωνα με τον του Πανεπιστημίου του Μόντρεαλ, που «αντανακλούν τη φιλοσοφική πλευρά του τι ισχύει στον κόσμο».Andrew Granville

Κάθε γνώση έχει όρια. «Μας υπενθυμίζει ότι υπάρχουν πράγματα που απλά δεν μπορούν να γίνουν», είπε ο Granville. «Δεν έχει σημασία ποιος είσαι ή τι είσαι».

ΠΗΓΉ :https://www.quantamagazine.org/