Ας λύσουμε μαζί την άσκηση
Κοίτα τη μεθοδολογία "
Πώς παριστάνονται στην ευθεία δυο διαδοχικοί αριθμοί;"
Η άσκηση μας ζητά να αποδείξουμε ότι:
Αν έχουμε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, η διαφορά των τετραγώνων τους είναι ίση με το άθροισμά τους.
Ας ξεκινήσουμε:
Ας ονομάσουμε τους δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς:
- Ας πούμε ότι ο μικρότερος είναι ν
- Άρα, ο μεγαλύτερος θα είναι ν+1 (επειδή είναι διαδοχικοί)
Ας γράψουμε μαθηματικά τη διαφορά των τετραγώνων τους:
- (ν+1)² - ν²
Ας γράψουμε μαθηματικά το άθροισμά τους:
- ν + (ν+1)
Σύμφωνα με την άσκηση, πρέπει να δείξουμε ότι: (ν+1)² - ν² = ν + (ν+1)
Ας αναπτύξουμε την αριστερή πλευρά της ισότητας:
- (ν+1)² = ν² + 2ν + 1 (χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (a+b)² = a² + 2ab + b²)
- Άρα, (ν+1)² - ν² = ν² + 2ν + 1 - ν² = 2ν + 1
Συγκρίνοντας τις δύο πλευρές της ισότητας:
- 2ν + 1 = ν + (ν+1)
Βλέπουμε ότι οι δύο πλευρές είναι ίσες.
Συμπέρασμα: Αποδείξαμε ότι η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι πράγματι ίση με το άθροισμά τους.
Παράδειγμα: Ας πάρουμε τους αριθμούς 5 και 6.
- Η διαφορά των τετραγώνων τους είναι: 6² - 5² = 36 - 25 = 11
- Το άθροισμά τους είναι: 5 + 6 = 11 Όπως βλέπουμε, η διαφορά των τετραγώνων είναι ίση με το άθροισμα.
