Πώς απάντησε ο Riemann στην ερώτηση: ποια είναι η καμπυλότητα του χώρου και πώς μετριέται; Χρησιμοποίησε την ίδια μέθοδο με την οποία ο Gauss μέτρησε την καμπυλότητα μιας επιφάνειας: υπολόγισε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου που αποτελείται από τμήματα γεωδαισιακών γραμμών και εξέτασε πόσο διέφερε από το ?. Ωστόσο, προέκυψε μια περιπλοκή: τελικά, πολλά επίπεδα μπορούν να σχεδιαστούν μέσω ενός σημείου στο χώρο και η καμπυλότητα εξαρτάται όχι μόνο από το σημείο στο οποίο υπολογίζεται, αλλά και από το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα τρίγωνα. Επομένως, ο Riemann δεν μίλησε για καμπυλότητα σε ένα δεδομένο σημείο, αλλά για καμπυλότητα σε ένα δεδομένο σημείο προς την κατεύθυνση ενός δεδομένου επιπέδου.
Αν για όλα τα τρίγωνα του χώρου το άθροισμα των γωνιών είναι ?, τότε η συνηθισμένη ευκλείδεια γεωμετρία ισχύει σε αυτό το διάστημα. Ένας τέτοιος χώρος δεν έχει καμπυλότητα ή, όπως λένε, είναι επίπεδος . Αν υπάρχουν τρίγωνα των οποίων το άθροισμα γωνιών είναι μεγαλύτερο από ?, τότε η καμπυλότητα του χώρου στα αντίστοιχα σημεία είναι θετική. αν το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο από ?, τότε είναι αρνητικό.
Έτσι, η έννοια της καμπυλότητας του χώρου δεν περιέχει τίποτα μυστηριώδες, αλλά δείχνει μόνο ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου μπορεί να διαφέρει από την τιμή που ορίζει ο Ευκλείδης. Ιδιαίτερα ενδιαφέροντες είναι οι χώροι στους οποίους η καμπυλότητα σε όλα τα σημεία και σε όλα τα επίπεδα είναι ίδια. Σε τέτοιους χώρους (ονομάζονται χώροι σταθερής καμπυλότητας ) τα σώματα μπορούν να μετακινηθούν από το ένα μέρος στο άλλο χωρίς να αλλάξουν το μέγεθός τους. Εάν η καμπυλότητα του χώρου είναι μεταβλητή, τότε το σώμα θα αλλάξει διαστάσεις και θα παραμορφωθεί όταν κινείται.
Ο Riemann έθεσε το ερώτημα εάν ο πραγματικός χώρος στον οποίο ζούμε είναι καμπύλος. Έγραψε: «Είτε το πραγματικό που δημιουργεί την ιδέα του χώρου σχηματίζει μια διακριτή ποικιλία, είτε πρέπει να προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την εμφάνιση μετρικών σχέσεων με κάτι εξωτερικό - τις δυνάμεις της σύνδεσης που δρουν σε αυτό το πραγματικό.
Μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα βρούμε μια λύση σε αυτά τα ερωτήματα μόνο εάν, βάσει της τρέχουσας και δοκιμασμένης από την εμπειρία ιδέας, της οποίας η βάση έθεσε ο Newton, αρχίσουμε να τη βελτιώνουμε σταδιακά, καθοδηγούμενοι από γεγονότα που δεν μπορούν να εξηγηθούν από αυτήν. .. Εδώ στεκόμαστε στο κατώφλι του πεδίου, που ανήκει σε μια άλλη επιστήμη - τη φυσική, και σήμερα δεν μας δίνει λόγο να το περάσουμε»
