Το παράδοξο του Curry, που πήρε το όνομά του από τον Αμερικανό μαθηματικό Haskell B. Curry, βασίζεται σε ένα υπονοούμενο. Πάρτε, για παράδειγμα, τη δήλωση «Αν αυτή η δήλωση είναι αλήθεια, τότε το φεγγάρι είναι φτιαγμένο από πράσινο τυρί».
Το παράδοξο μπορεί να αποφευχθεί υποθέτοντας ότι η πρόταση αποτελεί εξαίρεση στον νόμο της δισθενείας, ότι δεν είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής. Η νέα διατύπωση της δήλωσης θα ακούγεται ως εξής: «Αυτό που λέω δεν είναι αλήθεια». Αν υποθέσουμε ότι αυτό είναι αλήθεια, τότε όλα είναι όπως λέει το άτομο και η δήλωσή του δεν είναι αληθινή. Αλλά μια δήλωση δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθινή και ψευδής, επομένως είναι ψέμα. Υποθέσαμε ότι η δήλωση είναι αληθινή, είχαμε αντίφαση και καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι είναι ψευδής. Αλλά είπε επίσης ότι η δήλωση δεν είναι αληθινή, κάτι που μόλις αποδείξαμε και είχαμε πάλι μια αντίφαση.
Ο νόμος της μη αντίφασης λέει: τίποτα δεν μπορεί να έχει ταυτόχρονα κάποιο χαρακτηριστικό και να μην το έχει. Ένα απλό παράδειγμα: Ένας τοίχος δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα λευκός και μη. Αλλά η δήλωση "Αυτό που λέω δεν είναι αλήθεια" είναι και αληθινό και ψευδές, είναι ένα αντιπαράδειγμα στον νόμο της μη αντίφασης.
Οι φιλόσοφοι θεωρούν κακή ιδέα να επιτρέπονται αντιφάσεις στις θεωρίες. Ας υποθέσουμε όμως ότι η δήλωση «Ή η δήλωση είναι αληθινή ή το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί» είναι και αληθινή και ψευδής. Έτσι, αν λέμε ψέματα ότι λέμε αλήθεια, ή λέμε την αλήθεια ότι λέμε ψέματα, πρέπει να παραδεχτούμε ότι το φεγγάρι είναι φτιαγμένο από πράσινο τυρί. Η αρχή που χρησιμοποιείται μπορεί να συνοψιστεί ως "είτε P είτε Q και όχι P, επομένως Q". Αυτός ο τυπικός κανόνας ονομάζεται στη λογική διαχωριστικός συλλογισμός.
Η λύση στο παράδοξο του ψεύτη μπορεί να βρεθεί υποθέτοντας αντιφάσεις χωρίς να χρειάζεται να βγάλουμε συμπεράσματα από αυτές - και εδώ θα πρέπει να εισαχθεί η λέξη «διαλεθεϊκός». Μπορεί να μεταφραστεί από τα ελληνικά ως «δύο αξίες αλήθειας». Οι υποστηρικτές των διαλεκτικών λύσεων προτείνουν την εγκατάλειψη των διαχωριστικών συλλογισμών ως μέθοδο επιχειρηματολογίας. Αν υποθέσουμε ότι οι δηλώσεις έχουν δύο τιμές αλήθειας ταυτόχρονα, τότε οι προϋποθέσεις του διαχωριστικού συλλογισμού μπορεί να είναι αληθείς, αλλά η συνέπεια θα είναι ψευδής.
Εξετάστε ως παράδειγμα τη δήλωση "είτε P είτε Q και όχι P" και υποθέστε ότι το P είναι και σωστό και λάθος. Τότε το "είτε P είτε Q" είναι επίσης και αληθές και ψευδές, ανεξάρτητα από την τιμή του Q. Αν όμως το P είναι και αληθές και λάθος, τότε το "not P" είναι και σωστό και λάθος, και τότε "είτε P είτε Q και όχι Π" είτε. ταυτόχρονα αληθές και ψευδές. Αλλά αν δεχθούμε την αλήθεια της δήλωσης P, και το Q ("είτε η Σελήνη είναι φτιαγμένη από πράσινο τυρί") είναι ψευδής, τότε, σύμφωνα με τις αρχές του διαχωριστικού συλλογισμού, θα αναγκαστούμε να περάσουμε από τις αληθινές προϋποθέσεις σε μια ψευδή συνέπεια.
Έχουμε μια βιώσιμη λύση για το παράδοξο του ψεύτη, αλλά λειτουργεί μόνο αν στραφούμε στη μη κλασική λογική, στην οποία οι αρχές του διαχωριστικού συλλογισμού έχουν εγκαταλειφθεί.
ΠΗΓΉ:https://postnauka.ru/longreads
Το παράδοξο του Tarski (ή παράδοξο Banach–Tarski) είναι ένα διάσημο μαθηματικό παράδοξο που σχετίζεται με τη θεωρία συνόλων και τη γεωμετρία. Παρουσιάστηκε το 1924 από τους μαθηματικούς Stefan Banach και Alfred Tarski και βασίζεται στη χρήση του αξιώματος της επιλογής στη θεωρία συνόλων.
Το παράδοξο λέει ότι:
Ένα στερεό σφαιρικό σώμα (όπως μια μπάλα) μπορεί να διαχωριστεί σε πεπερασμένο αριθμό (συγκεκριμένα 5 ή 6) ασύνδετων κομματιών, τα οποία, όταν επανατοποθετηθούν και περιστραφούν, μπορούν να σχηματίσουν δύο σφαίρες ίδιου μεγέθους με την αρχική.
Με άλλα λόγια, από μία μπάλα μπορείς να δημιουργήσεις δύο μπάλες ίδιου μεγέθους!
Το παράδοξο αυτό δεν παραβιάζει τους νόμους της φυσικής, αλλά είναι καθαρά μαθηματικό και βασίζεται στις εξής ιδέες:
Χρήση του Αξιώματος της Επιλογής:
Το αξίωμα αυτό επιτρέπει την κατασκευή συνόλων που είναι πολύ «παράξενα» και δεν μπορούμε να φανταστούμε φυσικά. Για παράδειγμα, χωρίζει τη σφαίρα σε κομμάτια που δεν έχουν μετρήσιμο όγκο ή καμία συγκεκριμένη «γεωμετρική» έννοια.
Ασυνεχή Υποσύνολα:
Τα κομμάτια στα οποία χωρίζεται η σφαίρα δεν είναι συνεχόμενα. Είναι εξαιρετικά πολύπλοκα και ασύλληπτα στην κανονική γεωμετρική σκέψη.
Ομάδες Συμμετρίας:
Το παράδοξο χρησιμοποιεί τις ιδιότητες της ομάδας συμμετριών , δηλαδή των περιστροφών στο τρισδιάστατο χώρο. Ο τρόπος με τον οποίο επιμερίζεται η σφαίρα εξαρτάται από αυτές τις συμμετρίες.
Το παράδοξο του Tarski είναι αντιδιαισθητικό, αλλά:
Το Παράδοξο του Tarski είναι ένα πανέμορφο δείγμα της δύναμης και των ορίων της μαθηματικής λογικής!
Πολλά παράδοξα εμφανίζονται όταν έχουμε να κάνουμε με άπειρα σύνολα. Για παράδειγμα το παράδοξο με το ξενοδοχείο των άπειρων δωματίων.
Ένας ταξιδιώτης φτάνει στην ρεσεψιόν του ξενοδοχείου αυτού και ζητάει δωμάτιο για μια νύχτα. Ο υπάλληλος της ρεσεψιόν του λέει πως όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Εκεί επεμβαίνει ο διευθυντής του ξενοδοχείου και δίνει την εξής λύση: θα μεταφέρουμε τον ένοικο του δωματίου 1 στο δωμάτιο 2, τον ένοικο του 2 στο 3, του 3 στο 4 κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο. Έτσι ο νέος πελάτης θα πάρει το δωμάτιο 1.
Την επόμενη μέρα ο ταξιδιώτης αναχωρεί και το δωμάτιο 1 αδειάζει. Τότε ο διευθυντής του ξενοδοχείου που θέλει το ξενοδοχείο του να έχει πληρότητα 100%, δίνει εντολή στον υπάλληλο να μεταφέρει το ένοικο του δωματίου 2 στο δωμάτιο 1, τον ένοικο του 3 στο 2, του 4 στο 3 κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο, αποκαθιστώντας έτσι την πληρότητα του ξενοδοχείου!
Το παράδοξο του ξενοδοχείου απείρων δωματίων μπορεί να εφαρμοστεί στα σημεία ενός κύκλου. Θεωρούμε τα άπειρα σημεία του κύκλου σαν τους ενοίκους του ξενοδοχείου με τα άπειρα δωμάτια. Στη συνέχεια αφαιρούμε ένα σημείο από τον κύκλο. Θα δούμε πως αυτό δεν έχει καμία σημασία. Αν αρχίσουμε να αριθμούμε τα σημεία του κύκλου (1, 2, 3, 4, …) ξεκινώντας με συγκεκριμένη φορά από την οπή, ανά μήκος τόξου ίσο με την ακτίνα του κύκλου, θα καλύψουμε όλα τα σημεία του κύκλου – χωρίς να πέσουμε ποτέ δυο φορές στο ίδιο σημείο του κύκλου.
Eίναι δυνατόν να αποσυνθέσουμε μια σφαιρική επιφάνεια σε έναν πεπερασμένο αριθμό σημειοσυνόλων και στη συνέχεια, ανακατανέμοντας κατάλληλα αυτά τα σημειοσύναολα, να κατασκευάσουμε δυο πανομοιότυπες σφαιρικές επιφάνειες με την αρχική; Τα μαθηματικά απαντούν καταφατικά.
Πρόκειται για το παράδοξο των Banach-Tarski, ένα θεώρημα των καθαρών μαθηματικών που διατυπώθηκε από τους μαθηματικούς Stefan Banach και Alfred Tarski. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό μπορούμε να διαμερίσουμε οποιαδήποτε τρισδιάστατη μπάλα σε ένα πεπερασμένο πλήθος κομματιών και στη συνέχεια … αναδιατάσσοντας τα κομμάτια με κατάλληλο τρόπο να σχηματίσουμε δύο μπάλες πανομοιότυπες με την αρχική!
