Το άπειρο είναι μια έννοια που αρπάζει την ανθρώπινη φαντασία. Υπάρχει κάτι συναρπαστικό και μάταιο στη συνειδητοποίηση ότι ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλος είναι ένας αριθμός που σκέφτεστε, υπάρχει πάντα ένας μεγαλύτερος. Ποτέ μα ποτέ δεν μπορείς να φτάσεις στο τέλος.
Να λοιπόν ένα εκπληκτικό γεγονός: το άπειρο έρχεται σε διαφορετικά μεγέθη. Δεν δημιουργούνται όλα τα άπειρα ίσα.
Ενδιαφέρεστε; Το ίδιο ήταν και ο μαθηματικός κόσμος όταν ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά και έγινε σαφές από τον Γερμανό μαθηματικό Γκέοργκ Κάντορ τη δεκαετία του 1870. Μάλιστα κάποιοι εξοργίστηκαν. Ο Leopold Kronecker, ένας άλλος εξέχων μαθηματικός της εποχής, αποκάλεσε τον Cantor «διαφθοροποιό της νεότητας» επειδή δίδασκε τις ιδέες του.
Τώρα λοιπόν που υπάρχει ένας υπαινιγμός σκανδάλου στον αέρα, ας ρίξουμε μια ματιά στο πώς ο Cantor απέδειξε ότι υπάρχει ένα άπειρο μεγαλύτερο από το άπειρο. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε μερικούς εύκολους ορισμούς.
Οι αριθμοί μέτρησης είναι οι αριθμοί 1, 2, 3,… και ούτω καθεξής με τους οποίους μετράμε.
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το σύνολο όλων των δεκαδικών αριθμών. Αυτό περιλαμβάνει αριθμούς όπως 1.000, 0.25 και επίσης αριθμούς όπως 5.3333… ή 3.1415… που δεν τελειώνουν ποτέ. (Οι τρεις τελείες δείχνουν ότι αυτά τα δεκαδικά ψηφία συνεχίζονται για πάντα.)
Υπάρχει άπειρος αριθμός μετρητών. Εάν πιστεύετε ότι έχετε τον μεγαλύτερο αριθμό, μπορείτε απλά να προσθέσετε 1 σε αυτόν για να πάρετε έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό.
Δεν είναι πολύ δύσκολο να δούμε ότι αν υπάρχει άπειρος αριθμός μετρητών, τότε πρέπει να υπάρχει και άπειρος αριθμός πραγματικών αριθμών, επειδή οι αριθμοί μέτρησης περιέχονται στους πραγματικούς αριθμούς.
Το σοκαριστικό αποτέλεσμα στο οποίο θα φτάσουμε που διαφθείρει τη νεολαία είναι ότι στην πραγματικότητα υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί από ό,τι μετράνε. Αλλά για να καταλάβουμε ότι σε όλο του το σκανδαλώδες μεγαλείο, θα χρειαστεί να κάνουμε πρώτα δυο άλλα πράγματα.
Αρχικά, ας σκεφτούμε πώς μπορούμε να γνωρίζουμε ότι δύο σύνολα πραγμάτων έχουν τον ίδιο αριθμό πραγμάτων μέσα τους, ακόμα κι αν δεν ξέρουμε ποιος είναι αυτός ο αριθμός. Για μια στιγμή, φανταστείτε ότι αντί να είστε αυτός που είστε, είστε βοσκός στην αρχαία Σουμερία. Είναι τόσο πολύ πίσω που οι άνθρωποι δεν έχουν βγάλει αριθμούς ακόμα, οπότε ξέρετε ότι έχετε μερικά πρόβατα, αλλά δεν μπορείτε να πείτε πόσα. Ωστόσο, πρέπει να βεβαιωθείτε ότι όλα τα πρόβατά σας είναι παρόντα και λογαριασμένα. Λοιπόν τι κάνεις? Βάζεις εγκοπές στο ραβδί σου, μια εγκοπή για κάθε πρόβατο. Τότε ξέρετε ότι αν έχετε ένα πρόβατο για κάθε εγκοπή, τότε είναι όλα εκεί. Δεν είστε αρκετά εξελιγμένοι για να δώσετε ένα όνομα όπως «δεκαεπτά» στον αριθμό των προβάτων που έχετε, αλλά έχετε αρκετές πληροφορίες για να κάνετε τη δουλειά που έχετε βάλει σκοπό: να παρακολουθείτε τα πρόβατά σας.
Αυτή η τεχνική ονομάζεται «ένα προς ένα αντιστοιχία» και το μόνο που σημαίνει είναι ότι αν μπορείτε να ταιριάξετε τα πράγματα σε ένα σετ (εγκοπές) με τα πράγματα σε ένα άλλο σετ (πρόβατο) έτσι ώστε να υπάρχει μια εγκοπή για κάθε πρόβατο , τότε έχετε τον ίδιο αριθμό προβάτων με τις εγκοπές, όποιος κι αν είναι αυτός ο αριθμός.
Ευτυχώς για τους αρχαίους Σουμερίους βοσκούς, τα πρόβατα δεν έρχονται σε άπειρους αριθμούς. Αλλά έχουμε προχωρήσει λίγο από τότε, και τώρα πρέπει να σκεφτούμε πώς χρησιμοποιούμε την αλληλογραφία ένα προς ένα για να πείσουμε τους εαυτούς μας ότι δύο σύνολα που είναι άπειρα έχουν τον ίδιο αριθμό πραγμάτων μέσα τους.
Για αυτό, θα χρειαστούμε δύο άπειρα σετ. Το σύνολο Α θα είναι οι αριθμοί μέτρησης, δηλαδή 1, 2, 3,… και ούτω καθεξής. Το σύνολο Β θα είναι οι άρτιοι αριθμοί μέτρησης, δηλαδή 2, 4, 6,… και ούτω καθεξής. Τώρα, επειδή μιλάμε για διαφορετικά μεγέθη του άπειρου, μπορεί να σκεφτείτε ότι ο αριθμός των αριθμών μέτρησης θα ήταν μεγαλύτερος από τον αριθμό των ζυγών αριθμών... άλλωστε φαίνεται προφανές ότι υπάρχουν μισοί άρτιοι αριθμοί από τους αριθμούς!
Ένα πράγμα που θα συνειδητοποιήσετε πολύ γρήγορα όταν σκέφτεστε το άπειρο είναι ότι αυτό που φαίνεται προφανές είναι συχνά λάθος. Στην πραγματικότητα, ο αριθμός των ζυγών αριθμών μέτρησης είναι ίδιος με τον αριθμό όλων των αριθμών μέτρησης. Για να πείσουμε τους εαυτούς μας ότι αυτό είναι αλήθεια, πρέπει να επιστρέψουμε στις εγκοπές και τα πρόβατα. δηλαδή, πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ αυτών των δύο συνόλων.
Αν λοιπόν πάρουμε οποιονδήποτε αριθμό μέτρησης (την εγκοπή) και τον πολλαπλασιάσουμε με το 2, παίρνουμε έναν ζυγό αριθμό μέτρησης (το πρόβατο.) Αν πάρουμε οποιοδήποτε πρόβατο (ζυγό μετρώντας αριθμό) και το διαιρέσουμε με δύο, παίρνουμε μια εγκοπή (μετρώντας αριθμός). Επιπλέον, κάνοντας αυτό μπορούμε να γυρνάμε μπρος-πίσω ανάμεσα σε εγκοπές και πρόβατα, και στην πραγματικότητα διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει εγκοπή χωρίς πρόβατο, κανένα πρόβατο χωρίς εγκοπή, και επιπλέον δεν υπάρχει πρόβατο που να έχει περισσότερες από μία εγκοπές, και καμία εγκοπή που να έχει περισσότερα από ένα πρόβατα. Έτσι, παρά το γεγονός ότι η διαίσθησή σας μπορεί να σας πει ότι κατά κάποιο τρόπο πρέπει να υπάρχουν κατά κάποιο τρόπο λιγότεροι άρτιοι αριθμοί μέτρησης από τους αριθμούς, δείξαμε ότι υπάρχει ο ίδιος αριθμός από τον καθένα.
Ένα σύνολο αναφέρεται συχνά ως μετρήσιμο άπειρο εάν μπορεί να τεθεί σε αντιστοιχία ένα προς ένα με τους αριθμούς μέτρησης. Μόλις δείξαμε ότι οι άρτιοι αριθμοί που μετράνε είναι μετρήσιμα άπειροι.
Τώρα φτάνουμε επιτέλους στην επικίνδυνη ιδέα που διαφθείρει τη νεολαία: Οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι μετρήσιμα άπειροι και δεν μπορούν να τεθούν σε αντιστοιχία ένα προς ένα με τους αριθμούς μέτρησης!
Ένας τρόπος για να πείσετε τον εαυτό σας ότι μια τέτοια δήλωση είναι αληθινή είναι να υποθέσετε το αντίθετο και να δείξετε ότι έχετε μια αντίφαση. Το κάναμε αυτό νωρίτερα για να πείσουμε τους εαυτούς μας ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί μέτρησης. Υποθέστε το αντίθετο, που είναι ότι υπάρχει ο μεγαλύτερος αριθμός μέτρησης. Αλλά αν υπάρχει μεγαλύτερο, τότε μπορώ να προσθέσω 1 σε αυτό και να φτιάξω ένα μεγαλύτερο, οπότε δεν είναι το μεγαλύτερο. Αντίφαση! Η υπόθεση μου (ότι υπάρχει μεγαλύτερη) πρέπει να είναι ψευδής.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των πραγματικών αριθμών και των αριθμών μέτρησης. Τώρα θα προσπαθήσουμε να φτάσουμε σε μια αντίφαση.
Εάν υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ τους, τότε μπορούμε να γράψουμε μια λίστα με αριθμούς μέτρησης και τους πραγματικούς αριθμούς στους οποίους αντιστοιχούν - σε κάθε εγκοπή ένα πρόβατο και σε κάθε πρόβατο μια εγκοπή.
Τώρα θυμηθείτε ότι ενώ η μέτρηση των αριθμών είναι ωραία και καθαρά 1, 2, 3,… και ούτω καθεξής, οι πραγματικοί αριθμοί είναι πιο δυσκίνητα θηρία που εκτείνονται στο άπειρο και μοιάζουν με 3,14159… Οπότε η λίστα μας θα μοιάζει κάπως έτσι:
1 0,7639234…
2 0,3238452…
3 0,2498539…
κ.λπ.
Οι δεκαδικές επεκτάσεις συνεχίζονται για πάντα προς τα δεξιά (συμπληρώνονται με μηδενικά εάν χρειάζεται) και η λίστα συνεχίζεται για πάντα προς τα κάτω. Δύο διαστάσεις του απείρου παρά μία… ίσως μια μυρωδιά σκανδάλου κρέμεται στον αέρα.
Τώρα αυτό που ακολουθεί είναι μια από τις πιο όμορφες αποδείξεις στα μαθηματικά. Σαν ένα όμορφο μουσικό κομμάτι, μπορείτε να το επισκέπτεστε ξανά και ξανά και να εκτιμάτε την κομψότητα, την απλότητα, τη λογική και τη λαμπρότητά του.
Θυμηθείτε, είπαμε ότι έχουμε αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των αριθμών μέτρησης και των πραγματικών αριθμών. Στόχος μας είναι να δείξουμε ότι αυτό οδηγεί σε μια αντίφαση.
Ας κατασκευάσουμε έναν πραγματικό αριθμό χρησιμοποιώντας τη λίστα που γράψαμε παραπάνω. Για αυτόν τον πραγματικό αριθμό, θα βάλω ένα 0 στα αριστερά του δεκαδικού ψηφίου και θα συμπληρώσω τις σωστές θέσεις ως εξής: για τη θέση 1, θα πάρω το ψηφίο 1 στα δεξιά του δεκαδικού πραγματικός αριθμός που αντιστοιχεί στον αριθμό μέτρησης 1. Για τη θέση 2, θα πάρω το ψηφίο 2 θέσεις στα δεξιά του δεκαδικού στον πραγματικό αριθμό που αντιστοιχεί στον αριθμό μέτρησης 2. Αν το κάνετε αυτό, έχετε ένα διαγώνιο μοτίβο όπως αυτό, όπου το Τα ψηφία που επιλέγω επισημαίνονται με παρένθεση.
1 0.(7)639234…
2 0,3(2)38452…
3 0,24(9)8539…
κ.λπ.
Τώρα θα κάνω κάτι σε κάθε ένα από τα ψηφία. Δεν έχει σημασία τι κάνω αρκεί να αλλάξω κάθε ψηφίο στα δεξιά του δεκαδικού στον αριθμό που έχω κατασκευάσει. Ας πούμε ότι προσθέτουμε 1 σε κάθε ψηφίο και αν είναι 9 τότε το αντικαθιστούμε με 0.
Τώρα, καλύψτε τα αυτιά των παιδιών, ορίστε: Ο αριθμός που έχω κατασκευάσει δεν υπάρχει στην αλληλογραφία ένα προς ένα που υπέθεσα! Πώς το ξέρω αυτό; Λοιπόν, δεν είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί στο 1, γιατί το πρώτο ψηφίο μετά το δεκαδικό είναι διαφορετικό. Δεν είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί στο 2, γιατί το δεύτερο ψηφίο μετά το δεκαδικό είναι διαφορετικό. Νομίζω ότι μπορείς να δεις πού πάει αυτό, φίλε μου, και έχουμε ένα πρόβατο χωρίς εγκοπή!
Ίσως πιστεύετε ότι αυτό δεν είναι πολύ κακό πρόβλημα, απλώς θα τοποθετήσουμε αυτό το απατεώνα πρόβατο στο τέλος της λίστας, επιδιορθώνοντας έτσι την αλληλογραφία ένας προς έναν. Αλλά δεν μπορείτε να ξεφύγετε από αυτό, γιατί μπορείτε να κάνετε το ίδιο πράγμα ξανά, δημιουργώντας έναν νέο αριθμό που δεν περιλαμβάνεται στη λίστα σας. Το πρόβλημα δεν εξαφανίζεται. έχουμε περισσότερα πρόβατα παρά εγκοπές. Καταλήξαμε σε μια αντίφαση και η υπόθεση μας πρέπει να είναι ψευδής.
Οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι μετρήσιμα άπειροι, είναι αμέτρητα άπειροι και έχουμε μια νέα τάξη απείρου που είναι πιο άπειρη από τους αριθμούς που μετράνε.
