Από τη Θεωρία Ramsey στην Πρόσθετη Θεωρία Αριθμών: Μια εφαρμογή του θεωρήματος του Van der Waerden

 

Το Θεώρημα του Van der Waerden είναι ένα από τα πιο κομψά αποτελέσματα της θεωρίας Ramsey και δηλώνει ότι:

Για κάθε θετικούς ακέραιους  και , υπάρχει ένας ακέραιος τέτοιος ώστε, αν χρωματίσουμε τους αριθμούς με χρώματα, θα υπάρχει πάντα μια αριθμητική πρόοδος μήκους  που είναι μονοχρωματική.

Με άλλα λόγια, η «τάξη» είναι αναπόφευκτη ακόμη και μέσα στο χάος: όσο κι αν προσπαθήσουμε να αποφύγουμε μοτίβα, αυτά θα εμφανιστούν.

📌 Εφαρμογή στην Πρόσθετη Θεωρία Αριθμών

Στην πρόσθετη θεωρία αριθμών, μελετάμε ιδιότητες συνόλων ακεραίων υπό την πράξη της πρόσθεσης. Το θεώρημα του Van der Waerden βρίσκει εφαρμογή στην απόδειξη ότι οποιοδήποτε σύνολο ακεραίων με θετική πυκνότητα περιέχει αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους.

Αυτό συνδέεται άμεσα με το Θεώρημα του Szemerédi (1975), το οποίο γενικεύει την ιδέα: Αν ένα σύνολο φυσικών αριθμών έχει θετική άνω πυκνότητα, τότε περιέχει αριθμητικές προόδους οποιουδήποτε μήκους. Η απόδειξη του Szemerédi χρησιμοποιεί, μεταξύ άλλων, ιδέες που ανάγονται στο θεώρημα του Van der Waerden ως ειδική περίπτωση για πεπερασμένα σύνολα.

🔍 Παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών που δεν περιέχουν το ψηφίο 7. Αυτό το σύνολο έχει πυκνότητα 0, άρα το θεώρημα του Szemerédi δεν εφαρμόζεται άμεσα. Αντίθετα, αν πάρουμε το σύνολο των άρτιων αριθμών (πυκνότητα 1/2), το θεώρημα του Van der Waerden εγγυάται ότι, αν τους χρωματίσουμε με πεπερασμένο αριθμό χρωμάτων, θα βρούμε μονοχρωματικές αριθμητικές προόδους οποιουδήποτε μήκους. Αυτό είναι ένα ισχυρό εργαλείο για να δείξουμε ότι η «δομή» είναι αναπόφευκτη σε πυκνά σύνολα.

📚 Γιατί είναι σημαντικό

Η εφαρμογή αυτή δείχνει πώς ένα καθαρά συνδυαστικό θεώρημα μπορεί να έχει βαθιές συνέπειες στην ανάλυση της κατανομής των αριθμών. Η γέφυρα μεταξύ θεωρίας Ramsey και πρόσθετης θεωρίας αριθμών έχει οδηγήσει σε σημαντικές προόδους, όπως:

• Η ανάπτυξη της θεωρίας των Van der Waerden αριθμών $W(r,k)W(r,k)$ και η αναζήτηση ακριβών τιμών τους.

• Η χρήση εργαλείων από την ανάλυση και τη θεωρία πιθανοτήτων για την απόδειξη γενικεύσεων.

🔗 Πηγές

Θεωρία αριθμών και Κρυπτογραφία : Παράδειγμα: Η Κρυφή Επιστολή της Άννας

 🔐 Παράδειγμα: Η Κρυφή Επιστολή της Άννας

🎯 Στόχος:

Να δουν οι μαθητές πώς χρησιμοποιούνται οι πρώτοι αριθμοί και οι υπολογισμοί modulo (υπόλοιπα) για να κρύψουμε μηνύματα.

🧠 Εισαγωγή:

🗣️ «Η Άννα θέλει να στείλει ένα μυστικό μήνυμα στον φίλο της, τον Νίκο, αλλά φοβάται ότι κάποιος θα το διαβάσει.
Θα χρησιμοποιήσει κρυπτογραφία με τη βοήθεια της θεωρίας αριθμών!»

 

🔢 Κωδικοποίηση με Υπόλοιπα (modulo)

Χρησιμοποιούμε έναν απλό κανόνα:
Κάθε γράμμα της λέξης αντιστοιχεί σε έναν αριθμό (Α = 1, Β = 2, ..., Ω = 24).

Έπειτα, πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό με έναν πρώτο αριθμό και κρατάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με έναν άλλο αριθμό (δηλαδή mod).

🔧 Παράδειγμα:

Έστω ότι θέλουμε να κρυπτογραφήσουμε τη λέξη:

"ΚΑΛΗ"

Βήμα 1: Μετατροπή σε αριθμούς:

Γράμμα	Θέση
Κ	10
Α	1
Λ	11
Η	8

Βήμα 2: Πολλαπλασιάζουμε με έναν "μυστικό αριθμό" (π.χ. 7)

και κρατάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 26 (mod 26)

(Εδώ 26 = αριθμός γραμμάτων του αγγλικού αλφαβήτου, μπορούμε όμως να το ορίσουμε εμείς)

Αριθμός	Πράξη	Υπόλοιπο (mod 26)
10	10 × 7 = 70	70 mod 26 = 18
1	1 × 7 = 7	7 mod 26 = 7
11	11 × 7 = 77	77 mod 26 = 25
8	8 × 7 = 56	56 mod 26 = 4

Βήμα 3: Αντιστοίχιση των νέων αριθμών με γράμματα:

Υπόλοιπο	Γράμμα
18	Ρ
7	Ζ
25	Ψ
4	Δ

✅ Το κρυπτογραφημένο μήνυμα είναι: "ΡΖΨΔ"

🔓 Αποκωδικοποίηση (προαιρετικά ή για δυνατούς μαθητές)

Ο Νίκος γνωρίζει το κλειδί:

• Ο πολλαπλασιασμός έγινε με το 7

• mod 26
  Για να βρει το αρχικό μήνυμα, χρειάζεται να κάνει αντίστροφη πράξη, δηλαδή:

✳️ Να βρει τον αντίστροφο του 7 mod 26 (δηλαδή ποιος αριθμός x ισχύει: 7×x ≡ 1 mod 26)

Η απάντηση είναι x = 15, γιατί:

7×15 = 105 → 105 mod 26 = 1

Άρα τώρα:

Κωδικός	Πράξη	Αποκρυπτογράφηση
18	18 × 15 = 270	270 mod 26 = 10 → Κ
7	7 × 15 = 105	105 mod 26 = 1 → Α
25	25 × 15 = 375	375 mod 26 = 11 → Λ
4	4 × 15 = 60	60 mod 26 = 8 → Η

Η παρούσα ανάρτηση αποτελεί μέρος  των μαθημάτων  "MASTERCLASS 4"

Αν θέλεις στα σχόλια γράψε μου πως σου φάνηκε η παραπάνω ανάρτηση .