Γιατί έχει σημασία η ανακάλυψη του αριθμού Μηδέν;

 Σήμερα μας φαίνεται δεδομένο και αυταπόδεικτο, αλλά η ύπαρξη του «μηδέν» διέφευγε της σύλληψης μαθηματικών και φιλοσόφων επί αιώνες. Δεν είναι ξεκάθαρο πότε ανακαλύφθηκε ούτε από ποιον, εν μέρει επειδή η χρήση του έχει υποστεί αλλαγές με τον καιρό, αλλά και επειδή εμφανίστηκε σε πολλά μέρη του κόσμου, είτε σαν ανεξάρτητη ανακάλυψη είτε μεταπηδώντας από πολιτισμό σε πολιτισμό. Θεωρείται από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις της ανθρώπινης σκέψης, και χωρίς αυτό, τα μαθηματικά θα είχαν κολλήσει κάπου στο 600 μ.Χ., με την άλγεβρα να αδυνατεί να βρει τρόπο να επεκταθεί σε πραγματικά αφαιρετικές ιδέες που θα επέτρεπαν και τη χρήση των αρνητικών αριθμών, η χρησιμότητά των οποίων δεν είχε επισημανθεί στην αρχαιότητα.

Ενώ οι μαθηματικοί άρχισαν αν σκέφτονται την έννοια του μηδενός κατά το 3.000 π.Χ. (και να την απορρίπτουν), δεν ήταν πριν το 200-300 π.Χ. που οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν ένα σύμβολο που εξελίχτηκε σε αυτό που ξέρουμε σήμερα σαν «μηδέν». Οι Βαβυλώνιοι άλλαξαν τη μορφή του συμβόλου αρκετές φορές, από δύο παράλληλες γραμμές μέχρι τα εξής:

Τρεις μαθηματικές έννοιες που δημιουργήθηκαν πολύ πριν ανακαλυφθούν οι πιο εντυπωσιακές εφαρμογές τους στον πραγματικό κόσμο

  

Καθημερινά, οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο γράφουν με μανία εξισώσεις με την ελπίδα να προωθήσουν το επιλεγμένο υποπεδίο στα μαθηματικά. Για πολλούς από αυτούς τους μαθηματικούς, δεν έχουν στο μυαλό τους μια περίπτωση χρήσης για τα προβλήματα που προσπαθούν να λύσουν. Παρόλο που αυτοί οι μαθηματικοί δεν θέλουν να χρησιμοποιήσουν τα μαθηματικά για να λύσουν ένα πρόβλημα σε άλλο ακαδημαϊκό κλάδο ή κλάδο, μερικές φορές οι περιπτώσεις χρήσης έχουν έναν αστείο τρόπο να βρουν τη μαθηματική τους λύση πολύ μετά την ανακάλυψη της μαθηματικής έννοιας που χρησιμοποιήθηκε για τη δημιουργία της λύσης. Ακολουθούν τρία παραδείγματα τέτοιων μαθηματικών εννοιών:

Από το άπειρο στο απειροστό :Πως να διαχειρισζόμαστο το απειροστό μέγεθος

 Το αρχείο βρίσκεται εδώ

 

New Big brain‘s team

 

 

 

 

 

Αν θέλεις να γίνεις μέλος στην ομάδα μας δες πως μπορείς εδώ

 

 

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram

Ο πυρετός του ασθενή και η έννοια της μονοτονίας ...... άλγεβρα α λυκείου

      Ο   πυρετός  του  ασθενή και η έννοια    της     μονοτονίας

      Από την σειρά          «    Οι έννοιες Μαθηματικών   »    

Στόχος : Η κατανόηση της έννοιας μονοτονίας –αύξουσα-φθίνουσα.

        Ο πυρετός είναι (ένα μέγεθος) που  προσδιορίζει την υγεία ενός ασθενή.’Οταν ο πυρετός ανεβαίνει καθώς περνά ο χρόνος  το άλλο μέγεθος τότε η εξέλιξη του ασθενούς είναι άσχημη.

Άπό το παραπάνω παράδειγμα  τα μεγέθη Πυρετός  και χρόνος  αποτελούν μια  συνάρτηση .Όσο μεγαλώνει  ο χρόνος  πχ (από τις 8 à9à10 κλπ ) ώρες όταν  αυξάνεται και ο πυρετός τότε  τη συναρτηση αυτή την ονομάζουμε αύξουσα.

Θα μπορούσε όμως καθώς μεγαλώνει ο χρόνος  ο πυρετός να μειωνόταν οπότε τη συνάρτηση θα την ονομάζοουμε φθίνουσα.

Τι παρατηρείτε καθώς μεγαλώνει το χ από τις 6 00 πρωινή μέχρι  και την 9 00 πρωινή;

Τι παρατηρείται από την 9 00 μέχρι και την 12 00 ;

Συμπέρασμα : Όταν  σε μια συνάρτηση  μεγαλώνει  η μια μεταβλητή το χ  και ταυτόχρονα μεγαλώνει και η άλλη μεταβλητή ψ τότε η συνάρτηση ονομάζεται αύξουσα.

‘Οταν σε μια συνάρτηση μεγαλώνει η μια μεταβλητή το χ και ταυτόχρονοα μικραίνει η άλλη μεταβλητή Ψ τότε η συνάρτηση ονομάζεται φθίνουσα.

Τι πλεονέκτημα  έχω όταν γνωρίζω ότι μια συνάρτηση είναι αύξουσα ;

Μπορώ να προβλέψω  αν η επόμενη τιμή της συνάρτησης δηλαδή το f(6:30)  θα μεγαλώσει περισσότερο από την προηγούμενη τιμή της f(x)  καθώς μεγαλώνει η ώρα από τις  600 στις 6 30.

Το ίδιο και για την επόμενη τιμή δηλαδή f(7 00) δηλαδή την θερμοκρασία του ασθενούς στις 7 00

Από την θερμοκρασία  στις 6 30 f( 6 30).

Συμπέρασμα : Όταν ξέρω ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα από τις  6 300 μέχρι και τις 9 00 καταλαβαίνω ότι κάθε μισή ώρα που μεγαλώνει το χ θα ανεβαίνει και ο πυρετός.

Ερωτήσεις από το παραπάνω συμπέρασμα :

‘Οταν η συνάρτηση  πυρετού ενός ασθενούς είναι αύξουσα  ποια θερμοκρασία θα είναι πιο μεγάλη :

Α) Αυτή που έχει στις 8 το πρωί ή αυτή που θα έχει στις 12 00 ;

Β) Αυτή ου θα έχει στις 15 00  ή αυτή  που θα έχει στις 20 00

‘Οταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β έχω κάνει σωστή θεραπεία αντιβιοτικού ή πρέπει να το αλλάξω;

Απαντήσεις

Α) Εφόσον έχω την πληροφορία ότι η συνάρτηση  μεταξύ του χρόνου και της θερμοκρασίας είναι αύξουσα  αυτό σημαίνει ότι όσο μεγαλώνει τ ο χρόνος από τις 8 00  μετά 9 00  μετά  10 μετά 11 00 κα ιμετά 12 00 τότε θα ανεβαίνει και η θερμοκρασία του ασθενούς χωρίς να  περιμένω να πάει η αντίστοιχη ώρα να δω αν έχει μεγαλώσει.

Δηλαδή απο τις 8 00  αν η θερμοκρασία ήταν f(8 00)=38,2  δεν θα περιμένω να πάει 12 00 να δω ότι θα είναι μεγαλύτερη f(12 00) =39.2   θα είμαι σίγουρος (πρόβλεψη ) ότι η θερμοκρασία στις 12 00 θα είναι πιο μεγάλη από ότι στις 8 00 δεν θα ξέρω όμως πόσο  ακριβώς.

Β) Το ίδιο θα ισχύει και για το ερώτημα αυτό.

Από την στιγμή που έχω την πληροφορία  ότι η συνάρτηση είναι  αύξουσα όσο μεγαλώνει η ώρα θα μεγαλώνει και η θερμοκρασία του ασθενούς (δεν θα ξέρω βέβαια πόση θα είναι  ακριβώς).

Αρα όταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β  θα πρέπει να σκεφτώ ότι δεν έχουμε κάνει καλή διάγνωση στον ασθενή προφανως το αντιπυρετικό που του δώσαμε δεν ειναι το σωστό γιατί αντί να κατεβαινει η θερμοκρασία του ανεβαίνει.

Αυτό το συμπέρασμα το βγάζω επειδή προ γνωριζω προς τα που θα κινειται η θερμοκρασία (πανω –αυξάνεται ) ή  (κάτω μειώνεται ) από το είδος της μονοτονίας μιας συνάρτησης.

‘Οταν η συνάρτηση  πυρετού ενός ασθενούς είναι φθίνουσα  ποια θερμοκρασία θα είναι πιο μεγάλη :

Α) Αυτή που έχει στις 8 το πρωί ή αυτή που θα έχει στις 12 00 ;

Β) Αυτή ου θα έχει στις 15 00  ή αυτή  που θα έχει στις 20 00

‘Οταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β έχω κάνει σωστή θεραπεία αντιβιοτικού ή πρέπει να το αλλάξω;

Απάντηση :

Εφόσον γνωρίζω ότι η συνάρτηση  είναι φθίνουσα συμπεραίνω ότι όσο περνά η ώρα (δηλαδή μεγαλώνει η τιμή του χ ) θα μειώνεται η θερμοκρασία.

Αυτό μπορείς να το δεις στο γράφημα από τις 9 00  και μετά.

‘Αρα σαν συμπέρασμα στην περίπτωση αυτή ο ασθενής έχει  πάρει το σωστό αντιπυρετικό και η διάγνωση είναι καλή .

Πως θα καταλαβαίνω μια συνάρτηση αν είναι αύξουσα ή φθινουσα από τη γραφική παράσταση ;

Δίνεται η παρακάτω γραφική παράσταση μιας συνάρτησης  f(x)=x-2

Στον παρακάτω πίνακα Τιμών παρατηρείστε  ποιες τιμές βάζουμε στο χ και τι παίρνουμε σαςν αποτέλεσμα. Τα κόκκινα βελάκια στον άξονα χχ΄και στον άξονα ψψ΄δείχνουν ότι καθώς μεγαλώνει το χ μεγαλώνει και το ψ . Τα αντίστοιχα δείχνουν και τα μπλε βελάκια όταν μεγαλώνει το χ μεγαλώνει και το ψ. ‘Αρα η συνάρτηση είναι αύξουσα.

 

 

Παράδειγμα φθίνουσας συνάρτησης : μελέτη απο τη γραφική της παράσταση :

Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης   όπως παρακάτω :

Από τις τυχαίες τιμές που βάζουμε στο χ  παίρνουμε αντίστοιχες τιμές σαν αποτέλεσμα . Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι καθώς  μεγαλώνουμε τις τιμές του χ  μικραίνουν οι τιμές που παίρνουμε στην συνάρτηση. Το κόκκινο βελάκι στον άξονα χχ’ δείχνει ότι από την μια τιμή χ1=0 πάνω στην χ2=1. Όμως η  f(0)=4  ενώ η  f(1)=3. Μεγάλωσε το χ αλλά μίκρινε το ψ. Αυτό μας δείχνει μια φθίνουσα συνάρτηση.