Συναρτήσεις και Σχέσεις: Μαθαίνουμε να τις Ξεχωρίζουμε μαθηματικά β γυμνασίου

Στην ανάρτηση αυτή  που περιγράφουμε πρέπει ο μαθητής να ξεχωρίσει τα γνωρίσματα μιας συνάρτησης από μια απλή σχέση .Σε αυτό θα τον βοηθήσουν και οι ερωτήσεις που ακολουθούν και πρέπει να απαντήσει. Καλό διάβασμα .

ΕΚΦΏΝΗΣΗ
Ο φίλος μας, ο Γιώργος, αποφάσισε να κάνει μια ποδηλατάδα στην εξοχή. Ξεκίνησε από το σπίτι του και έκανε ποδήλατο με σταθερή ταχύτητα 15 χιλιομέτρων την ώρα. Ας φανταστούμε ότι καταγράφουμε το χρόνο που περνάει και την απόσταση που διανύει ο Γιώργος.

Χρόνος (ώρες)	Απόσταση (χιλιόμετρα)
0	0
1	15
2	30
3	45
4	60
5	75

Όπως βλέπουμε στον πίνακα, καθώς αυξάνεται ο χρόνος που κάνει ποδήλατο  ο Γιώργος, αυξάνεται και η απόσταση που διανύει. Υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στο χρόνο και την απόσταση. Για κάθε τιμή του χρόνου, αντιστοιχεί μια μόνο συγκεκριμένη τιμή απόστασης.

Αυτή η σχέση, όπου για κάθε τιμή μιας ποσότητας (εδώ ο χρόνος) αντιστοιχεί ακριβώς μία τιμή μιας άλλης ποσότητας (εδώ η απόσταση), ονομάζεται Συνάρτηση.

Στην περίπτωση μας, η απόσταση είναι συνάρτηση του χρόνου. Μπορούμε να πούμε ότι η απόσταση εξαρτάται από το χρόνο.

Πεδίο Ορισμού και Σύνολο Τιμών

• Πεδίο Ορισμού: Είναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών τιμών για την πρώτη ποσότητα, δηλαδή αυτή από την οποία ξεκινάμε (εδώ ο χρόνος). Στην περίπτωση μας, ο χρόνος μπορεί να είναι 0 ώρες, 1 ώρα, 2 ώρες, 3 ώρες, 4 ώρες, 5 ώρες, και ίσως και περισσότερο αν ο Γιώργος έκανε ποδήλατο για πολλές ώρες. Συνήθως, στην πραγματική ζωή, ο χρόνος δεν μπορεί να είναι αρνητικός, οπότε το πεδίο ορισμού θα είναι χρόνοι μεγαλύτεροι ή ίσοι με 0.

• Σύνολο Τιμών: Είναι το σύνολο όλων των πιθανών τιμών για τη δεύτερη ποσότητα, δηλαδή αυτή που προκύπτει (εδώ η απόσταση). Στην περίπτωση μας, για κάθε χρόνο που κάνει ποδήλατο  ο Γιώργος, προκύπτει μια συγκεκριμένη απόσταση. Το σύνολο αυτών των αποστάσεων είναι το σύνολο τιμών.

• Συνέχεια

 

Μετατόπιση της γραφικής παράστασης συνάρτησης

 

ΥΠΕΝΘΎΜΙΣΗ  Κατακόρυφη – κάτω  μετατόπιση Αν   F(x) = f(x) – c,  όπου  c >0,   τότε  η    γραφική παράσταση της F(x) προκύπτει από την  κατακόρυφη – κάτω  μετατόπιση της  f(x)   κατά  c   ονάδεs  Κατακόρυφη – πάνω  μετατόπιση Αν   F(x) = φ(x) + c,  όπου  c > 0,   τότε  η  γραφική παράσταση της F(x)   προκύπτει από την  κατακόρυφη –πάνω -μετατόπιση της  f(x)   κατά  c   ονάδεs	ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Στο διπλανό σύστημα αξόνων δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x2. Να συμπληρώσετε τη γραφική παράσταση της  συνάρτησης f(x)=x2+3 και g(x)= x2-3.

Συναρτήσεις Θεωρία και ασκήσεις

 

Copy of lesson_04_mathjazz.pdf from ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΥ

'Άσκηση στα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 Ποια γραφική παράσταση παριστάνεται από την παρακάτω αλγεβρική μορφή    ψ=3(χ+6)²-1 ?

Συναρτήσεις μέρος πρώτο μαθηματικά γ λυκείου

Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf from ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΥ

Πως βρίσκω τις μετατοπίσεις συναρτήσεων β βαθμού (τριώνυμο ) άλγεβρα β λυκείου

Μεθοδολογία   για την εύρεση και τον σχεδιασμό της μετατόπισης γραφικής παράστασης της μορφής τριωνύμου 

Το αρχείο θα το βρείτε εδώ

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες

Αν χρειάζεσαι βοήθεια για την λύση των ασκήσεων ή έχεις οποιαδήποτε απορία πάτησε εδώ

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram

Η έννοια της Συνάρτησης μαθηματικά Β γυμνασίου

 Το αρχείο βρίσκεται εδώ

 

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες

Αν χρειάζεσαι βοήθεια για την λύση των ασκήσεων ή έχεις οποιαδήποτε απορία πάτησε εδώ

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram

Παραδείγματα για την κατανόηση των περιοδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων άλγεβρα β λυκείυ

Το αρχείο βρίσκεται εδώ

Φύλλο εργασίας στην εύρεση του πεδίου ορισμού

 ΕΚΦΏΝΗΣΗ

ΟΜΆΔΑ 1η

ΟΜΆΔΑ 2η

Μάθε για τις ιδιότητες των συναρτήσεων άλγεβρα β λυκείου γενικής παιδείας

 Το αρχείο περιλαμβάνει  αναλυτικη θεωρία για τις ιδιότητες των ασκήσεων με σχήματα  και με πρόσθετες ασκήσεις για κατανόηση .Πατήστε ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΉΣΕΩΝ

Ο πυρετός του ασθενή και η έννοια της μονοτονίας ...... άλγεβρα α λυκείου

      Ο   πυρετός  του  ασθενή και η έννοια    της     μονοτονίας

      Από την σειρά          «    Οι έννοιες Μαθηματικών   »    

Στόχος : Η κατανόηση της έννοιας μονοτονίας –αύξουσα-φθίνουσα.

        Ο πυρετός είναι (ένα μέγεθος) που  προσδιορίζει την υγεία ενός ασθενή.’Οταν ο πυρετός ανεβαίνει καθώς περνά ο χρόνος  το άλλο μέγεθος τότε η εξέλιξη του ασθενούς είναι άσχημη.

Άπό το παραπάνω παράδειγμα  τα μεγέθη Πυρετός  και χρόνος  αποτελούν μια  συνάρτηση .Όσο μεγαλώνει  ο χρόνος  πχ (από τις 8 à9à10 κλπ ) ώρες όταν  αυξάνεται και ο πυρετός τότε  τη συναρτηση αυτή την ονομάζουμε αύξουσα.

Θα μπορούσε όμως καθώς μεγαλώνει ο χρόνος  ο πυρετός να μειωνόταν οπότε τη συνάρτηση θα την ονομάζοουμε φθίνουσα.

Τι παρατηρείτε καθώς μεγαλώνει το χ από τις 6 00 πρωινή μέχρι  και την 9 00 πρωινή;

Τι παρατηρείται από την 9 00 μέχρι και την 12 00 ;

Συμπέρασμα : Όταν  σε μια συνάρτηση  μεγαλώνει  η μια μεταβλητή το χ  και ταυτόχρονα μεγαλώνει και η άλλη μεταβλητή ψ τότε η συνάρτηση ονομάζεται αύξουσα.

‘Οταν σε μια συνάρτηση μεγαλώνει η μια μεταβλητή το χ και ταυτόχρονοα μικραίνει η άλλη μεταβλητή Ψ τότε η συνάρτηση ονομάζεται φθίνουσα.

Τι πλεονέκτημα  έχω όταν γνωρίζω ότι μια συνάρτηση είναι αύξουσα ;

Μπορώ να προβλέψω  αν η επόμενη τιμή της συνάρτησης δηλαδή το f(6:30)  θα μεγαλώσει περισσότερο από την προηγούμενη τιμή της f(x)  καθώς μεγαλώνει η ώρα από τις  600 στις 6 30.

Το ίδιο και για την επόμενη τιμή δηλαδή f(7 00) δηλαδή την θερμοκρασία του ασθενούς στις 7 00

Από την θερμοκρασία  στις 6 30 f( 6 30).

Συμπέρασμα : Όταν ξέρω ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα από τις  6 300 μέχρι και τις 9 00 καταλαβαίνω ότι κάθε μισή ώρα που μεγαλώνει το χ θα ανεβαίνει και ο πυρετός.

Ερωτήσεις από το παραπάνω συμπέρασμα :

‘Οταν η συνάρτηση  πυρετού ενός ασθενούς είναι αύξουσα  ποια θερμοκρασία θα είναι πιο μεγάλη :

Α) Αυτή που έχει στις 8 το πρωί ή αυτή που θα έχει στις 12 00 ;

Β) Αυτή ου θα έχει στις 15 00  ή αυτή  που θα έχει στις 20 00

‘Οταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β έχω κάνει σωστή θεραπεία αντιβιοτικού ή πρέπει να το αλλάξω;

Απαντήσεις

Α) Εφόσον έχω την πληροφορία ότι η συνάρτηση  μεταξύ του χρόνου και της θερμοκρασίας είναι αύξουσα  αυτό σημαίνει ότι όσο μεγαλώνει τ ο χρόνος από τις 8 00  μετά 9 00  μετά  10 μετά 11 00 κα ιμετά 12 00 τότε θα ανεβαίνει και η θερμοκρασία του ασθενούς χωρίς να  περιμένω να πάει η αντίστοιχη ώρα να δω αν έχει μεγαλώσει.

Δηλαδή απο τις 8 00  αν η θερμοκρασία ήταν f(8 00)=38,2  δεν θα περιμένω να πάει 12 00 να δω ότι θα είναι μεγαλύτερη f(12 00) =39.2   θα είμαι σίγουρος (πρόβλεψη ) ότι η θερμοκρασία στις 12 00 θα είναι πιο μεγάλη από ότι στις 8 00 δεν θα ξέρω όμως πόσο  ακριβώς.

Β) Το ίδιο θα ισχύει και για το ερώτημα αυτό.

Από την στιγμή που έχω την πληροφορία  ότι η συνάρτηση είναι  αύξουσα όσο μεγαλώνει η ώρα θα μεγαλώνει και η θερμοκρασία του ασθενούς (δεν θα ξέρω βέβαια πόση θα είναι  ακριβώς).

Αρα όταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β  θα πρέπει να σκεφτώ ότι δεν έχουμε κάνει καλή διάγνωση στον ασθενή προφανως το αντιπυρετικό που του δώσαμε δεν ειναι το σωστό γιατί αντί να κατεβαινει η θερμοκρασία του ανεβαίνει.

Αυτό το συμπέρασμα το βγάζω επειδή προ γνωριζω προς τα που θα κινειται η θερμοκρασία (πανω –αυξάνεται ) ή  (κάτω μειώνεται ) από το είδος της μονοτονίας μιας συνάρτησης.

‘Οταν η συνάρτηση  πυρετού ενός ασθενούς είναι φθίνουσα  ποια θερμοκρασία θα είναι πιο μεγάλη :

Α) Αυτή που έχει στις 8 το πρωί ή αυτή που θα έχει στις 12 00 ;

Β) Αυτή ου θα έχει στις 15 00  ή αυτή  που θα έχει στις 20 00

‘Οταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β έχω κάνει σωστή θεραπεία αντιβιοτικού ή πρέπει να το αλλάξω;

Απάντηση :

Εφόσον γνωρίζω ότι η συνάρτηση  είναι φθίνουσα συμπεραίνω ότι όσο περνά η ώρα (δηλαδή μεγαλώνει η τιμή του χ ) θα μειώνεται η θερμοκρασία.

Αυτό μπορείς να το δεις στο γράφημα από τις 9 00  και μετά.

‘Αρα σαν συμπέρασμα στην περίπτωση αυτή ο ασθενής έχει  πάρει το σωστό αντιπυρετικό και η διάγνωση είναι καλή .

Πως θα καταλαβαίνω μια συνάρτηση αν είναι αύξουσα ή φθινουσα από τη γραφική παράσταση ;

Δίνεται η παρακάτω γραφική παράσταση μιας συνάρτησης  f(x)=x-2

Στον παρακάτω πίνακα Τιμών παρατηρείστε  ποιες τιμές βάζουμε στο χ και τι παίρνουμε σαςν αποτέλεσμα. Τα κόκκινα βελάκια στον άξονα χχ΄και στον άξονα ψψ΄δείχνουν ότι καθώς μεγαλώνει το χ μεγαλώνει και το ψ . Τα αντίστοιχα δείχνουν και τα μπλε βελάκια όταν μεγαλώνει το χ μεγαλώνει και το ψ. ‘Αρα η συνάρτηση είναι αύξουσα.

 

 

Παράδειγμα φθίνουσας συνάρτησης : μελέτη απο τη γραφική της παράσταση :

Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης   όπως παρακάτω :

Από τις τυχαίες τιμές που βάζουμε στο χ  παίρνουμε αντίστοιχες τιμές σαν αποτέλεσμα . Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι καθώς  μεγαλώνουμε τις τιμές του χ  μικραίνουν οι τιμές που παίρνουμε στην συνάρτηση. Το κόκκινο βελάκι στον άξονα χχ’ δείχνει ότι από την μια τιμή χ1=0 πάνω στην χ2=1. Όμως η  f(0)=4  ενώ η  f(1)=3. Μεγάλωσε το χ αλλά μίκρινε το ψ. Αυτό μας δείχνει μια φθίνουσα συνάρτηση.

 

 

 

 

 

 

Πως βρίσκω τα σημεία τομής μιας συνάρτησης με τον άξονα χχ΄ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ριζών από το τριώνυμο

 Σε προηγούμενη ανάρτηση   γράψαμε μια μέθοδο για το πως βρίσκουμε τα σημεία τομής μιας συνάρτησης με τον άξονα χχ΄  

Μάθετε πως να βρίσκετε τα σημεία τομής μιας γραφικής παράστασης συνάρτησης με τον άξονα χχ' άλγεβρα λυκείου στο κεφάλαιο συναρτήσεις

Παρακάτω  θα  δούμε πως βρίσκουμε τα σημεία τομής μιας συνάρτησης με τον άξονα χχ' με τη μέθοδο των ριζών  του τριωνύμου.

Έστω ότι έχουμε ένα  μια  συνάρτηση της μορφής  f(x)=αχ+βχ+γ.

Για να βρούμε σε ποια σημεία τέμνει τον άξονα χχ' πρέπει να την εξισώσουμε με το 0 (μηδέν) και να βρούμε τις λύσεις της.

Γνωρίζουμε απο τη θεωρία ότι οι λύσεις  ενός τριωνύμου δίνονται από τον παρακάτω τύπο :

όπου " $$\μετα μεσημβριας Δείχνει ότι  από το παραπάνω κλάσμα θα βγουν δυο  αριθμοί που θα μηδενίζουν την συνάρτηση θα έχει όπως λέμε δύο το πολύ ρίζες.

‘Εστω η x2-x-6=0.Για να βρούμε τις ρίζες κάνουμε αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο βάζοντας όπου α=1 β=-1  και γ--6

Προκύπτει ο παρακάτω τύπος :

Κάνουμε τις αντίστοιχες πράξεις και βρίσκουμε δυο τιμές του χ ,x1 = 3 x2 = -2

Αυτά είναι τα δύο σημεία Α(-2,0) και Β (3,0) που η συνάρτηση τέμνει τον άξονα χχ'

 ,

Αυτονόητα στις συναρτήσεις που μας δυσκολεύουν μαθηματικά λυκείου

 Πατήστε εδώ

Η λογαριθμική συνάρτηση ως αντίθετη συνάρτηση της εκθετικής

 Σε προηγούμενο άρθρο  είχαμε αναφερθεί στην αντίστροφη συνάρτηση γενικά και τις ιδιότητές της που έχει .

Στο παρόν άρθρο θα παρουσιάσουμε  ένα παράδειγμα αντίθετης συνάρτησης και όπως περιγράφει ο τίτλος του άρθρου "Η λογαριθμικη συνάρτηση ως ατνίθετη της εκθετικής "

Για να δείτε το αρχείο πατήστε εδώ

Σημαντικες τελευταίες παρατηρήσεις -σημειώσεις στις συναρτήσεις μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 Για    να δείτε το αρχείο πατήστε εδώ

Ασκήσεις στην εύρεση του πεδίου ορισμού μαθηματικά λυκείου

Για περισσότερες ασκήσεις  πατήστε εδώ

Ασκήσεις στην υπερβολή αχ^2+βχ+γ άλγεβρα α λυκείου

Πως βρίσκω σε ποια σημεία μια συνάρτηση τέμνει τους άξονες και πως το σημείο τομής δυο ευθειών άλγεβρα α λυκείου

 

Φύλλο εργασίας #13 (περιλαμβάνει εύρεση συμμετρικών σημείων ως προς άξονα χ΄χ ,πότε ένα σημείο ανήκει σε γραφική παράστση και σχετική θέση δυο γραφικών παραστάσεων στις συναρτήσεις άλγεβρα α λυκείου

Προτεινόμενα άρθρα

ΠΩΣ ΒΡΊΣΚΩ ΤΑ ΚΟΙΝΆ ΣΗΜΕΊΑ ΠΟΥ ΤΈΜΝΟΝΤΑΙ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΉΣΕΙΣ F(x) & G(x) KAI ΠΩΣ ΒΡΊΣΚΩ ΤΑ ΔΙΑΣΤΉΜΑΤΑ ΣΤΑ ΟΠΟΊΑ Η ΜΙΑ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ ΕΊΝΑΙ ΠΑΊΡΝΕΙ ΜΕΓΑΛΎΤΕΡΕΣ ΤΙΜΈΣ ΑΠΌ ΤΗΝ ΆΛΛΗ

ΠΩΣ ΒΡΊΣΚΩ ΤΑ ΚΟΙΝΆ ΣΗΜΕΊΑ ΠΟΥ ΤΈΜΝΟΝΤΑΙ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΉΣΕΙΣ F(x) & G(x) KAI ΠΩΣ ΒΡΊΣΚΩ ΤΑ ΔΙΑΣΤΉΜΑΤΑ ΣΤΑ ΟΠΟΊΑ Η ΜΙΑ ΣΥΝΆΡΤΗΣΗ ΕΊΝΑΙ ΠΑΊΡΝΕΙ ΜΕΓΑΛΎΤΕΡΕΣ ΤΙΜΈΣ ΑΠΌ ΤΗΝ ΆΛΛΗ

 

Αν χρειάζεσαι βοήθεια για την λύση των ασκήσεων ή έχεις οποιαδήποτε

απορία πάτησε εδώ

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

Για περισσότερα δείτε εδώ