Κατανόηση του Θεωρήματος του άπειρου πιθήκου
Παράλογα της Θεωρίας Πιθανοτήτων και γιατί δεν μπορείτε να εμπιστευτείτε το ένστικτό σας όταν μαντεύετε πιθανότητες
Φανταστείτε ότι έχετε έναν άπειρο αριθμό πιθήκων. Και τώρα δίνετε σε κάθε έναν από αυτούς τους πιθήκους έναν φορητό υπολογιστή και τους αφήνετε να πληκτρολογούν τυχαία για άπειρο χρονικό διάστημα. Ποιες είναι οι πιθανότητες κάποια στιγμή να εμφανιστεί αυτή η ιστορία σε κάποιο από τα laptop επειδή κάποιος από τους πίθηκους την πληκτρολόγησε τυχαία;
Ή για να κάνετε το σκηνικό λίγο πιο ρεαλιστικό, πάρτε μόνο έναν πίθηκο αντί για άπειρο αριθμό πιθήκων. (Σοβαρά, το να κάνεις έναν πίθηκο να πληκτρολογήσει για πάντα είναι πιθανώς ήδη αρκετή πρόκληση, ακόμα κι αν δεν λάβεις υπόψη ότι ο πίθηκος τελικά θα πεθάνει).
Και πάλι, ποιες είναι οι πιθανότητες αυτός ο πίθηκος, ας τον πούμε Τσάρλι, να πληκτρολογήσει αυτό το άρθρο αν τον αφήσουμε να πληκτρολογεί για πάντα;
Αλλά η εκπληκτική απάντηση είναι: δεν είναι. Η πιθανότητα ο πίθηκος να πληκτρολογήσει αυτό το άρθρο - ή οποιοδήποτε άλλο άρθρο - σε κάποιο σημείο κατά τη διάρκεια του άπειρου ταξιδιού του, είναι 1.
Γιατί μπορεί να αναρωτιέστε; Ας φτάσουμε στον πυρήνα των μαθηματικών πίσω από αυτό!
Κατανόηση Πιθανοτήτων
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να κατανοήσουμε τις πιθανότητες για να κατανοήσουμε το Θεώρημα. Ας υποθέσουμε απλώς (για λόγους απλότητας) ότι ο πίθηκος έχει μόνο μια επιλογή από 40 πλήκτρα που περιλαμβάνουν το αλφάβητο (a, b, c, …z), κάποια σημεία στίξης (",", ".", ":", …) και χώρο.
Υποθέτουμε επίσης ότι ο πίθηκος πληκτρολογεί τυχαία και κάθε πλήκτρο πατιέται με την ίδια πιθανότητα. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα για κάθε κλειδί είναι η ίδια.
Ποια είναι η πιθανότητα να πληκτρολογήσετε το γράμμα «a»; Λοιπόν, έχουμε συνολικά 40 πιθανά πλήκτρα και το "a" είναι ένα από αυτά, οπότε η πιθανότητα να πατηθεί το "a" είναι 1/40. Το ίδιο ισχύει για κάθε άλλο κλειδί, επομένως η πιθανότητα να πληκτρολογήσετε "p" είναι επίσης 1/40, και ούτω καθεξής.
Είπαμε ήδη ότι ο Charly πατά πλήκτρα τυχαία. Με αυτό, εννοούμε ότι ό,τι πληκτρολογήσει στη συνέχεια είναι ανεξάρτητο από αυτό που έχει πληκτρολογήσει προηγουμένως. Μαθηματικά λέμε ότι αυτά τα γεγονότα είναι στοχαστικά ανεξάρτητα.
Επομένως, αν θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο Charly να πληκτρολογήσει πρώτα «a» και μετά «p», πολλαπλασιάζουμε τις πιθανότητες. Η πιθανότητα ο πίθηκος να πληκτρολογήσει πρώτα «a» και μετά «p» είναι επομένως 1/40 * 1/40 = 1/1600 — το οποίο είναι απίστευτα μικρό.
Γιατί πολλαπλασιάζουμε και όχι προσθέτουμε; Υπάρχει μια μαθηματική εξήγηση και μια διαισθητική. Για τη διαισθητική εξήγηση, απλώς θυμηθείτε ότι το συμβάν του πίθηκου να πληκτρολογήσει πρώτα «a» και μετά «p» είναι μικρότερο από την πιθανότητα να πληκτρολογήσει πρώτα «a» και μετά οτιδήποτε. Εφόσον οι πιθανότητες είναι αριθμοί μεταξύ 0 και 1, πολλαπλασιάζοντάς τους, κάνουμε αυτούς τους αριθμούς μικρότερους. Αν προσθέταμε τις πιθανότητες, το αποτέλεσμα θα ήταν μεγαλύτερος αριθμός — κάτι που δεν έχει νόημα. Αν αναρωτιέστε τι θα συμβεί αν προσθέσετε τις πιθανότητες, θα έχετε την πιθανότητα ο πίθηκος να πληκτρολογήσει "a" είτε "p".
Τώρα, ποια θα ήταν η πιθανότητα ο πίθηκος να πληκτρολογήσει «μήλο»;
Ουφ, αυτό είναι απίστευτα μικρό. Στην πραγματικότητα, θα πρέπει να είναι λιγότερες από τις πιθανότητες να κερδίσετε (τουλάχιστον κάτι) στην κλήρωση. Θα μπορούσα να ελέγξω ξανά αυτόν τον ισχυρισμό σε άλλη ιστορία στο μέλλον.
Ποια θα ήταν λοιπόν η πιθανότητα να μην πληκτρολογήσετε μαθηματικά; Είναι το TR: συμπληρωματική πιθανότητα, οπότε μπορούμε να το υπολογίσουμε αφαιρώντας την πιθανότητα να πληκτρολογήσουμε «μήλο» από το 1.
Αυτή ήταν λοιπόν η πιθανότητα να μην πληκτρολογήσετε «μήλο» στα πρώτα 5 γράμματα. Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την πιθανότητα να μην πληκτρολογήσουμε μέσα στα πρώτα n * 5 μπλοκ!
Αυτή είναι η πιθανότητα να μην πληκτρολογήσετε apple μέσα στα πρώτα n μπλοκ μεγέθους 5 το καθένα.
Αυτή είναι μια πιθανότητα που σημαίνει ότι παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1. Για μικρό n, η τιμή είναι κοντά στο 1, αλλά καθώς το n μεγαλώνει, η πιθανότητα να μην πληκτρολογήσετε "μήλο" γίνεται όλο και μικρότερη και τελικά πλησιάζει το 0. Αυτό σημαίνει ότι τελικά, και η πιθανότητα να πληκτρολογήσετε «μήλο» πλησιάζει το 1.
Ολοκληρώθηκε. Αποδεδειγμένος. Τελικά, ο πίθηκος Charly μας θα πληκτρολογήσει «μήλο» και ομοίως θα πληκτρολογήσει και αυτό το άρθρο.
Αυτό το αποτέλεσμα είναι φοβερό! Γιατί σημαίνει επίσης ότι αν συνεχίσουμε να παίζουμε το λαχείο, τελικά θα κερδίσουμε.
Τότε γιατί κανένας λογικός μαθηματικός δεν θα χρησιμοποιούσε ποτέ το λαχείο για να κάνει περιουσία;
Επειδή:
α) Κατά μέσο όρο, θα ξοδεύετε πάντα περισσότερα από όσα θα βγάλετε (θα το καλύψουμε σε άλλη ιστορία στο μέλλον).
β) Πιθανότατα είτε θα πεθάνετε είτε θα ξεμείνετε από χρήματα πριν πετύχετε τους σωστούς αριθμούς.
Επειδή, παρόλο που η πιθανότητα να πληκτρολογήσετε "μήλο" θα πλησιάσει τελικά το 1, θα χρειαστεί απίστευτος χρόνος.
Υποθέτοντας ότι ο Charly πληκτρολογεί με ταχύτητα ενός πλήκτρου ανά δευτερόλεπτο, θα του πάρει περίπου 11,25 χρόνια για να πληκτρολογήσει «μήλο» με πιθανότητα τουλάχιστον 0,5 ή 50%. Και κατά τη διάρκεια αυτών των 11,25 ετών, στον Charly δεν θα επιτρεπόταν να κάνει τίποτα άλλο, ούτε να κοιμηθεί ή να φάει.
Οπότε όχι, δεν θα σας συνιστούσα ποτέ να παίξετε το λαχείο ή να στοιχηματίσετε σε μια πραγματική μαϊμού που πληκτρολογεί οποιοδήποτε κείμενο σε πραγματικό περιβάλλον. Δεν θα σας το συνιστούσα ποτέ εκτός κι αν έχετε πολύ λίγα να χάσετε και μια μικρή πιθανότητα να κερδίσετε είναι καλύτερη από το τίποτα.
