Τί είναι οι ερωτήσεις επέκτασης και γιατί είναι χρήσιμες στα μαθηματικά και τη φυσική, παραδείγματα

 

🔍 Τι είναι οι ερωτήσεις επέκτασης

Είναι ερωτήσεις που πηγαίνουν πέρα από την αρχική άσκηση και ζητούν από τον μαθητή να:

• γενικεύσει,

• μετασχηματίσει,

• προβλέψει,

• συνδέσει,

• ελέγξει όρια και ακραίες περιπτώσεις,

• αναστοχαστεί πάνω στη λύση.

Δεν ζητούν απλώς «άλλη μια πράξη». Ζητούν άλλη μια σκέψη.

🧠 Γιατί είναι σημαντικές

Οι ερωτήσεις επέκτασης:

• ενισχύουν την κατανόηση της έννοιας, όχι της διαδικασίας,

• αποκαλύπτουν παρανοήσεις,

• βοηθούν τον μαθητή να δει μοτίβα,

• μετατρέπουν μια απλή άσκηση σε γνωστικό εργαλείο,

• καλλιεργούν δεξιότητες επίλυσης προβλήματος υψηλότερου επιπέδου.

📐 Σχέση με τα μαθηματικά

Στα μαθηματικά, οι ερωτήσεις επέκτασης συχνά:

• ζητούν γενίκευση (π.χ. «Τι συμβαίνει αν το $n$ είναι άρτιος αριθμός;»),

• εξετάζουν όρια («Τι γίνεται όταν το $x$ τείνει στο άπειρο;»),

• αλλάζουν συνθήκες («Αντί για τρίγωνο, τι θα ίσχυε για τετράπλευρο;»),

• ζητούν εναλλακτική λύση («Μπορείς να το λύσεις χωρίς εξισώσεις;»),

• συνδέουν δομές («Πώς σχετίζεται αυτό με τη γεωμετρική πρόοδο;»).

Οι μαθητές έτσι βλέπουν ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο λογαριασμοί αλλά σχέσεις, μοτίβα και λογική.

⚛️ Σχέση με τη φυσική

Στη φυσική, οι ερωτήσεις επέκτασης:

• αλλάζουν παραμέτρους («Τι θα γινόταν αν διπλασιαζόταν η μάζα;»),

• εξετάζουν ακραίες περιπτώσεις («Τι συμβαίνει όταν η τριβή είναι μηδενική;»),

• ζητούν ποιοτική ερμηνεία («Πώς θα άλλαζε το διάγραμμα ταχύτητας–χρόνου;»),

• συνδέουν μοντέλα («Πώς σχετίζεται αυτό με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα;»),

• απαιτούν μεταφορά γνώσης («Μπορείς να εφαρμόσεις την ίδια ιδέα σε ένα κύκλωμα;»).

Η φυσική ζει μέσα από τις παραλλαγές και τις υποθέσεις. Οι ερωτήσεις επέκτασης το αναδεικνύουν αυτό.

🎯 Παραδείγματα (για άμεση χρήση σε quiz ή διαγώνισμα)

Μαθηματικά – Εξίσωση

Βασική άσκηση: Λύσε την εξίσωση $2x+5=17$.

Ερωτήσεις επέκτασης:

• Αν ο συντελεστής του $x$ ήταν $k$, πώς θα άλλαζε η λύση;

• Ποια τιμή του $k$ κάνει την εξίσωση αδύνατη;

• Μπορείς να βρεις μια γεωμετρική ερμηνεία της λύσης;

Φυσική – Κίνηση

Βασική άσκηση: Ένα σώμα κινείται με σταθερή επιτάχυνση $a=2{\text{m/s}}^2$.

Ερωτήσεις επέκτασης:

• Τι θα συμβεί στη γραφική παράσταση $v(t)$ αν η επιτάχυνση γίνει αρνητική;

• Ποια φυσική κατάσταση αντιστοιχεί στο $a=0$;

• Αν το σώμα ξεκινούσε με αρχική ταχύτητα, πώς αλλάζει η εξίσωση;

Προσεγγιστικές μέθοδοι για λύση προβλημάτων στο δημοτικό που αφορούν προβλήματα γυμνασίου

 

Υπάρχουν πολλές ασκήσεις στο δημοτικό που, αν λυθούν με τυπικές μεθόδους ανώτερων τάξεων, απαιτούν γνώσεις μαθηματικών της Γ' Γυμνασίου ή και του Λυκείου. Ωστόσο, μπορούμε να προσεγγίσουμε με διαφορετικούς τρόπους χρησιμοποιώντας τις γνώσεις του δημοτικού.

Ακολουθούν μερικές κατηγορίες προβλημάτων και οι αντίστοιχοι τρόποι σκέψης:

1. Προβλήματα με συστήματα εξισώσεων

🔹 Παράδειγμα:

Ο Κώστας και ο Γιάννης έχουν μαζί 30 ευρώ. Ο Κώστας έχει 4 ευρώ περισσότερα από τον Γιάννη. Πόσα έχει ο καθένας;

🔹 Προσέγγιση στο Γυμνάσιο:

• Θα λύναμε το σύστημα εξισώσεων: $$x+y=30$$x + y = 30 $$x=y+4$$x = y + 4 με αντικατάσταση ή πρόσθεση-αφαίρεση.

🔹 Προσέγγιση στο Δημοτικό:

• Σκεφτόμαστε ότι αν ο Γιάννης είχε τα ίδια χρήματα με τον Κώστα, τότε και οι δύο είχαν από (30-4)/2 = 13 ευρώ.
• Άρα, ο Γιάννης έχει 13€ και ο Κώστας 13 + 4 = 17€ .

2. Προβλήματα με ποσοστά και αναλογίες

🔹 Παράδειγμα:

Ένα ποδήλατο είχε αρχική τιμή 200€. Έγινε έκπτωση 20%. Ποια είναι η νέα τιμή;

🔹 Προσέγγιση στο Γυμνάσιο:

• Θα χρησιμοποιούσαμε τύπους ποσοστών: $$200\times \mathrm{0,80}=160$$200 \ φορές 0,80 = 160

🔹 Προσέγγιση στο Δημοτικό:

• Σκεφτόμαστε ότι 10% του 200 είναι 20 ευρώ , άρα 20% είναι 40 ευρώ .
• Αφαιρούμε: 200 - 40 = 160 ευρώ .

3. Πράξεις με κλάσματα και αναλογίες

🔹 Παράδειγμα:

Ένα έργο το ολοκληρώνουν 3 εργάτες σε 6 ημέρες. Πόσες μέρες θα χρειαστούν 2 εργάτες;

🔹 Προσέγγιση στο Γυμνάσιο:

• Χρησιμοποιούμε αντιστρόφως ανάλογα με το μεγέθη: $$3\times 6=2\times x$$3 \ φορές 6 = 2 \ φορές x και βρίσκουμε$x=9$x = 9.

🔹 Προσέγγιση στο Δημοτικό:

• Σκεφτόμαστε: Αν ένας εργάτης χρειάζεται διπλάσιο χρόνο από τους 2 εργάτες, τότε 2 εργάτες θα χρειαστούν περισσότερο από 6 ημέρες .
• Παρατηρούμε ότι με 3 εργάτες κάθε μέρα γίνεται 1/6 του έργου , άρα με 2 εργάτες γίνεται 2/3 από το 1/6 , δηλαδή 1/9 .
• Ετσι, το έργο θα διαρκέσει 9 ημέρες .

4. Συνδυαστική – Διακριτά Μαθηματικά

🔹 Παράδειγμα:

έχουμε 3 διαφορετικά μπλουζάκια και 2 διαφορετικά παντελόνια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να ντυθούμε;

🔹 Προσέγγιση στο Γυμνάσιο:

• Χρησιμοποιούμε το θεώρημα του γινομένου: $$3\times 2=6$$3 \ φορές 2 = 6

🔹 Προσέγγιση στο Δημοτικό:

• Σκεφτόμαστε ότι για κάθε μπλουζάκι έχουμε 2 επιλογές για παντελόνι.
• Μετράμε:
  • 1ο μπλουζάκι με 2 παντελόνια → 2 τρόποι
  • 2ο μπλουζάκι με 2 παντελόνια → 2 τρόποι
  • 3ο μπλουζάκι με 2 παντελόνια → 2 τρόποι
  • Σύνολο: 6 τρόποι .

5. Γεωμετρία – Πυθαγόρειο Θεώρημα

🔹 Παράδειγμα:

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 3 cm και 4 cm. Πόσο είναι η υποτείνουσα;

🔹 Προσέγγιση στο Γυμνάσιο:

• Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα: $${\mathrm{<br>}}^{}$$

🔹 Προσέγγιση στο Δημοτικό:

• Ζητάμε από τα παιδιά να φτιάξουν ένα τρίγωνο με αυτές τις διαστάσεις χρησιμοποιώντας τετραγωνάκια ή σχοινί.
• Ανακαλύπτουν πειραματικά ότι η διαγώνιος ισούται με 5 cm.

Μεθοδολογία για να λύνω συστήματα με ορίζουσες 2x2 άλγεβρα β λυκείου

 

Πως να λύσεις προβλήματα φυσικής σε 10 βήματα με εικόνες

 

1 

Ηρέμησε. Είναι απλώς ένα πρόβλημα, όχι το τέλος του κόσμου!

Μεθοδολογία να λύνουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0 και μελέτη της γραφικής παράσταης αx+β

 Το αρχείο βρίσκεται εδώ

Μεθοδολογία πως να λύνουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος γραμμικά συστήματα 3Χ3 άλγεβρα β λυκείου

 

Για να δείτε το αρχείο πατήστε εδώ.

Σας προτείνουμε επίσης :

Γραμμικά συστήματα Φύλλο Εργασίας  της μορφής 2Χ2 και 3Χ3 άλγεβρα β λυκείου

Μάθε πως να βρίσκεις ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού όταν γνωρίζεις πόσο κάνει το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών του

 Πως να βρούμε ένα τριώνυμο που γνωρίζουμε το άθροισμα  και το γινόμενο των ριζών του.

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού  που  το άθροισμα των ριζών του είναι  0 και το γινόμενο των ριζών κάνει 1.

Απάντηση

Υποθέτουμε ότι οι  ρίζες του πολυώνυμου να  δευτέρου βαθμού είναι «a» και «b».
Τότε από τη δεδομένη κατάσταση, έχουμε,
α+β=0   και 
α β=1.
Γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι ένα δευτέρου βαθμού τριώνυμο γράφεται και

 x2 -Sx +P=0. (1)
Το S είναι το άθροισμα των ριζών δηλαδή α+β=0 ή S=0 και το P είναι το γινόμενο των ριζών α*β=1 ή Ρ=1.
Κάνουμε αντικατάσταση στον τύπο (1) και βρίσκουμε : x2 +1
Τώρα κάνε και τη δική σου προσπθεια να βρεις  το τριώνυμο δευτέρου βαθμού που έχει άρθροισμα ριζών το 5 και γινόμενο το 6.

Πως βρίσκω από την γραφική παράσταση ποια σημεία τέμνει μια συνάρτηση τον άξονα χχ΄'

 Για να βρείτε το μηδέν σε ένα γράφημα, αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να δούμε πού το γράφημα της συνάρτησης κόβει ή αγγίζει τον άξονα x και αυτά τα σημεία θα είναι το μηδέν αυτής της συνάρτησης, επειδή σε αυτά τα σημεία το y είναι ίσο με το μηδέν.

Εδώ θα προκύψουν 3 περιπτώσεις και είναι :

1. Όταν το γράφημα κόψει τον άξονα x ,
2. Όταν το γράφημα αγγίζει τον άξονα x ,
3. Όταν το γράφημα δεν αγγίζει ούτε κόβει τον άξονα x .

Βρείτε μηδέν όταν το γράφημα κόβει τον άξονα xx'

Κοιτάξτε το γράφημα της συνάρτησης 

$$\ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) ^ {2} = 4 \ αριστερά (y + 4 \ δεξιά)

Εδώ το γράφημα κόβει τον άξονα x σε δύο σημεία (-6,0) και (2,0).

Στο (-6,0), x = -6; y = 0 και στο (2,0), x = 2; y = 0.

Μπορούμε να δούμε ξεκάθαρα ότι η τιμή συνάρτησης y = 0 για x = -6 και 2.

Και τώρα δώσε την δική σου απάντηση στην παρακάτω ερώτηση:

Βρείτε τώρα από την διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης  f(x)=x2-4  σε ποιά σημεία τένει τον άξονα χχ’

    

Όταν το γράφημα αγγίζει τον άξονα x'x

Κοιτάξτε το γράφημα της συνάρτησης $$\ αριστερά (x-1 \ δεξιά) ^ {2} = 4y δινεται παρακατω

Εδώ το γράφημα δεν κόβει τον άξονα x αλλά αγγίζει το (1,0).

Στο (1,0), x = 1 και y = 0.

Σαφώς η τιμή συνάρτησης y = 0 για x = 1.

Εκεί το μηδέν της συνάρτησης ,η αριθμητική τιμής ,είναι 1.

Και τώρα δώσε την δική σου απάντηση στην παρακάτω ερώτηση :

Βρείτε τώρα από την διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης  f(x)=x2  σε ποιά σημεία τένει τον άξονα χχ’

Όταν το γράφημα δεν αγγίζει ούτε κόβει τον άξονα Χ

Κοιτάξτε το γράφημα της συνάρτησης x$$x ^ {2} = 4 \ αριστερά (y-2 \ δεξιά) δινεται παρακατω

Μάθετε πως να βρίσκετε τα σημεία τομής μιας γραφικής παράστασης συνάρτησης με τον άξονα χχ' άλγεβρα λυκείου στο κεφάλαιο συναρτήσεις

 Υπάρχουν κάποιες τετραγωνικές πολυωνυμικές  συναρτήσεις από τις οποίες μπορούμε να βρούμε που μηδενίζονται  αφού τις φτιάξουμε πρώτα σε μορφή τέλειο τετράγωνο.

Αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος για να βρούμε  σε ποια σημεία μηδενίζεται μια συνάρτηση δηλαδή  f(x)=0 ή  όπως λέμε αλλοιώς σε ποια σημεία τέμνει τον άξονα χ΄χ΄.

Πως λύνουμε γραμμικά συστήματα με τη μέθοδο της αντικατάστασης άλγεβρα α λυκείου

 

Δείτε περισσότερα : Μαθηματικά Α Λυκείου 

Πως βρίσκω σε ποια σημεία μια συνάρτηση τέμνει τους άξονες και πως το σημείο τομής δυο ευθειών άλγεβρα α λυκείου

 

Σημαντικές ιδιότητες που πρέπει να ξέρεις για τη λύση ασκήσεων άλγεβρα α λυκείου

 

Πως λύνουμε τα προβλήματα στο κεφάλαιο ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΉ φυσική α λυκείου

 Για να δείτε το αρχείο πατήστε 

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ ΑΣΚΉΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ

Πως να λύνω εξισώσεις με απόλυτα άλγεβρα α λυκείου

 

Το αρχείο περιλαμβάνει μικρή θεωρία με πολλά παραδείγματα για τις διάφορες μορφές εξισώσεων με απόλυτα.

Είναι ιδανικό για μια επανάληψη στην παραπάνω ύλη.

Για να το κατεβάσετε πατήστε πάνω στην εικόνα.

Για περισσότερες λυμένες ασκήσεις πατήστε εδώ