Μπορείτε συχνά να βρείτε διάφορα μαθηματικά κόλπα στο Διαδίκτυο και στη βιβλιογραφία ψυχαγωγίας: σας ζητείται να σκεφτείτε έναν αριθμό και μετά να εκτελέσετε μια σειρά αριθμητικών πράξεων με αυτόν. Μετά από αυτό, ο συνομιλητής ονομάζει με ακρίβεια τον αριθμό που πήρατε. Τα περισσότερα από αυτά τα κόλπα βασίζονται στο γεγονός ότι ο αρχικός αριθμός αντικαθίσταται ανεπαίσθητα από έναν άλλο κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών και, στη συνέχεια, σε λίγα βήματα μειώνεται σε μια γνωστή απάντηση. Τέτοια κόλπα, για παράδειγμα, μπορούν να βρεθούν στα βιβλία του Yakov Perelman.
Η εικασία του Collatz αφήνει πίσω όλα αυτά τα κόλπα. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό είναι επίσης κάποιο είδος κόλπου με ένα τέχνασμα. Ωστόσο, μετά από προσεκτικότερη εξέταση, αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει αλιεύμα. Σκέφτεστε έναν αριθμό και επαναλαμβάνετε μία από τις δύο αριθμητικές πράξεις για αυτόν πολλές φορές. Προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι το αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών θα είναι πάντα το ίδιο. Ή όχι πάντα; Κανείς δεν το γνωρίζει αυτό με σιγουριά ακόμα, αλλά κανείς δεν έχει καταφέρει ακόμα να πάρει κάτι άλλο.
Ας δοκιμάσουμε. Λοιπόν, μαντέψτε οποιονδήποτε θετικό ακέραιο. Στη συνέχεια, ακολουθήστε τον απλό αλγόριθμο:
1. Εάν ο αριθμός είναι ζυγός, διαιρέστε τον με το 2. Διαφορετικά, πολλαπλασιάστε τον με το 3 και προσθέστε 1.
2. Επαναλάβετε το βήμα 1 με τον αριθμό που προκύπτει.
Τι πιστεύετε ότι θα έχουμε ως αποτέλεσμα εάν εκτελέσουμε τα βήματα 1 και 2 πολλές φορές;
Ο Γερμανός μαθηματικός Lothar Collatz πιστεύει ότι για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο, αργά ή γρήγορα θα πάρουμε πρώτα 4, μετά φυσικά - 2 και μετά 1. Και μετά από αυτό θα περπατάμε σε κύκλο, ξανά και ξανά παίρνοντας την αλυσίδα 4-2- 1. Το πιο εκπληκτικό είναι ότι θα φτάσουμε σε αυτό το αποτέλεσμα, με όποιο νούμερο κι αν ξεκινήσουμε.
Δεν με πιστεύεις; Αυτό δεν είναι δύσκολο να ελεγχθεί, ειδικά αφού οι συνθήκες του προβλήματος είναι πολύ απλές. Ίσως, αυτή τη στιγμή, αυτή είναι η απλούστερη διατύπωση ενός άλυτου μαθηματικού προβλήματος - ο καθένας μπορεί να πολλαπλασιάσει και να προσθέσει. Για να είμαστε δίκαιοι, αξίζει να σημειωθεί ότι για ορισμένους αρχικούς αριθμούς θα χρειαστεί πολύς χρόνος για να μετρηθούν. Έτσι, εάν αυτό το «κόλπο» είναι κατάλληλο για να κάνετε περιουσία σε μια φιλική εταιρεία, θα είναι μόνο για μικρούς αρχικούς αριθμούς. Αλλά μπορούμε πάντα να γράψουμε ένα μικρό πρόγραμμα - πολύ πιο απλό: έναν βρόχο με μία προϋπόθεση.
Αν θέλετε, δοκιμάστε να πειραματιστείτε λίγο με αυτήν την υπόθεση μόνοι σας.
Ξέρετε τι άλλο είναι ενδιαφέρον; Δεν είναι καθόλου τυχαίο ότι η δήλωση του Collatz ονομάζεται υπόθεση - μέχρι στιγμής κανείς δεν έχει καταφέρει να βρει μια λογική απόδειξη. Ο Lothar Collatz διατύπωσε την υπόθεσή του στη δεκαετία του '30 του 20ου αιώνα και από τότε έχουν γίνει πολλές προσπάθειες να αποδειχθεί ή να διαψευσθεί αυτή η δήλωση χρησιμοποιώντας αυστηρή μαθηματική λογική. Αλλά το μόνο που μπορούσαν να επιτύχουν οι μαθηματικοί ήταν απλώς να δοκιμάσουν την υπόθεση πειραματικά. Σε αυτό το πρόβλημα, η αναζήτηση λογισμικού για λύση ουσιαστικά δεν περιορίζεται από τίποτα εκτός από την υπολογιστική ισχύ. Μέχρι να διαψευσθεί η υπόθεση - ακόμη και για τεράστιους αρχικούς αριθμούς, αργά ή γρήγορα ο αλγόριθμος φτάνει στο 1. Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, οργανώθηκε ακόμη και ένα έργο εθελοντικής κατανεμημένης υπολογιστικής. Αλλά για τα κλασικά μαθηματικά αυτό δεν είναι αρκετό. Οι αριθμοί μπορεί να είναι πολύ δύσκολοι μερικές φορές. Κάπου ανάμεσα στους απίστευτα τεράστιους αρχικούς αριθμούς, μπορεί να υπάρχει ένας αρχικός αριθμός για τον οποίο η υπόθεση δεν θα επιβεβαιωθεί.
Παρεμπιπτόντως, η υπόθεση Collatz έχει πολλά λιγότερο γνωστά ονόματα:
Το δίλημμα 3n+1 είναι μια παραλλαγή του βήματος για περιττούς αριθμούς.
Υπόθεση για χαλάζι - τα γραφήματα ακολουθίας θυμίζουν κάπως τις τροχιές του χαλαζιού στην ατμόσφαιρα.
Η υπόθεση του Ulam - πήρε το όνομά του από τον Πολωνό μαθηματικό Stanislaw Ulam.
το πρόβλημα Kakutani - πήρε το όνομά του από τον Ιάπωνα μαθηματικό Shizuo Kakutani.
Υπόθεση Thwaites - πήρε το όνομά του από τον Άγγλο μαθηματικό Brian Thwaites.
Αλγόριθμος Hasse - πήρε το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Helmut Hasse.
Πρόβλημα των Συρακουσών.
Κρίνοντας από τον αριθμό των διαφορετικών τίτλων, είναι σαφές ότι οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται σοβαρά για αυτό το πρόβλημα. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι αυτό είναι ένα από εκείνα τα «επιβλαβή» προβλήματα που είναι πολύ εύκολο να διατυπωθούν, αλλά εξαιρετικά δύσκολο να επιλυθούν. Ακριβώς όπως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά .
Οι αριθμοί σε αυτό το πρόβλημα συμπεριφέρονται εξαιρετικά περίεργα: σε ορισμένες περιπτώσεις, οι υπολογισμοί φτάνουν το ένα πολύ γρήγορα, και μερικές φορές το υποσύνολο φτάνει σε έναν αρκετά μεγάλο αριθμό και στη συνέχεια γρήγορα "πέφτει" στον ίδιο. Για παράδειγμα, για τον αρχικό αριθμό 27, το υποσύνολο φτάνει στο 9232 και στη συνέχεια πέφτει γρήγορα στο 1 σε πολλά βήματα. Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των βημάτων για το 27 είναι 111. Και αυτό παρά το γεγονός ότι για το 26 είναι 10 (το το μέγιστο υποσύνολο είναι 40), και για 28 - 18 (μέγιστος ενδιάμεσος αριθμός - 52).
Αν και οι μαθηματικοί δεν ήταν σε θέση να επιβεβαιώσουν ή να διαψεύσουν πλήρως την υπόθεση, ωστόσο πέτυχαν κάτι. Όπως συμβαίνει συχνά, οι επιστήμονες προσεγγίζουν μια λύση σταδιακά. Μόλις πρόσφατα, στις 8 Σεπτεμβρίου 2019, ο μαθηματικός του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια Terence Tao δημοσίευσε μια απόδειξη που δείχνει ότι η εικασία Collatz είναι τουλάχιστον «σχεδόν» αληθινή για «σχεδόν» όλους τους αριθμούς. Η ιστορία του πώς οι μαθηματικοί επιτέθηκαν σε αυτό το πρόβλημα και τι κατάφερε να πετύχει ο Terence Tao περιγράφεται λεπτομερώς σε αυτό το άρθρο .
Εκδόσεις της απόδειξης της εικασίας Collatz έχουν ήδη εμφανιστεί επανειλημμένα σε περιοδικά και στο Διαδίκτυο. Ωστόσο, δυστυχώς, όλα είτε περιείχαν σφάλματα είτε ήταν ελλιπή. Έτσι, η υπόθεση παραμένει μια υπόθεση προς το παρόν, και επίσης ένα δροσερό και όμορφο μαθηματικό τέχνασμα.
