Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ Β ΛΥΚΕΊΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΎ. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Πέμπτη 4 Δεκεμβρίου 2025

Προτεινόμενες ασκήσεις (με άμεση λύση) επανάληψης στα διανύσματα παρ 2.4 και 2. μαθηματικά β λυκείου προσανατολισμού

Blog Μαθηματικών - Διανύσματα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ - Blog Διανυσμάτων

Άσκηση 1

Δίνονται διανύσματα α και β, με |α| = 4 και (α, β) = π/3. Αν ισχύει α · (α + β) = 28, να βρείτε:

το εσωτερικό γινόμενο α · β
το μέτρο του διανύσματος β
το εσωτερικό γινόμενο (α − β) · (2α + β)

Μεθοδολογία:

Χρησιμοποίησε την ιδιότητα α·(α+β) = α·α + α·β.
Εφάρμοσε τον τύπο α·β = |α||β|cosθ για να βρεις το |β|.
Για το τελευταίο γινόμενο, κάνε επιμερισμό και υπολόγισε όλα τα επιμέρους.

Λύση:

i) α·β = 12

ii) |β| = 6

iii) (α − β) · (2α + β) = −16

Άσκηση 2

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(3,5), Β(x,x−4), Γ(−5,11), όπου ισχύει ΑΒ · ΑΓ = −32.

Να βρείτε τον αριθμό x
Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΑΜ · ΓΝ

Μεθοδολογία:

Υπολόγισε τα διανύσματα AB και AG από τις συντεταγμένες.
Εφάρμοσε τον τύπο του εσωτερικού γινομένου για να βρεις το x.
Βρες τα μέσα των πλευρών και τα αντίστοιχα διανύσματα, μετά υπολόγισε το γινόμενο.

Λύση:

i) x = 1

ii) AM·GN = −45

Άσκηση 3

Δίνονται τα διανύσματα α = (2,λ) και β = (λ − 8,1), με λ ∈ ℝ και ισχύει α · β = −1.

Να βρείτε τον αριθμό λ
Το εσωτερικό γινόμενο (2α − β) · (α + β)

Μεθοδολογία:

Εφάρμοσε τον τύπο του εσωτερικού γινομένου για να βρεις το λ.
Υπολόγισε τα διανύσματα 2α − β και α + β.
Υπολόγισε το εσωτερικό γινόμενο τους.

Λύση:

i) λ = 5

ii) (2α − β) · (α + β) = 47

Σάββατο 25 Οκτωβρίου 2025

Συνευθειακά σημεία & παραλληλία διανυσμάτων λυμένη άσκηση μαθηματικά β λυκείου προσανατολισμού

Συνθήκη παραλληλίας - Λυμένες ασκήσεις

Λυμένες ασκήσεις στα διανύσματα Β Λυκείου – Μαθηματικά Προσανατολισμού

1.3 Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων:
Δύο διανύσματα $ \vec{\alpha} $ και $ \vec{\beta} $ είναι παράλληλα αν και μόνο αν:
$ \vec{\alpha} = \lambda \cdot \vec{\beta} $, με $ \lambda \in \mathbb{R} $ και $ \vec{\beta} \neq \vec{0} $
• Αν $ \lambda > 0 $ ⇒ ομόρροπα
• Αν $ \lambda < 0 $ ⇒ αντίρροπα

Άσκηση 1:

Δίνονται τα διανύσματα:
$ \vec{OA} = \vec{\alpha} + 2\vec{\beta} - 3\vec{\gamma} $,
$ \vec{OB} = 2\vec{\alpha} + \vec{\beta} + \vec{\gamma} $,
$ \vec{OG} = 4\vec{\alpha} - \vec{\beta} + 9\vec{\gamma} $

Να δείξετε ότι τα σημεία A, B, Γ είναι συνευθειακά.

Υπολογίζουμε τα διανύσματα:
$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{\alpha} - \vec{\beta} + 4\vec{\gamma} $
$ \vec{AG} = \vec{OG} - \vec{OA} = 3\vec{\alpha} - 3\vec{\beta} + 12\vec{\gamma} $
Παρατηρούμε ότι:
$ \vec{AG} = 3 \cdot \vec{AB} $ ⇒ τα διανύσματα είναι ομόρροπα και παράλληλα.

✅ Άρα τα σημεία A, B, Γ είναι συνευθειακά.

Άσκηση 2:

Δίνεται η ισότητα:
$ \vec{AK} + 3\vec{BK} - 2\vec{BA} = \vec{BL} + 3\vec{AM} $

α) Να δείξετε ότι $ \vec{KL} ↑↑ \vec{MK} $
Από την ισότητα προκύπτει:
$ 4\vec{K} = \vec{L} + 3\vec{M} \Rightarrow \vec{L} = 4\vec{K} - 3\vec{M} $
Άρα:
$ \vec{KL} = \vec{L} - \vec{K} = 3(\vec{K} - \vec{M}) = 3\vec{MK} $
✅ Τα διανύσματα είναι ομόρροπα ⇒ παράλληλα.

β) Τα σημεία K, Λ, M είναι συνευθειακά
Αφού $ \vec{KL} $ και $ \vec{MK} $ είναι παράλληλα ⇒ τα σημεία είναι συνευθειακά.

New Big Brain's Team

Παρασκευή 24 Οκτωβρίου 2025

Λυμένη άσκηση με μεθοδολογία στα διανύσματα (μήκος πλευρών τριγώνου-ορθογώνιο τρίγωνο ) μαθηματικά β λυκείου προσανατολισμού

Λυμένη άσκηση στα διανύσματα

Λυμένη άσκηση στα διανύσματα Β Λυκείου, Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δίνονται τα σημεία A(1,2), B(5,2) και Γ(1,6).
Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να προσδιορίσετε τη γωνία των 90°, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Βήμα 1: Υπολογισμός των μηκών των πλευρών
AB = √((5−1)² + (2−2)²) = √(16) = 4
AG = √((1−1)² + (6−2)²) = √(16) = 4
BG = √((1−5)² + (6−2)²) = √(16 + 16) = √(32)

Βήμα 2: Εφαρμογή Πυθαγορείου Θεωρήματος
AB² + AG² = BG² → 4² + 4² = (√32)² → 16 + 16 = 32
✅ Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Βήμα 3: Προσδιορισμός της ορθής γωνίας
Οι πλευρές AB και AG είναι κάθετες μεταξύ τους, άρα η ορθή γωνία βρίσκεται στην κορυφή A.

Συμπέρασμα: Το τρίγωνο ABΓ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία στο σημείο A.

New Big Brain's Team

Δευτέρα 20 Οκτωβρίου 2025

Διανύσματα φύλλο διαδραστικό φύλλο εργασίας στην πρόσθεση ,αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί διάνυσμα

Φύλλο Εργασίας: Διανύσματα

📘 Φύλλο Εργασίας: Διανύσματα

Άσκηση 1

Υπολόγισε: $ \vec{α} = (2,3), \vec{β} = (1,-4) $. Βρες $ \vec{α} + \vec{β} $.

Λύση: $ \vec{α} + \vec{β} = (3,-1) $

Άσκηση 2

Υπολόγισε: $ \vec{α} = (2,3), \vec{β} = (1,-4) $. Βρες $ \vec{α} - \vec{β} $.

Λύση: $ \vec{α} - \vec{β} = (1,7) $

Άσκηση 3

Αν $ \vec{α} = (5,-2) $, βρες $ 3 \cdot \vec{α} $.

Λύση: $ 3 \cdot \vec{α} = (15,-6) $

Άσκηση 4

Αν $ \vec{υ} = (4,0), \vec{ν} = (-4,0) $, τι παρατηρείς;

Λύση: Έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυνση → αντίθετα διανύσματα.

Άσκηση 5

Υπολόγισε: $ \vec{υ} = (7,2), \vec{ν} = (-3,5) $. Βρες $ \vec{υ} + \vec{ν} $.

Λύση: $ \vec{υ} + \vec{ν} = (4,7) $

Άσκηση 6

Υπολόγισε: $ \vec{υ} = (7,2), \vec{ν} = (-3,5) $. Βρες $ \vec{υ} - \vec{ν} $.

Λύση: $ \vec{υ} - \vec{ν} = (10,-3) $

Άσκηση 7

Αν $ \vec{α} = (1,2) $, βρες $ -2 \cdot \vec{α} $.

Λύση: $ -2 \cdot \vec{α} = (-2,-4) $

Άσκηση 8

Αν $ \vec{υ} = (0,5) $, πολλαπλασίασε με 0. Τι παρατηρείς;

Λύση: $ 0 \cdot \vec{υ} = (0,0) $ → το μηδενικό διάνυσμα.

Άσκηση 9

Αν $ \vec{υ} = (3,4) $, ποιο είναι το μέτρο του;

Λύση: $ |\vec{υ}| = \sqrt{3^2+4^2} = 5 $

Άσκηση 10

Αν $ \vec{υ} = (2,1), \vec{ν} = (4,2) $, τι σχέση έχουν;

Λύση: Είναι παράλληλα, $ \vec{ν} = 2 \cdot \vec{υ} $.

Γεωμετρική αναπαράσταση

Το διάνυσμα $ \vec{υ} = (4,3) $ σε καρτεσιανό επίπεδο.

Τετάρτη 15 Οκτωβρίου 2025

Θεωρία μεθοδολογία και ασκήσεις στις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων μαθηματικά προσανατολισμού β λυκείου

Πράξεις Διανυσμάτων - Β΄ Λυκείου

Πράξεις Διανυσμάτων (Β΄ Λυκείου)

Ομόρροπα Διανύσματα

$\vec{α}=(2,0), \; \vec{β}=(3,0) \;\;\Rightarrow\;\; \vec{α}+\vec{β}=(5,0)$

Αντίρροπα Διανύσματα

$\vec{α}=(4,0), \; \vec{β}=(-2,0) \;\;\Rightarrow\;\; \vec{α}+\vec{β}=(2,0)$

Κάθετα Διανύσματα

$\vec{α}=(2,0), \; \vec{β}=(0,2) \;\;\Rightarrow\;\; \vec{α}+\vec{β}=(2,2)$

Αφαίρεση Διανυσμάτων

$\vec{α}=(3,2), \; \vec{β}=(1,1) \;\;\Rightarrow\;\; \vec{α}-\vec{β}=(2,1)$

Δευτέρα 13 Οκτωβρίου 2025

Ίσα διανύσματα: κατεύθυνση και μέτρο, παραδείγματα και άσκηση μαθηματικά β λυκείου προσανατολισμού

Ίσα διανύσματα: κατεύθυνση και μέτρο, παραδείγματα και άσκηση

Με απλά λόγια και καθαρά βήματα, για μαθητές και φοιτητές.

Τι λέει η σχέση ισότητας διανυσμάτων

Η ακόλουθη σχέση εκφράζει τη συνθήκη για να είναι δύο διανύσματα ίσα:

\[ \vec{a} = \vec{\beta} \;\;\Leftrightarrow\;\; \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{\beta} \;\;\text{και}\;\; |\vec{a}| = |\vec{\beta}| \]

Ίδια κατεύθυνση: Τα διανύσματα είναι παράλληλα και δείχνουν προς την ίδια φορά.
Ίσο μέτρο: Έχουν το ίδιο μήκος.

Με λίγα λόγια, δύο διανύσματα είναι ίσα όταν «ταυτίζονται» πλήρως ως προς κατεύθυνση και μέτρο.

Παράδειγμα μη ίσων διανυσμάτων

Δεδομένα: $\vec{a} = (3,\,4)$, $\vec{b} = \left(\tfrac{9}{5},\, \tfrac{12}{5}\right)$.

Έλεγχος κατεύθυνσης:
\[ \text{Οι λόγοι } \frac{3}{\tfrac{9}{5}} \text{ και } \frac{4}{\tfrac{12}{5}} \text{ είναι ίσοι } \Rightarrow \text{παράλληλα με ίδια φορά.} \]
Έλεγχος μέτρων:
\[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \quad |\vec{b}| = \sqrt{\left(\tfrac{9}{5}\right)^2 + \left(\tfrac{12}{5}\right)^2} = 3. \]
Συμπέρασμα: Ίδια κατεύθυνση αλλά διαφορετικό μέτρο ⇒ δεν είναι ίσα.

Παράδειγμα ίσων διανυσμάτων

Δεδομένα: $\vec{a} = (2,\,-1)$, $\vec{b} = (2,\,-1)$.

Κατεύθυνση: Ίδιες συντεταγμένες ⇒ ίδια κατεύθυνση.
Μέτρο:
\[ |\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}. \]
Συμπέρασμα: $\vec{a} = \vec{b}$.

Γεωμετρικό παράδειγμα με σημεία

Σημεία: $A(1,2)$, $B(4,5)$, $C(0,0)$, $D(3,3)$.

Υπολογισμός $\vec{AB}$:
\[ \vec{AB} = (4-1,\; 5-2) = (3,3). \]
Υπολογισμός $\vec{CD}$:
\[ \vec{CD} = (3-0,\; 3-0) = (3,3). \]
Συμπέρασμα: $\vec{AB} = \vec{CD}$ παρόλο που ξεκινούν από διαφορετικά σημεία.

Άσκηση εξάσκησης

Δεδομένα: $E(2,1)$, $F(5,4)$, $G(-1,-2)$, $H(2,1)$.

Ζητούμενο 1: Βρείτε τα διανύσματα $\vec{EF}$ και $\vec{GH}$.
Ζητούμενο 2: Εξετάστε αν ισχύει $\vec{EF} = \vec{GH}$.

Υπόδειξη: Για $P(x_1,y_1)$, $Q(x_2,y_2)$, έχουμε $\vec{PQ} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1)$.

Κυριακή 14 Σεπτεμβρίου 2025

Κύκλος που Εφάπτεται στους Άξονες: Μια Σημαντική Ιδιότητα μαθηματικά β λυκείου προσανατολισμοόυ

Στην Αναλυτική Γεωμετρία, ο κύκλος που εφάπτεται και στους δύο άξονες, $x$ και $y$ , αποτελεί μια ειδική και σημαντική περίπτωση. Η γνώση αυτής της ιδιότητας μας επιτρέπει να βρίσκουμε την εξίσωση του κύκλου πολύ πιο εύκολα, χωρίς να χρειάζονται πολύπλοκες πράξεις.

Βασική Αρχή

Όταν ένας κύκλος εφάπτεται σε έναν άξονα, η απόσταση του κέντρου του από αυτόν τον άξονα είναι ίση με την ακτίνα του.

Επομένως, αν ένας κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξονες, τότε:

Η απόσταση του κέντρου από τον άξονα $x$ είναι ίση με την ακτίνα $r$ .
Η απόσταση του κέντρου από τον άξονα $y$ είναι επίσης ίση με την ακτίνα $r$ .

Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του κέντρου $(x_{0}, y_{0})$ θα είναι αριθμητικά ίσες με την ακτίνα, δηλαδή $∣ x_{0} ∣ = r$ και $∣ y_{0} ∣ = r$ .

ΕΞΊΣΩΣΗ ΚΎΚΛΟΥ

Η γενική εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο $K (x_{0}, y_{0})$ και ακτίνα $r$ είναι:

Ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το κέντρο, έχουμε τέσσερις περιπτώσεις:

Τεταρτημόριο	Συντεταγμένες Κέντρου	Εξίσωση Κύκλου
1ο ( $x > 0, y > 0$ )	$K (r, r)$	$(x - r)^{2} + (y - r)^{2} = r^{2}$
2ο ( $x < 0, y > 0$ )	$K (- r, r)$	$(x + r)^{2} + (y - r)^{2} = r^{2}$
3ο ( $x < 0, y < 0$ )	$K (- r, - r)$	$(x + r)^{2} + (y + r)^{2} = r^{2}$
4ο ( $x > 0, y < 0$ )	$K (r, - r)$	$(x - r)^{2} + (y + r)^{2} = r^{2}$

Εφαρμογή στην Επίλυση Προβλημάτων

Αυτή η "συντόμευση" είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε ασκήσεις όπου δίνεται ένα σημείο από το οποίο διέρχεται ο κύκλος.

Παράδειγμα: Έστω ένας κύκλος που εφάπτεται στους άξονες και διέρχεται από το σημείο $A (2, 1)$ .

Το σημείο $A (2, 1)$ βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, άρα και το κέντρο του κύκλου θα είναι στο ίδιο τεταρτημόριο.
Το κέντρο του κύκλου είναι $K (r, r)$ και η εξίσωσή του είναι $(x - r)^{2} + (y - r)^{2} = r^{2}$ .
Εφόσον ο κύκλος διέρχεται από το A(2,1), οι συντεταγμένες του σημείου ικανοποιούν την εξίσωση:
Άρα, υπάρχουν δύο δυνατές τιμές για την ακτίνα: $r = 1$ ή $r = 5$ .
Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο διαφορετικοί κύκλοι που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος.