Ίσα διανύσματα: κατεύθυνση και μέτρο, παραδείγματα και άσκηση
Με απλά λόγια και καθαρά βήματα, για μαθητές και φοιτητές.
Τι λέει η σχέση ισότητας διανυσμάτων
Η ακόλουθη σχέση εκφράζει τη συνθήκη για να είναι δύο διανύσματα ίσα:
\[
\vec{a} = \vec{\beta}
\;\;\Leftrightarrow\;\;
\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{\beta}
\;\;\text{και}\;\;
|\vec{a}| = |\vec{\beta}|
\]
- Ίδια κατεύθυνση: Τα διανύσματα είναι παράλληλα και δείχνουν προς την ίδια φορά.
- Ίσο μέτρο: Έχουν το ίδιο μήκος.
Με λίγα λόγια, δύο διανύσματα είναι ίσα όταν «ταυτίζονται» πλήρως ως προς κατεύθυνση και μέτρο.
Παράδειγμα μη ίσων διανυσμάτων
Δεδομένα: \(\vec{a} = (3,\,4)\), \(\vec{b} = \left(\tfrac{9}{5},\, \tfrac{12}{5}\right)\).
-
Έλεγχος κατεύθυνσης:
\[ \text{Οι λόγοι } \frac{3}{\tfrac{9}{5}} \text{ και } \frac{4}{\tfrac{12}{5}} \text{ είναι ίσοι } \Rightarrow \text{παράλληλα με ίδια φορά.} \]
-
Έλεγχος μέτρων:
\[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \quad |\vec{b}| = \sqrt{\left(\tfrac{9}{5}\right)^2 + \left(\tfrac{12}{5}\right)^2} = 3. \]
- Συμπέρασμα: Ίδια κατεύθυνση αλλά διαφορετικό μέτρο ⇒ δεν είναι ίσα.
Παράδειγμα ίσων διανυσμάτων
Δεδομένα: \(\vec{a} = (2,\,-1)\), \(\vec{b} = (2,\,-1)\).
- Κατεύθυνση: Ίδιες συντεταγμένες ⇒ ίδια κατεύθυνση.
-
Μέτρο:
\[ |\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}. \]
- Συμπέρασμα: \(\vec{a} = \vec{b}\).
Γεωμετρικό παράδειγμα με σημεία
Σημεία: \(A(1,2)\), \(B(4,5)\), \(C(0,0)\), \(D(3,3)\).
-
Υπολογισμός \(\vec{AB}\):
\[ \vec{AB} = (4-1,\; 5-2) = (3,3). \]
-
Υπολογισμός \(\vec{CD}\):
\[ \vec{CD} = (3-0,\; 3-0) = (3,3). \]
- Συμπέρασμα: \(\vec{AB} = \vec{CD}\) παρόλο που ξεκινούν από διαφορετικά σημεία.
Άσκηση εξάσκησης
Δεδομένα: \(E(2,1)\), \(F(5,4)\), \(G(-1,-2)\), \(H(2,1)\).
- Ζητούμενο 1: Βρείτε τα διανύσματα \(\vec{EF}\) και \(\vec{GH}\).
- Ζητούμενο 2: Εξετάστε αν ισχύει \(\vec{EF} = \vec{GH}\).
Υπόδειξη: Για \(P(x_1,y_1)\), \(Q(x_2,y_2)\), έχουμε \(\vec{PQ} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1)\).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου