Συναρτήσεις Θεωρία και ασκήσεις

 

Copy of lesson_04_mathjazz.pdf from ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΥ

Πως κάνω την γραφική παράσταση της συνάρτησης y=ax^2 διερεύνηση του σχήματος για τις διάφορες τιμές του a συναρτήσεις λυκείου

Ο τύπος της γραφικής παράστασης  f(x)=ax2 είναι η απλούστερη μια συνάρτησης δευτέρου βαθμού.

Σε αυτήν την διερεύνηση θα εξετάσουμε πως oαριθμός  a  που  είναι o συντελεστής  μπροστά από τη μεταβλητή x2 επηρεάζει τη γραφική παράσταση.

Δίνουμε τυχαίες τιμές στον συντελεστή a  όπως 1/2, 2,5,7 και παρακάτω παροουσιάζεται η γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης :

f(x)=½ x2
f(x)=2x2
f(x)=5x2
f(x)=7x2

Ο πυρετός του ασθενή και η έννοια της μονοτονίας ...... άλγεβρα α λυκείου

      Ο   πυρετός  του  ασθενή και η έννοια    της     μονοτονίας

      Από την σειρά          «    Οι έννοιες Μαθηματικών   »    

Στόχος : Η κατανόηση της έννοιας μονοτονίας –αύξουσα-φθίνουσα.

        Ο πυρετός είναι (ένα μέγεθος) που  προσδιορίζει την υγεία ενός ασθενή.’Οταν ο πυρετός ανεβαίνει καθώς περνά ο χρόνος  το άλλο μέγεθος τότε η εξέλιξη του ασθενούς είναι άσχημη.

Άπό το παραπάνω παράδειγμα  τα μεγέθη Πυρετός  και χρόνος  αποτελούν μια  συνάρτηση .Όσο μεγαλώνει  ο χρόνος  πχ (από τις 8 à9à10 κλπ ) ώρες όταν  αυξάνεται και ο πυρετός τότε  τη συναρτηση αυτή την ονομάζουμε αύξουσα.

Θα μπορούσε όμως καθώς μεγαλώνει ο χρόνος  ο πυρετός να μειωνόταν οπότε τη συνάρτηση θα την ονομάζοουμε φθίνουσα.

Τι παρατηρείτε καθώς μεγαλώνει το χ από τις 6 00 πρωινή μέχρι  και την 9 00 πρωινή;

Τι παρατηρείται από την 9 00 μέχρι και την 12 00 ;

Συμπέρασμα : Όταν  σε μια συνάρτηση  μεγαλώνει  η μια μεταβλητή το χ  και ταυτόχρονα μεγαλώνει και η άλλη μεταβλητή ψ τότε η συνάρτηση ονομάζεται αύξουσα.

‘Οταν σε μια συνάρτηση μεγαλώνει η μια μεταβλητή το χ και ταυτόχρονοα μικραίνει η άλλη μεταβλητή Ψ τότε η συνάρτηση ονομάζεται φθίνουσα.

Τι πλεονέκτημα  έχω όταν γνωρίζω ότι μια συνάρτηση είναι αύξουσα ;

Μπορώ να προβλέψω  αν η επόμενη τιμή της συνάρτησης δηλαδή το f(6:30)  θα μεγαλώσει περισσότερο από την προηγούμενη τιμή της f(x)  καθώς μεγαλώνει η ώρα από τις  600 στις 6 30.

Το ίδιο και για την επόμενη τιμή δηλαδή f(7 00) δηλαδή την θερμοκρασία του ασθενούς στις 7 00

Από την θερμοκρασία  στις 6 30 f( 6 30).

Συμπέρασμα : Όταν ξέρω ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα από τις  6 300 μέχρι και τις 9 00 καταλαβαίνω ότι κάθε μισή ώρα που μεγαλώνει το χ θα ανεβαίνει και ο πυρετός.

Ερωτήσεις από το παραπάνω συμπέρασμα :

‘Οταν η συνάρτηση  πυρετού ενός ασθενούς είναι αύξουσα  ποια θερμοκρασία θα είναι πιο μεγάλη :

Α) Αυτή που έχει στις 8 το πρωί ή αυτή που θα έχει στις 12 00 ;

Β) Αυτή ου θα έχει στις 15 00  ή αυτή  που θα έχει στις 20 00

‘Οταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β έχω κάνει σωστή θεραπεία αντιβιοτικού ή πρέπει να το αλλάξω;

Απαντήσεις

Α) Εφόσον έχω την πληροφορία ότι η συνάρτηση  μεταξύ του χρόνου και της θερμοκρασίας είναι αύξουσα  αυτό σημαίνει ότι όσο μεγαλώνει τ ο χρόνος από τις 8 00  μετά 9 00  μετά  10 μετά 11 00 κα ιμετά 12 00 τότε θα ανεβαίνει και η θερμοκρασία του ασθενούς χωρίς να  περιμένω να πάει η αντίστοιχη ώρα να δω αν έχει μεγαλώσει.

Δηλαδή απο τις 8 00  αν η θερμοκρασία ήταν f(8 00)=38,2  δεν θα περιμένω να πάει 12 00 να δω ότι θα είναι μεγαλύτερη f(12 00) =39.2   θα είμαι σίγουρος (πρόβλεψη ) ότι η θερμοκρασία στις 12 00 θα είναι πιο μεγάλη από ότι στις 8 00 δεν θα ξέρω όμως πόσο  ακριβώς.

Β) Το ίδιο θα ισχύει και για το ερώτημα αυτό.

Από την στιγμή που έχω την πληροφορία  ότι η συνάρτηση είναι  αύξουσα όσο μεγαλώνει η ώρα θα μεγαλώνει και η θερμοκρασία του ασθενούς (δεν θα ξέρω βέβαια πόση θα είναι  ακριβώς).

Αρα όταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β  θα πρέπει να σκεφτώ ότι δεν έχουμε κάνει καλή διάγνωση στον ασθενή προφανως το αντιπυρετικό που του δώσαμε δεν ειναι το σωστό γιατί αντί να κατεβαινει η θερμοκρασία του ανεβαίνει.

Αυτό το συμπέρασμα το βγάζω επειδή προ γνωριζω προς τα που θα κινειται η θερμοκρασία (πανω –αυξάνεται ) ή  (κάτω μειώνεται ) από το είδος της μονοτονίας μιας συνάρτησης.

‘Οταν η συνάρτηση  πυρετού ενός ασθενούς είναι φθίνουσα  ποια θερμοκρασία θα είναι πιο μεγάλη :

Α) Αυτή που έχει στις 8 το πρωί ή αυτή που θα έχει στις 12 00 ;

Β) Αυτή ου θα έχει στις 15 00  ή αυτή  που θα έχει στις 20 00

‘Οταν συμβαίνουν τα παραπάνω Α και Β έχω κάνει σωστή θεραπεία αντιβιοτικού ή πρέπει να το αλλάξω;

Απάντηση :

Εφόσον γνωρίζω ότι η συνάρτηση  είναι φθίνουσα συμπεραίνω ότι όσο περνά η ώρα (δηλαδή μεγαλώνει η τιμή του χ ) θα μειώνεται η θερμοκρασία.

Αυτό μπορείς να το δεις στο γράφημα από τις 9 00  και μετά.

‘Αρα σαν συμπέρασμα στην περίπτωση αυτή ο ασθενής έχει  πάρει το σωστό αντιπυρετικό και η διάγνωση είναι καλή .

Πως θα καταλαβαίνω μια συνάρτηση αν είναι αύξουσα ή φθινουσα από τη γραφική παράσταση ;

Δίνεται η παρακάτω γραφική παράσταση μιας συνάρτησης  f(x)=x-2

Στον παρακάτω πίνακα Τιμών παρατηρείστε  ποιες τιμές βάζουμε στο χ και τι παίρνουμε σαςν αποτέλεσμα. Τα κόκκινα βελάκια στον άξονα χχ΄και στον άξονα ψψ΄δείχνουν ότι καθώς μεγαλώνει το χ μεγαλώνει και το ψ . Τα αντίστοιχα δείχνουν και τα μπλε βελάκια όταν μεγαλώνει το χ μεγαλώνει και το ψ. ‘Αρα η συνάρτηση είναι αύξουσα.

 

 

Παράδειγμα φθίνουσας συνάρτησης : μελέτη απο τη γραφική της παράσταση :

Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης   όπως παρακάτω :

Από τις τυχαίες τιμές που βάζουμε στο χ  παίρνουμε αντίστοιχες τιμές σαν αποτέλεσμα . Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι καθώς  μεγαλώνουμε τις τιμές του χ  μικραίνουν οι τιμές που παίρνουμε στην συνάρτηση. Το κόκκινο βελάκι στον άξονα χχ’ δείχνει ότι από την μια τιμή χ1=0 πάνω στην χ2=1. Όμως η  f(0)=4  ενώ η  f(1)=3. Μεγάλωσε το χ αλλά μίκρινε το ψ. Αυτό μας δείχνει μια φθίνουσα συνάρτηση.

 

 

 

 

 

 

Μεθοδολογία : Πως αποδυκνείω ότι μια συνάρτηση είναι φθίνουσα μαθηματικά γ λυκείου προσανατοσιμού

 

https://newteambigbrains.blogspot.com/

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f(x) = x 3 − x2 − 5x + 3.

Λύση

Τη μονοτονία θα την βρούμε με την βοήθεια της παραγώγου .

Βήμα 1ο

Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση  f ‘(x) = 3x2 − 2x − 5

Παρατηρούμε ότι η παράγωγος συνάρτηση  έχει μορφή τριωνύμου .

‘Άρα πρέπει να βρούμε σε ποια διαστήματα το τριώνυμο (αντίστοιχα η παράγωγος συνάρτηση είναι θετική και σε ποια αρνητική).

Με την χρήση του τύπου   βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου και  όπως γνωρίζουμε 

Τυπολόγιο στο τριώνυμο περιλαμβάνει πρόσημο τριωνύμου, είδος ριζών,αριθμός ριζών τριωνύμου άλγεβρα α λυκείου

 ένα τριώνυμο γράφεται σε μορφή γινομένου ως προς τις ρίζες του .

Άρα το  f ‘(x) = 3x2 − 2x − 5 == (x + 1)(3x − 5).

Λύνοντας την ανίσωση f’(x) ≤ 0 ⇔ (x + 1)(3x − 5) ≤ 0 ⇔ βρίσκουμε ότι το  x   ανήκει στις τιμές : −1 ≤ x ≤ 5/3. .

Για κάθε τιμή της παραπάνω ανίσωσης η παράγωγος είναι αρνητική και η συνάρτηση φθίνουσα.

Στο παρακάτω σχήμα  βλέπουμε τα συμπεράσματά μας.

Ασκήσεις που προτείνουμε να λύσεις :

 

Πως η μονοτονία μας βοηθάει να λύνουμε εξισώσεις μαθηματικά γ λυκείου

 Το αρχείο βρίσκεται εδώ