Λυμένη άσκηση στις συναρτήσεις μαθηματικά λυκείου

 

Άσκηση Μαθηματικών

Δίνεται ότι το x + 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου:

f(x) = 2x³ - 7x² - 10x + 24

Να απαντήσετε στα παρακάτω:

1. Να γράψετε το f(x) ως γινόμενο μιας τετραγωνικής και μιας γραμμικής παράστασης.
2. Να παραγοντοποιήσετε πλήρως το f(x).
3. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης f(x) = 0.
4. Να γράψετε τις ρίζες της εξίσωσης f(x - 2) = 0.

Λύση Άσκησης Μαθηματικών

Δίνεται ότι το x + 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου:

f(x) = 2x³ - 7x² - 10x + 24

1. Γραφή ως γινόμενο τετραγωνικής και γραμμικής παράστασης

Αφού x + 2 είναι παράγοντας, διαιρούμε το f(x) με x + 2 με χρήση συνθετικής διαίρεσης ή μακροχρόνιας διαίρεσης.

Το αποτέλεσμα είναι:

f(x) = (x + 2)(2x² - 11x + 12)

2. Πλήρης παραγοντοποίηση του f(x)

Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο 2x² - 11x + 12.

Βρίσκουμε δύο αριθμούς που έχουν γινόμενο 2 × 12 = 24 και άθροισμα -11: αυτοί είναι -3 και -8.

Άρα:

2x² - 11x + 12 = (2x - 3)(x - 4)

Τελική παραγοντοποίηση:

f(x) = (x + 2)(2x - 3)(x - 4)

3. Λύσεις της εξίσωσης f(x) = 0

Θέτουμε f(x) = 0:

(x + 2)(2x - 3)(x - 4) = 0

Άρα οι λύσεις είναι:

• x = -2
• x = 3/2
• x = 4

4. Ρίζες της εξίσωσης f(x - 2) = 0

Αντικαθιστούμε x - 2 στη θέση του x:

Οι ρίζες του f(x) = 0 ήταν x = -2, \; 3/2, \; 4.

Άρα για f(x - 2) = 0, λύνουμε x - 2 = -2, \; 3/2, \; 4.

Τελικές ρίζες:

• x = 0
• x = 7/2
• x = 6

Ευρεση Αρχικής Συνάρτησης (Ολοκλήρωμα): Θεωρία και Λυμένες Ασκήσεις μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 

Θεωρία

Τι είναι το Ολοκλήρωμα;

Το ολοκλήρωμα είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης. Αν έχουμε τη παράγωγο μιας συνάρτησης f'(x), τότε το ολοκλήρωμα αυτής της παράγωγης μας δίνει την αρχική συνάρτηση f(x), συν μια σταθερά c.

Γιατί προσθέτουμε μια σταθερά c;

Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν. Έτσι, αν προστεθεί μια σταθερά σε μια συνάρτηση, η παράγωγός της παραμένει η ίδια. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f(x) = x² και g(x) = x² + 5 έχουν την ίδια παράγωγο, που είναι 2x.

Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων μεθοδολογίες παραδείγματα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 399000 ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων

Άσκηση μετασχηματισμός των παραγώγων με αλλαγή μεταβλητής

 ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Μεθοδολογία : Πως αποδυκνείω ότι μια συνάρτηση είναι φθίνουσα μαθηματικά γ λυκείου προσανατοσιμού

 

https://newteambigbrains.blogspot.com/

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f(x) = x 3 − x2 − 5x + 3.

Λύση

Τη μονοτονία θα την βρούμε με την βοήθεια της παραγώγου .

Βήμα 1ο

Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση  f ‘(x) = 3x2 − 2x − 5

Παρατηρούμε ότι η παράγωγος συνάρτηση  έχει μορφή τριωνύμου .

‘Άρα πρέπει να βρούμε σε ποια διαστήματα το τριώνυμο (αντίστοιχα η παράγωγος συνάρτηση είναι θετική και σε ποια αρνητική).

Με την χρήση του τύπου   βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου και  όπως γνωρίζουμε 

Τυπολόγιο στο τριώνυμο περιλαμβάνει πρόσημο τριωνύμου, είδος ριζών,αριθμός ριζών τριωνύμου άλγεβρα α λυκείου

 ένα τριώνυμο γράφεται σε μορφή γινομένου ως προς τις ρίζες του .

Άρα το  f ‘(x) = 3x2 − 2x − 5 == (x + 1)(3x − 5).

Λύνοντας την ανίσωση f’(x) ≤ 0 ⇔ (x + 1)(3x − 5) ≤ 0 ⇔ βρίσκουμε ότι το  x   ανήκει στις τιμές : −1 ≤ x ≤ 5/3. .

Για κάθε τιμή της παραπάνω ανίσωσης η παράγωγος είναι αρνητική και η συνάρτηση φθίνουσα.

Στο παρακάτω σχήμα  βλέπουμε τα συμπεράσματά μας.

Ασκήσεις που προτείνουμε να λύσεις :