Τι είναι το Ολοκλήρωμα;
Το ολοκλήρωμα είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης. Αν έχουμε τη παράγωγο μιας συνάρτησης f'(x), τότε το ολοκλήρωμα αυτής της παράγωγης μας δίνει την αρχική συνάρτηση f(x), συν μια σταθερά c.
Γιατί προσθέτουμε μια σταθερά c;
Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν. Έτσι, αν προστεθεί μια σταθερά σε μια συνάρτηση, η παράγωγός της παραμένει η ίδια. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f(x) = x² και g(x) = x² + 5 έχουν την ίδια παράγωγο, που είναι 2x.
ΕΚΦΏΝΗΣΗ
Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f(x) = x 3 − x2 − 5x + 3.
Λύση
Τη μονοτονία θα την βρούμε με την βοήθεια της παραγώγου .
Βήμα 1ο
Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση f ‘(x) = 3x2 − 2x − 5
Παρατηρούμε ότι η παράγωγος συνάρτηση έχει μορφή τριωνύμου .
‘Άρα πρέπει να βρούμε σε ποια διαστήματα το τριώνυμο (αντίστοιχα η παράγωγος συνάρτηση είναι θετική και σε ποια αρνητική).
Με την χρήση του τύπου βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου και όπως γνωρίζουμε
ένα τριώνυμο γράφεται σε μορφή γινομένου ως προς τις ρίζες του .
Άρα το f ‘(x) = 3x2 − 2x − 5 == (x + 1)(3x − 5).
Λύνοντας την ανίσωση f’(x) ≤ 0 ⇔ (x + 1)(3x − 5) ≤ 0 ⇔ βρίσκουμε ότι το x ανήκει στις τιμές : −1 ≤ x ≤ 5/3. .
Για κάθε τιμή της παραπάνω ανίσωσης η παράγωγος είναι αρνητική και η συνάρτηση φθίνουσα.
Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τα συμπεράσματά μας.
Ασκήσεις που προτείνουμε να λύσεις :
