Θεωρία
Τι είναι το Ολοκλήρωμα;
Το ολοκλήρωμα είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης. Αν έχουμε τη παράγωγο μιας συνάρτησης f'(x), τότε το ολοκλήρωμα αυτής της παράγωγης μας δίνει την αρχική συνάρτηση f(x), συν μια σταθερά c.
Γιατί προσθέτουμε μια σταθερά c;
Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν. Έτσι, αν προστεθεί μια σταθερά σε μια συνάρτηση, η παράγωγός της παραμένει η ίδια. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f(x) = x² και g(x) = x² + 5 έχουν την ίδια παράγωγο, που είναι 2x.
Γενικός τύπος:
∫ f'(x) dx = f(x) + c
όπου:
- ∫: συμβολίζει το ολοκλήρωμα
- f'(x): είναι η παράγωγος της αρχικής συνάρτησης
- f(x): είναι η αρχική συνάρτηση
- c: είναι μια αυθαίρετη σταθερά
Βασικοί κανόνες ολοκλήρωσης:
- Ολοκλήρωση σταθεράς: ∫ k dx = kx + c
- Ολοκλήρωση x^n: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + c, για n ≠ -1
- Γραμμικότητα: ∫ (af(x) + bg(x)) dx = a∫ f(x) dx + b∫ g(x) dx, όπου a και b είναι σταθερές.
Λυμένες Ασκήσεις
Άσκηση 1:
Βρείτε την αρχική συνάρτηση f(x), αν f'(x) = 3x² + 2x - 1.
Λύση:
f(x) = ∫ (3x² + 2x - 1) dx
= 3∫ x² dx + 2∫ x dx - ∫ dx
= 3(x³/3) + 2(x²/2) - x + c
= x³ + x² - x + c
Άσκηση 2:
Βρείτε την αρχική συνάρτηση f(x), αν f'(x) = sin(x) + cos(x).
Λύση:
f(x) = ∫ (sin(x) + cos(x)) dx
= ∫ sin(x) dx + ∫ cos(x) dx
= -cos(x) + sin(x) + c
Άσκηση 3:
Βρείτε την αρχική συνάρτηση f(x), αν f'(x) = 1/x.
Λύση:
f(x) = ∫ (1/x) dx
= ln|x| + c
Σημείωση: Η απόλυτη τιμή στο ln|x| είναι απαραίτητη επειδή το ln είναι ορισμένο μόνο για θετικούς αριθμούς.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου