Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα ΆΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΊΟΥ. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα ΆΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΊΟΥ. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Πέμπτη 20 Φεβρουαρίου 2025

Λυμένο προτεινόμενο θέμα στην άλγεβρα και στο τριώνυμο α λυκείου

ΕΚΦΏΝΗΣΗ 

Δίνεται η εξίσωση 2x² + 2x + 3 - λ = 0, λ ∈ R (1)

α) Αν λ = 7 να λύσετε την εξίσωση

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε:

γ1) Να βρείτε το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ

γ2) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι σταθερό

γ3) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές

ΛΎΣΗ

α) Αν λ = 7 να λύσετε την εξίσωση

Για λ = 7, η εξίσωση (1) γίνεται:

2x² + 2x + 3 - 7 = 0 2x² + 2x - 4 = 0

Για να λύσουμε αυτή την δευτεροβάθμια εξίσωση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τις ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Στην εξίσωσή μας, α = 2, β = 2, και γ = -4.

Πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα (Δ = b² - 4ac):

Δ = 2² - 4 * 2 * (-4) Δ = 4 + 32 Δ = 36

Επειδή Δ > 0, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Τώρα υπολογίζουμε τις ρίζες x₁, x₂:

x₁,₂ = [-2 ± √36] / (2 * 2) x₁,₂ = [-2 ± 6] / 4

Έτσι έχουμε δύο ρίζες:

x₁ = (-2 + 6) / 4 = 4 / 4 = 1 x₂ = (-2 - 6) / 4 = -8 / 4 = -2

Άρα, για λ = 7, οι ρίζες της εξίσωσης είναι x = 1 και x = -2.

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες

Για να έχει η εξίσωση (1) δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, η διακρίνουσά της πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (Δ > 0).

Στην εξίσωση 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2, β = 2, και γ = 3 - λ.

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα Δ:

Δ = β² - 4αγ Δ = 2² - 4 * 2 * (3 - λ) Δ = 4 - 8 * (3 - λ) Δ = 4 - 24 + 8λ Δ = 8λ - 20

Για να έχει η εξίσωση δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, πρέπει Δ > 0:

8λ - 20 > 0 8λ > 20 λ > 20 / 8 λ > 5 / 2

Άρα, η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για λ > 5/2.

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε:

Για να έχει η εξίσωση (1) πραγματικές ρίζες, η διακρίνουσα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός (Δ ≥ 0). Από το προηγούμενο ερώτημα, ξέρουμε ότι Δ = 8λ - 20.

Έτσι, για πραγματικές ρίζες, πρέπει:

8λ - 20 ≥ 0 8λ ≥ 20 λ ≥ 5 / 2

γι) Να βρείτε το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ

Για μια δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής αx² + βx + γ = 0, το γινόμενο των ριζών (P) δίνεται από τον τύπο:

P = γ / α

Στην εξίσωσή μας 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2 και γ = 3 - λ.

Επομένως, το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ, είναι:

P(λ) = (3 - λ) / 2

Άρα, το γινόμενο των ριζών είναι P(λ) = (3 - λ) / 2.

γ2) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι σταθερό

Για μια δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής αx² + βx + γ = 0, το άθροισμα των ριζών (S) δίνεται από τον τύπο:

S = -β / α

Στην εξίσωσή μας 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2 και β = 2.

Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι:

S = -2 / 2 S = -1

Το άθροισμα των ριζών είναι S = -1, το οποίο είναι μια σταθερή τιμή και δεν εξαρτάται από το λ. Έτσι, αποδείξαμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι σταθερό.

γ3) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές

Για να έχει η εξίσωση (1) δύο αρνητικές ρίζες, πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι εξής συνθήκες:

  1. Δ ≥ 0: Για να είναι οι ρίζες πραγματικές. Ήδη βρήκαμε ότι αυτό ισχύει για λ ≥ 5/2.

  2. S < 0: Για να είναι το άθροισμα των ριζών αρνητικό (απαραίτητη συνθήκη για να είναι και οι δύο αρνητικές ή μη θετικές). Ήδη βρήκαμε ότι S = -1, το οποίο είναι πάντα αρνητικό. Άρα, αυτή η συνθήκη ισχύει πάντα.

  3. P > 0: Για να είναι το γινόμενο των ριζών θετικό (απαραίτητη συνθήκη για να έχουν οι ρίζες το ίδιο πρόσημο, και εφόσον το άθροισμα είναι αρνητικό, πρέπει να είναι και οι δύο αρνητικές).

Πρέπει λοιπόν P(λ) = (3 - λ) / 2 > 0

(3 - λ) / 2 > 0 3 - λ > 0 (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2, το οποίο είναι θετικό και δεν αλλάζει την φορά της ανισότητας) 3 > λ λ < 3

Πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι συνθήκες λ ≥ 5/2 και λ < 3.

Σε μορφή διαστήματος, λ ≥ 5/2 είναι [5/2, +∞) και λ < 3 είναι (-∞, 3).

Η τομή αυτών των δύο διαστημάτων είναι:

[5/2, 3)

Άρα, η εξίσωση (1) έχει δύο αρνητικές ρίζες για λ ∈ [5/2, 3).

Συνοπτικά οι απαντήσεις:

  • α) Για λ = 7, οι ρίζες είναι x = 1 και x = -2.
  • β) Η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για λ > 5/2.
  • γ1) Το γινόμενο των ριζών είναι P(λ) = (3 - λ) / 2.
  • γ2) Το άθροισμα των ριζών είναι S = -1, το οποίο είναι σταθερό.
  • γ3) Η εξίσωση (1) έχει δύο αρνητικές ρίζες για λ ∈ [5/2, 3).

Δευτέρα 21 Οκτωβρίου 2024

Ασκήσεις στις απόλυτες τιμές για γερά μολύβια άλγεβρα α λυκείου

 

 Δύσκολες Ασκήσεις στις Ανισότητες και στις Απόλυτες Τιμές

Άσκηση 1: Σύνθετες Ανισότητες με Απόλυτη Τιμή

Λύστε την ανισότητα:

3x5+x+210|3x - 5| + |x + 2| \leq 10 

Δώστε την τελική λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R\mathbb{R} και σχεδιάστε το διάστημα πάνω σε αριθμογραμμή.


Άσκηση 2: Ιδιότητες Απόλυτης Τιμής με Συνθήκες

Λύστε την ανισότητα:

x2x+3>1\frac{|x - 2|}{x + 3} > 1 

Συζητήστε για τις περιπτώσεις που προκύπτουν λόγω του παρονομαστή και της απόλυτης τιμής.


Άσκηση 3: Σύστημα Ανισοτήτων με Απόλυτες Τιμές

Λύστε το σύστημα:

{x1+x+4>62x+35\begin{cases} |x - 1| + |x + 4| > 6 \\ |2x + 3| \leq 5 \end{cases}

Βρείτε την τομή των λύσεων.


Άσκηση 4: Πολυωνυμική Ανισότητα με Απόλυτες Τιμές

Λύστε την εξίσωση και εξετάστε την ύπαρξη ριζών:

x23x+2<x1|x^2 - 3x + 2| < |x - 1| 

Προσδιορίστε τις ρίζες των παραστάσεων και εξετάστε ξεχωριστά τα διαστήματα.


Άσκηση 5: Συνδυαστική Ανισότητα με Απόλυτη Τιμή

Λύστε την ανισότητα:

x+1+x2+2x37|x + 1| + |x - 2| + |2x - 3| \geq 7 

Βρείτε όλα τα διαστήματα που ικανοποιούν την ανισότητα, λαμβάνοντας υπόψη τις θέσεις των σημείων αλλαγής πρόσημου.

Τρίτη 8 Οκτωβρίου 2024

Λυμένες ασκήσεις στις απόλυτες τιμές άλγεβρας α λυκείου

Άσκηση α)

|2β - α| + |2γ - α - β| - |α - 4γ| + |α + β|

Παρατηρούμε:

  • Όλοι οι όροι μέσα στις απόλυτες τιμές είναι θετικοί, καθώς α, β και γ είναι θετικοί και γ > β > α.
  • Άρα, μπορούμε να αφαιρέσουμε τις απόλυτες τιμές χωρίς να αλλάξουμε το πρόσημο.

Άρα, έχουμε: = 2β - α + 2γ - α - β - α + 4γ + α + β = 6γ - 2α

Άσκηση β)

| |β - (α+β)/3| + |α - (β+γ)/2| - |(β-3γ-2α)/6| |

Απλοποιούμε τις εκφράσεις μέσα στις απόλυτες τιμές: = |(2β-α)/3| + |(2α-β-γ)/2| - |(β-3γ-2α)/6|

Παρατηρούμε:

  • Ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος είναι θετικός (2β > α).
  • Ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι αρνητικός (2α < β + γ).
  • Ο αριθμητής του τρίτου κλάσματος είναι αρνητικός (β < 3γ + 2α).

Άρα, έχουμε: = (2β-α)/3 + |-(2α-β-γ)/2| - |-(β-3γ-2α)/6| = (2β-α)/3 + (2α-β-γ)/2 - (β-3γ-2α)/6

Βρίσκουμε κοινό παρονομαστή: = (4β-2α)/6 + (6α-3β-3γ)/6 - (β-3γ-2α)/6

Συνδυάζουμε τα κλάσματα: = (4β-2α+6α-3β-3γ-β+3γ+2α)/6 = 2β/6 = β/3

Συνοπτικά:

  • α) 6γ - 2α
  • β) β/3

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Μπορείτε να μας παρακολουθείτε και στο  FACEBOOK  και INSTAGRAM

Δείτε το αρχείο με επιλεγμένα άρθρα  εδώ


Μπορείς αν θέλεις να μοιραστείς αυτό το άρθρο με φίλους ή φίλες σου  !!!

Επικοινωνία : bigbrain2220@gmail.com


Πέμπτη 12 Σεπτεμβρίου 2024

Πώς παριστάνονται στην ευθεία δυο διαδοχικοί αριθμοί;

 Η απεικόνιση διαδοχικών αριθμών στην ευθεία είναι ένας βασικός τρόπος για να κατανοήσουμε τις αριθμητικές σχέσεις και τις έννοιες όπως η τάξη, η απόσταση και η μέση τιμή.

Τι είναι διαδοχικοί αριθμοί;

  • Δύο αριθμοί είναι διαδοχικοί όταν η διαφορά τους είναι 1.
  • Για παράδειγμα, 3 και 4, -5 και -4, 0 και 1 είναι ζεύγη διαδοχικών αριθμών.

Πώς τους απεικονίζουμε στην ευθεία;

  1. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή: Αυτή η γραμμή θα αντιπροσωπεύει όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
  2. Επιλέγουμε ένα σημείο: Αυτό το σημείο θα αντιπροσωπεύει τον πρώτο από τους δύο διαδοχικούς αριθμούς.
  3. Μετράμε μια μονάδα προς τα δεξιά: Από το σημείο που επιλέξαμε, μετράμε μια μονάδα προς τα δεξιά (αν οι αριθμοί είναι θετικοί) ή προς τα αριστερά (αν οι αριθμοί είναι αρνητικοί). Το νέο σημείο που θα βρούμε θα αντιπροσωπεύει τον δεύτερο διαδοχικό αριθμό.

Παράδειγμα: Ας απεικονίσουμε τους αριθμούς 2 και 3 στην ευθεία.

  1. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή.
  2. Επιλέγουμε ένα σημείο και το σημειώνουμε με το 2.
  3. Μετράμε μια μονάδα προς τα δεξιά και σημειώνουμε το σημείο με το 3.
  4. Αν θέλουμε να  απεικονίσουμε πάνω στην ευθεία των αριθμών δυο τυχαίους διαδοχικούς αριθμούς τότε υποθέτουμε και συμβολίζουμε με κάποια μεταβλητή έστω -ν-  τον πρώτο αριθμό και στη συνέχεια  με   ν+1 τον επόμενό του όπως παρουσιάζεται παρακάτω :
  5. Σημαντικά σημεία:

    • Κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν και μόνο έναν πραγματικό αριθμό.
    • Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών στην ευθεία είναι πάντα η ίδια.
    • Η κατεύθυνση της ευθείας μας δείχνει την αύξηση ή τη μείωση των αριθμών.

    Γιατί είναι σημαντική αυτή η απεικόνιση;

    • Οπτικοποιεί τις αριθμητικές σχέσεις: Μας βοηθά να κατανοήσουμε πώς είναι τοποθετημένοι οι αριθμοί μεταξύ τους.
    • Εύκολη σύγκριση αριθμών: Μπορούμε να δούμε ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος με μια απλή ματιά στην ευθεία.
    • Βασική έννοια για πιο σύνθετα μαθηματικά: Είναι το θεμέλιο για την κατανόηση εννοιών όπως η ανισότητα, οι ακτίνες και τα διαστήματα.Δείτε εδώ λυμένη άσκηση 


 New Big brain‘s team

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Μπορείτε να μας παρακολουθείτε και στο  FACEBOOK  και INSTAGRAM



Μπορείς αν θέλεις να μοιραστείς αυτό το άρθρο με φίλους ή φίλες σου  !!!

Επικοινωνία : bigbrain2220@gmail.com





Πέμπτη 22 Σεπτεμβρίου 2022

Συνδυαστικά θέματα άλγεβρας Α λυκείου για διαγωνίσματα.

 

New Big brain‘s team

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες



 

 

 

  



 


Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebook 

Παρασκευή 12 Νοεμβρίου 2021

Πως βγάζω το απόλυτο από έναν αριθμό με γεωμετρική παρουσίαση άλγεβρα α λυκείου

 








 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Μπορείτε να μας παρακολουθείτε και στο  FACEBOOK  και INSTAGRAM

Δείτε το αρχείο με επιλεγμένα άρθρα  εδώ


Μπορείς αν θέλεις να μοιραστείς αυτό το άρθρο με φίλους ή φίλες σου  !!!

Επικοινωνία : bigbrain2220@gmail.com


Τρίτη 12 Οκτωβρίου 2021

Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής στις ανισότητες ,στις ρίζες και στα απόλυτα με τις λύσεις τους στην άλγεβρα α λυκείου

 



Δείτε τις λύσεις εδώ


 New Big brain‘s team

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Μπορείτε να μας παρακολουθείτε και στο  FACEBOOK  και INSTAGRAM

Δείτε το αρχείο με επιλεγμένα άρθρα  εδώ


Μπορείς αν θέλεις να μοιραστείς αυτό το άρθρο με φίλους ή φίλες σου  !!!

Επικοινωνία : bigbrain2220@gmail.com