Αμιγή Κλάσματα και Ρητοί Αριθμοί: Μια Ιστορική και Εκπαιδευτική Προσέγγιση

Αμιγή Κλάσματα και Ρητοί Αριθμοί: Μια Ιστορική και Εκπαιδευτική Προσέγγιση

Η μελέτη των αμιγών κλασμάτων—δηλαδή κλασμάτων με αριθμητή τη μονάδα, όπως  1/2, 1/3, 1/5 ...αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση των ρητών αριθμών. 

Η απλότητά τους βοηθά τους μαθητές να εστιάσουν στην έννοια του «μέρους του όλου» και να αναπτύξουν αριθμητική διαίσθηση.

Ιστορική Αναδρομή 🏺

Η χρήση των αμιγών κλασμάτων ξεκίνησε στην αρχαία Αίγυπτο, όπου οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μόνο κλάσματα με αριθμητή το 1. 

Άλγεβρα α λυκείου επαναληπτική άσκηση με βαθμό δυσκολίας (δύσκολη)

 

Για  να δείτε τις λύσεις πατήστε εδώ

Λύση στις εξισώσεις σε προτεινόμενο θέμα από την Τράπεζα θεμάτων άλγεβρας α λυκείου

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

ΛΎΣΗ

Σχόλια 

Για να λύσει σωστά μια τέτοια άσκηση και να στοχεύει στο άριστα, ένας μαθητής της Α' Λυκείου πρέπει να προσέξει τα εξής σημεία:

Γενικές Προσεγγίσεις για το "Άριστα" σε Τέτοιες Ασκήσεις:

1. Πλήρης Κατανόηση της Εκφώνησης:

   • Διαβάστε προσεκτικά την εκφώνηση πολλές φορές. Βεβαιωθείτε ότι έχετε κατανοήσει κάθε λέξη, κάθε δεδομένο και κάθε ζητούμενο.
   • Ξεχωρίστε τις πληροφορίες που δίνονται (π.χ., σχέσεις μεταξύ των χρόνων) από τα ζητούμενα (π.χ., να αποδείξετε κάτι, να βρείτε κάτι).
   • Εντοπίστε τυχόν περιορισμούς ή αρχικές συνθήκες (π.χ., (t_A < t_B < t_Γ)). Σε αυτή την άσκηση, είναι κρίσιμο να προσέξει κανείς την αρχική συνθήκη (t_A < t_B < t_Γ) και να δει αν συμβαδίζει με τα υπόλοιπα δεδομένα.

2. Στρατηγική Επίλυσης και Βήματα:

   • Χωρίστε το πρόβλημα σε μικρότερα μέρη, όπως τα υποερωτήματα (α)(i), (α)(ii), (β)(i), (β)(ii). Εστιάστε στην επίλυση κάθε μέρους ξεχωριστά.
   • Σχεδιάστε μια λογική σειρά βημάτων για κάθε υποερώτημα. Πριν αρχίσετε τις πράξεις, σκεφτείτε ποια μαθηματικά εργαλεία (εξισώσεις, ανισώσεις, ιδιότητες απόλυτης τιμής, τύπους Vieta, κ.λπ.) θα χρησιμοποιήσετε.

3. Μαθηματική Ακρίβεια και Λογική:

   • Κάθε βήμα πρέπει να είναι μαθηματικά σωστό και λογικά αιτιολογημένο. Αποφύγετε βιαστικές πράξεις και λάθη.
   • Αναφέρετε τις ιδιότητες ή τους κανόνες που χρησιμοποιείτε σε κάθε βήμα (π.χ., ιδιότητα απόλυτης τιμής, τύποι Vieta, κ.λπ.).
   • Χρησιμοποιήστε σωστή μαθηματική γλώσσα και συμβολισμό.

4. Πλήρης Αιτιολόγηση:

   • Για κάθε απάντηση, αιτιολογήστε πλήρως τη διαδικασία και τα συμπεράσματά σας. Μην αφήνετε τίποτα στην τύχη ή στην "διαίσθηση".
   • Στο ερώτημα (α)(ii), η αιτιολόγηση της σειράς κατάταξης είναι εξίσου σημαντική με την εύρεση της σειράς. Χρησιμοποιήστε τις ανισότητες που αποδείξατε για να στηρίξετε την απάντησή σας.

5. Έλεγχος και Επαλήθευση:

   • Ελέγξτε τις απαντήσεις σας σε κάθε υποερώτημα. Βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις σας είναι λογικές και συμβαδίζουν με τα δεδομένα του προβλήματος.
   • Επαληθεύστε αν οι χρόνοι που βρήκατε στο (β)(ii) ικανοποιούν όλες τις αρχικές σχέσεις και εξισώσεις που δίνονται στην εκφώνηση.

6. Αντιμετώπιση Ασυμβατοτήτων (Όπως στην Άσκηση):

   • Στην συγκεκριμένη άσκηση, όπως αναλύσαμε, υπάρχει μια πιθανή ασυνέπεια μεταξύ της αρχικής συνθήκης (t_A < t_B < t_Γ) και των άλλων σχέσεων.
   • Για να πάρει άριστα, ο μαθητής πρέπει να αναγνωρίσει αυτή την ασυνέπεια και να το αναφέρει στην απάντησή του.
   • Μια "άριστη" απάντηση θα ήταν να λύσει το πρόβλημα με βάση τις σχέσεις που δίνονται (ακόμη και αν αυτές οδηγούν σε αποτέλεσμα που δεν συμβαδίζει απόλυτα με την αρχική συνθήκη), και ταυτόχρονα να επισημάνει την πιθανή ασυνέπεια στην εκφώνηση. Αυτό δείχνει βαθιά κατανόηση και κριτική σκέψη.

Ειδικές Συμβουλές για την Συγκεκριμένη Άσκηση:

• Μέρος (α)(i): Απόλυτη Τιμή:

  • Θυμηθείτε τον ορισμό της απόλυτης τιμής: (|x| = x) αν (x \ge 0) και (|x| = -x) αν (x < 0).
  • Εξετάστε τις δύο περιπτώσεις που προκύπτουν από την εξίσωση (|t_A - t_Δ| = |t_B - t_Δ|) και χρησιμοποιήστε την ανισότητα (t_A < t_B) για να απορρίψετε την αδύνατη περίπτωση ((t_A = t_B)).
  • Κάντε αλγεβρικές πράξεις βήμα-βήμα για να φτάσετε στο ζητούμενο αποτέλεσμα (t_Δ = \frac{t_A + t_B}{2}).

• Μέρος (α)(ii): Σειρά Κατάταξης:

  • Χρησιμοποιήστε την σχέση (t_Δ = \frac{t_A + t_B}{2}) για να συγκρίνετε το (t_Δ) με τα (t_A) και (t_B) και να καταλήξετε στην ανισότητα (t_A < t_Δ < t_B).
  • Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την σχέση (t_Γ = \frac{t_A + 2t_B}{3}) για να συγκρίνετε το (t_Γ) με τα (t_A), (t_B) και (t_Δ). Η σύγκριση του (t_Γ) με το (t_Δ) είναι κρίσιμη και απαιτεί προσεκτικές πράξεις ανισοτήτων (όπως αναλύσαμε στην προηγούμενη απάντηση).
  • Συνδυάστε όλες τις ανισότητες που βρήκατε για να προσδιορίσετε την πλήρη σειρά κατάταξης (t_A < t_Δ < t_Γ < t_B).
  • Γράψτε καθαρά τη σειρά κατάταξης των αθλητών με βάση τους χρόνους τους, συνδέοντας τους χρόνους (t_A, t_Δ, t_Γ, t_B) με τους αθλητές Αργύρη, Δημήτρη, Γιώργο, Βασίλη αντίστοιχα.
  • Αιτιολογήστε κάθε βήμα της διαδικασίας εύρεσης της σειράς κατάταξης.

• Μέρος (β)(i): Δευτεροβάθμια Εξίσωση:

  • Θυμηθείτε τους τύπους Vieta για τη σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης: Για ρίζες (ρ_1, ρ_2), η εξίσωση είναι (x^2 - (ρ_1 + ρ_2)x + ρ_1 \cdot ρ_2 = 0).
  • Αντικαταστήστε (ρ_1 = t_A) και (ρ_2 = t_B) και χρησιμοποιήστε τις δοσμένες τιμές (t_A + t_B = 6) και (t_A \cdot t_B = 8) για να γράψετε την εξίσωση.

• Μέρος (β)(ii): Υπολογισμός Χρόνων:

  • Λύστε την δευτεροβάθμια εξίσωση που βρήκατε στο (β)(i). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παραγοντοποίηση ή τον τύπο της διακρίνουσας.
  • Προσδιορίστε τις τιμές των (t_A) και (t_B) από τις ρίζες της εξίσωσης, λαμβάνοντας υπόψη την αρχική συνθήκη (t_A < t_B).
  • Υπολογίστε τις τιμές των (t_Δ) και (t_Γ) χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (t_Δ = \frac{t_A + t_B}{2}) και (t_Γ = \frac{t_A + 2t_B}{3}).
  • Επαληθεύστε ότι οι χρόνοι που βρήκατε ικανοποιούν όλες τις αρχικές σχέσεις και εξισώσεις που δίνονται στο πρόβλημα, και επισημάνετε την ασυνέπεια με την αρχική συνθήκη (t_A < t_B < t_Γ) αν υπάρχει.

Συνοψίζοντας, για να πάρει άριστα σε αυτήν την άσκηση, ο μαθητής πρέπει:

• Να δείξει άριστη μαθηματική κατανόηση και χειρισμό πράξεων.
• Να παρουσιάσει πλήρως αιτιολογημένες και λογικές απαντήσεις σε κάθε μέρος του προβλήματος.
• Να εντοπίσει και να σχολιάσει τυχόν ασυνέπειες στην εκφώνηση, επιδεικνύοντας κριτική σκέψη και βαθύτερη κατανόηση του προβλήματος.

Με την προσεκτική μελέτη των παραπάνω σημείων και την εξάσκηση σε παρόμοια προβλήματα, ο μαθητής μπορεί να αυξήσει σημαντικά τις πιθανότητές του να επιτύχει άριστα σε τέτοιες ασκήσεις.

Λυμένο προτεινόμενο θέμα στην άλγεβρα και στο τριώνυμο α λυκείου

ΕΚΦΏΝΗΣΗ 

Δίνεται η εξίσωση 2x² + 2x + 3 - λ = 0, λ ∈ R (1)

α) Αν λ = 7 να λύσετε την εξίσωση

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε:

γ1) Να βρείτε το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ

γ2) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι σταθερό

γ3) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές

ΛΎΣΗ

α) Αν λ = 7 να λύσετε την εξίσωση

Για λ = 7, η εξίσωση (1) γίνεται:

2x² + 2x + 3 - 7 = 0 2x² + 2x - 4 = 0

Για να λύσουμε αυτή την δευτεροβάθμια εξίσωση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τις ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Στην εξίσωσή μας, α = 2, β = 2, και γ = -4.

Πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα (Δ = b² - 4ac):

Δ = 2² - 4 * 2 * (-4) Δ = 4 + 32 Δ = 36

Επειδή Δ > 0, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Τώρα υπολογίζουμε τις ρίζες x₁, x₂:

x₁,₂ = [-2 ± √36] / (2 * 2) x₁,₂ = [-2 ± 6] / 4

Έτσι έχουμε δύο ρίζες:

x₁ = (-2 + 6) / 4 = 4 / 4 = 1 x₂ = (-2 - 6) / 4 = -8 / 4 = -2

Άρα, για λ = 7, οι ρίζες της εξίσωσης είναι x = 1 και x = -2.

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες

Για να έχει η εξίσωση (1) δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, η διακρίνουσά της πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (Δ > 0).

Στην εξίσωση 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2, β = 2, και γ = 3 - λ.

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα Δ:

Δ = β² - 4αγ Δ = 2² - 4 * 2 * (3 - λ) Δ = 4 - 8 * (3 - λ) Δ = 4 - 24 + 8λ Δ = 8λ - 20

Για να έχει η εξίσωση δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, πρέπει Δ > 0:

8λ - 20 > 0 8λ > 20 λ > 20 / 8 λ > 5 / 2

Άρα, η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για λ > 5/2.

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες, τότε:

Για να έχει η εξίσωση (1) πραγματικές ρίζες, η διακρίνουσα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός (Δ ≥ 0). Από το προηγούμενο ερώτημα, ξέρουμε ότι Δ = 8λ - 20.

Έτσι, για πραγματικές ρίζες, πρέπει:

8λ - 20 ≥ 0 8λ ≥ 20 λ ≥ 5 / 2

γι) Να βρείτε το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ

Για μια δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής αx² + βx + γ = 0, το γινόμενο των ριζών (P) δίνεται από τον τύπο:

P = γ / α

Στην εξίσωσή μας 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2 και γ = 3 - λ.

Επομένως, το γινόμενο των ριζών, ως συνάρτηση του λ, είναι:

P(λ) = (3 - λ) / 2

Άρα, το γινόμενο των ριζών είναι P(λ) = (3 - λ) / 2.

γ2) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της είναι σταθερό

Για μια δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής αx² + βx + γ = 0, το άθροισμα των ριζών (S) δίνεται από τον τύπο:

S = -β / α

Στην εξίσωσή μας 2x² + 2x + 3 - λ = 0, έχουμε α = 2 και β = 2.

Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι:

S = -2 / 2 S = -1

Το άθροισμα των ριζών είναι S = -1, το οποίο είναι μια σταθερή τιμή και δεν εξαρτάται από το λ. Έτσι, αποδείξαμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι σταθερό.

γ3) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ R η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές

Για να έχει η εξίσωση (1) δύο αρνητικές ρίζες, πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι εξής συνθήκες:

1. Δ ≥ 0: Για να είναι οι ρίζες πραγματικές. Ήδη βρήκαμε ότι αυτό ισχύει για λ ≥ 5/2.

2. S < 0: Για να είναι το άθροισμα των ριζών αρνητικό (απαραίτητη συνθήκη για να είναι και οι δύο αρνητικές ή μη θετικές). Ήδη βρήκαμε ότι S = -1, το οποίο είναι πάντα αρνητικό. Άρα, αυτή η συνθήκη ισχύει πάντα.

3. P > 0: Για να είναι το γινόμενο των ριζών θετικό (απαραίτητη συνθήκη για να έχουν οι ρίζες το ίδιο πρόσημο, και εφόσον το άθροισμα είναι αρνητικό, πρέπει να είναι και οι δύο αρνητικές).

Πρέπει λοιπόν P(λ) = (3 - λ) / 2 > 0

(3 - λ) / 2 > 0 3 - λ > 0 (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2, το οποίο είναι θετικό και δεν αλλάζει την φορά της ανισότητας) 3 > λ λ < 3

Πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι συνθήκες λ ≥ 5/2 και λ < 3.

Σε μορφή διαστήματος, λ ≥ 5/2 είναι [5/2, +∞) και λ < 3 είναι (-∞, 3).

Η τομή αυτών των δύο διαστημάτων είναι:

[5/2, 3)

Άρα, η εξίσωση (1) έχει δύο αρνητικές ρίζες για λ ∈ [5/2, 3).

Συνοπτικά οι απαντήσεις:

• α) Για λ = 7, οι ρίζες είναι x = 1 και x = -2.
• β) Η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για λ > 5/2.
• γ1) Το γινόμενο των ριζών είναι P(λ) = (3 - λ) / 2.
• γ2) Το άθροισμα των ριζών είναι S = -1, το οποίο είναι σταθερό.
• γ3) Η εξίσωση (1) έχει δύο αρνητικές ρίζες για λ ∈ [5/2, 3).

Ασκήσεις άλγεβρας α λυκείου για μαθητές με απαιτήσεις

 

https://newteambigbrains.blogspot.com/2025/01/212.html

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής στις απόλυτες τιμές με με τις απαντήσεις σους άλγεβρα α λυκείου

 Το αρχείο βρίσκεται εδώ

Ασκήσεις στις απόλυτες τιμές για γερά μολύβια άλγεβρα α λυκείου

 

 Δύσκολες Ασκήσεις στις Ανισότητες και στις Απόλυτες Τιμές

Άσκηση 1: Σύνθετες Ανισότητες με Απόλυτη Τιμή

Λύστε την ανισότητα:

$$|3x - 5| + |x + 2| \leq 10$$ 

Δώστε την τελική λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ και σχεδιάστε το διάστημα πάνω σε αριθμογραμμή.

---

Άσκηση 2: Ιδιότητες Απόλυτης Τιμής με Συνθήκες

Λύστε την ανισότητα:

$$\frac{|x - 2|}{x + 3} > 1$$ 

Συζητήστε για τις περιπτώσεις που προκύπτουν λόγω του παρονομαστή και της απόλυτης τιμής.

---

Άσκηση 3: Σύστημα Ανισοτήτων με Απόλυτες Τιμές

Λύστε το σύστημα:

$$\begin{cases} |x - 1| + |x + 4| > 6 \\ |2x + 3| \leq 5 \end{cases}$$

Βρείτε την τομή των λύσεων.

---

Άσκηση 4: Πολυωνυμική Ανισότητα με Απόλυτες Τιμές

Λύστε την εξίσωση και εξετάστε την ύπαρξη ριζών:

$$|x^2 - 3x + 2| < |x - 1|$$ 

Προσδιορίστε τις ρίζες των παραστάσεων και εξετάστε ξεχωριστά τα διαστήματα.

---

Άσκηση 5: Συνδυαστική Ανισότητα με Απόλυτη Τιμή

Λύστε την ανισότητα:

$$|x + 1| + |x - 2| + |2x - 3| \geq 7$$ 

Βρείτε όλα τα διαστήματα που ικανοποιούν την ανισότητα, λαμβάνοντας υπόψη τις θέσεις των σημείων αλλαγής πρόσημου.

Λυμένες ασκήσεις στις απόλυτες τιμές άλγεβρας α λυκείου

Άσκηση α)

|2β - α| + |2γ - α - β| - |α - 4γ| + |α + β|

Παρατηρούμε:

• Όλοι οι όροι μέσα στις απόλυτες τιμές είναι θετικοί, καθώς α, β και γ είναι θετικοί και γ > β > α.
• Άρα, μπορούμε να αφαιρέσουμε τις απόλυτες τιμές χωρίς να αλλάξουμε το πρόσημο.

Άρα, έχουμε: = 2β - α + 2γ - α - β - α + 4γ + α + β = 6γ - 2α

Άσκηση β)

| |β - (α+β)/3| + |α - (β+γ)/2| - |(β-3γ-2α)/6| |

Απλοποιούμε τις εκφράσεις μέσα στις απόλυτες τιμές: = |(2β-α)/3| + |(2α-β-γ)/2| - |(β-3γ-2α)/6|

Παρατηρούμε:

• Ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος είναι θετικός (2β > α).
• Ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι αρνητικός (2α < β + γ).
• Ο αριθμητής του τρίτου κλάσματος είναι αρνητικός (β < 3γ + 2α).

Άρα, έχουμε: = (2β-α)/3 + |-(2α-β-γ)/2| - |-(β-3γ-2α)/6| = (2β-α)/3 + (2α-β-γ)/2 - (β-3γ-2α)/6

Βρίσκουμε κοινό παρονομαστή: = (4β-2α)/6 + (6α-3β-3γ)/6 - (β-3γ-2α)/6

Συνδυάζουμε τα κλάσματα: = (4β-2α+6α-3β-3γ-β+3γ+2α)/6 = 2β/6 = β/3

Συνοπτικά:

• α) 6γ - 2α
• β) β/3

  New Big brain‘s team

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Μπορείτε να μας παρακολουθείτε και στο  FACEBOOK  και INSTAGRAM

Δείτε το αρχείο με επιλεγμένα άρθρα  εδώ

Μπορείς αν θέλεις να μοιραστείς αυτό το άρθρο με φίλους ή φίλες σου  !!!

Επικοινωνία : bigbrain2220@gmail.com

Πώς παριστάνονται στην ευθεία δυο διαδοχικοί αριθμοί;

 Η απεικόνιση διαδοχικών αριθμών στην ευθεία είναι ένας βασικός τρόπος για να κατανοήσουμε τις αριθμητικές σχέσεις και τις έννοιες όπως η τάξη, η απόσταση και η μέση τιμή.

Τι είναι διαδοχικοί αριθμοί;

• Δύο αριθμοί είναι διαδοχικοί όταν η διαφορά τους είναι 1.
• Για παράδειγμα, 3 και 4, -5 και -4, 0 και 1 είναι ζεύγη διαδοχικών αριθμών.

Πώς τους απεικονίζουμε στην ευθεία;

1. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή: Αυτή η γραμμή θα αντιπροσωπεύει όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
2. Επιλέγουμε ένα σημείο: Αυτό το σημείο θα αντιπροσωπεύει τον πρώτο από τους δύο διαδοχικούς αριθμούς.
3. Μετράμε μια μονάδα προς τα δεξιά: Από το σημείο που επιλέξαμε, μετράμε μια μονάδα προς τα δεξιά (αν οι αριθμοί είναι θετικοί) ή προς τα αριστερά (αν οι αριθμοί είναι αρνητικοί). Το νέο σημείο που θα βρούμε θα αντιπροσωπεύει τον δεύτερο διαδοχικό αριθμό.

Παράδειγμα: Ας απεικονίσουμε τους αριθμούς 2 και 3 στην ευθεία.

1. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή.
2. Επιλέγουμε ένα σημείο και το σημειώνουμε με το 2.
3. Μετράμε μια μονάδα προς τα δεξιά και σημειώνουμε το σημείο με το 3.
4. Αν θέλουμε να  απεικονίσουμε πάνω στην ευθεία των αριθμών δυο τυχαίους διαδοχικούς αριθμούς τότε υποθέτουμε και συμβολίζουμε με κάποια μεταβλητή έστω -ν-  τον πρώτο αριθμό και στη συνέχεια  με   ν+1 τον επόμενό του όπως παρουσιάζεται παρακάτω :

5. Σημαντικά σημεία:

   • Κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν και μόνο έναν πραγματικό αριθμό.
   • Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών στην ευθεία είναι πάντα η ίδια.
   • Η κατεύθυνση της ευθείας μας δείχνει την αύξηση ή τη μείωση των αριθμών.

   Γιατί είναι σημαντική αυτή η απεικόνιση;

   • Οπτικοποιεί τις αριθμητικές σχέσεις: Μας βοηθά να κατανοήσουμε πώς είναι τοποθετημένοι οι αριθμοί μεταξύ τους.
   • Εύκολη σύγκριση αριθμών: Μπορούμε να δούμε ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος με μια απλή ματιά στην ευθεία.
   • Βασική έννοια για πιο σύνθετα μαθηματικά: Είναι το θεμέλιο για την κατανόηση εννοιών όπως η ανισότητα, οι ακτίνες και τα διαστήματα.Δείτε εδώ λυμένη άσκηση 
   
   
   
   

 New Big brain‘s team

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Μπορείτε να μας παρακολουθείτε και στο  FACEBOOK  και INSTAGRAM

Μπορείς αν θέλεις να μοιραστείς αυτό το άρθρο με φίλους ή φίλες σου  !!!

Επικοινωνία : bigbrain2220@gmail.com

Φύλλο εργασίας στην άλγεβρα α λυκείου και στο κεφάλαιο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚ΄Η και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΉ ΠΡΌΟΔΟΣ

  ΠΑΤΉΣΤΕ ΕΔΏ

Αναμονή για τις απαντήσεις σε λίγες μέρες.

Συναρτήσεις Πολυωνύμων μαθηματικά

Να βρείτε όλες τις πολυωνυμικές συναρτήσεις που είναι της μορφής ax + b που ικανοποιούν f ( 2 ) = 0 και f ( f (3))=0.

Επαναληπτικά θέματα στην άλγεβρα α λυκείου 2022-23

 

Για να δείτε ή να κατεβάσετε το αρχείο πατήστε εδώ

Να λυθεί η εξίσωση : άλγεβρα α λυκείου

 

Λύση

Επαναληπτικές ασκήσεις άλγεβρας Α λυκείου στο τριώνυμο (συνδυαστικές )

 ΕΚΦΩΝΉΣΕΙΣ

Προτεινόμενη λυμένη άσκηση από την ΤΘ άλγεβρας α λυκείουι

  ΕΚΦΏΝΗΣΗ

ΛΎΣΗ

Συνδυαστικά θέματα άλγεβρας Α λυκείου για διαγωνίσματα.

 

New Big brain‘s team

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες

 

 

 

  

 

Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebook 

Μάθε πως να βρίσκεις το πρόσημο ενός τριωνύμου (πότε (πότε δίνει τιμές θετικές και πότε αρνητικές ) άλγεβρα α λυκείου

 

Για συνέχεια πάτησε πάνω στην εικόνα

Απόσταση από σημείο σε επίπεδο. Λεπτομερής θεωρία με παραδείγματα

 

Το αρχείο βρίσκετε εδώ

 

Ασκήσεις επανάληψης στις εξισώσεις α λυκείου για προχωρημένους

 

Πως βγάζω το απόλυτο από έναν αριθμό με γεωμετρική παρουσίαση άλγεβρα α λυκείου

 

  New Big brain‘s team

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Μπορείτε να μας παρακολουθείτε και στο  FACEBOOK  και INSTAGRAM

Δείτε το αρχείο με επιλεγμένα άρθρα  εδώ

Μπορείς αν θέλεις να μοιραστείς αυτό το άρθρο με φίλους ή φίλες σου  !!!

Επικοινωνία : bigbrain2220@gmail.com