Λύση στις εξισώσεις σε προτεινόμενο θέμα από την Τράπεζα θεμάτων άλγεβρας α λυκείου

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

ΛΎΣΗ

Σχόλια 

Για να λύσει σωστά μια τέτοια άσκηση και να στοχεύει στο άριστα, ένας μαθητής της Α' Λυκείου πρέπει να προσέξει τα εξής σημεία:

Γενικές Προσεγγίσεις για το "Άριστα" σε Τέτοιες Ασκήσεις:

1. Πλήρης Κατανόηση της Εκφώνησης:

   • Διαβάστε προσεκτικά την εκφώνηση πολλές φορές. Βεβαιωθείτε ότι έχετε κατανοήσει κάθε λέξη, κάθε δεδομένο και κάθε ζητούμενο.
   • Ξεχωρίστε τις πληροφορίες που δίνονται (π.χ., σχέσεις μεταξύ των χρόνων) από τα ζητούμενα (π.χ., να αποδείξετε κάτι, να βρείτε κάτι).
   • Εντοπίστε τυχόν περιορισμούς ή αρχικές συνθήκες (π.χ., (t_A < t_B < t_Γ)). Σε αυτή την άσκηση, είναι κρίσιμο να προσέξει κανείς την αρχική συνθήκη (t_A < t_B < t_Γ) και να δει αν συμβαδίζει με τα υπόλοιπα δεδομένα.

2. Στρατηγική Επίλυσης και Βήματα:

   • Χωρίστε το πρόβλημα σε μικρότερα μέρη, όπως τα υποερωτήματα (α)(i), (α)(ii), (β)(i), (β)(ii). Εστιάστε στην επίλυση κάθε μέρους ξεχωριστά.
   • Σχεδιάστε μια λογική σειρά βημάτων για κάθε υποερώτημα. Πριν αρχίσετε τις πράξεις, σκεφτείτε ποια μαθηματικά εργαλεία (εξισώσεις, ανισώσεις, ιδιότητες απόλυτης τιμής, τύπους Vieta, κ.λπ.) θα χρησιμοποιήσετε.

3. Μαθηματική Ακρίβεια και Λογική:

   • Κάθε βήμα πρέπει να είναι μαθηματικά σωστό και λογικά αιτιολογημένο. Αποφύγετε βιαστικές πράξεις και λάθη.
   • Αναφέρετε τις ιδιότητες ή τους κανόνες που χρησιμοποιείτε σε κάθε βήμα (π.χ., ιδιότητα απόλυτης τιμής, τύποι Vieta, κ.λπ.).
   • Χρησιμοποιήστε σωστή μαθηματική γλώσσα και συμβολισμό.

4. Πλήρης Αιτιολόγηση:

   • Για κάθε απάντηση, αιτιολογήστε πλήρως τη διαδικασία και τα συμπεράσματά σας. Μην αφήνετε τίποτα στην τύχη ή στην "διαίσθηση".
   • Στο ερώτημα (α)(ii), η αιτιολόγηση της σειράς κατάταξης είναι εξίσου σημαντική με την εύρεση της σειράς. Χρησιμοποιήστε τις ανισότητες που αποδείξατε για να στηρίξετε την απάντησή σας.

5. Έλεγχος και Επαλήθευση:

   • Ελέγξτε τις απαντήσεις σας σε κάθε υποερώτημα. Βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις σας είναι λογικές και συμβαδίζουν με τα δεδομένα του προβλήματος.
   • Επαληθεύστε αν οι χρόνοι που βρήκατε στο (β)(ii) ικανοποιούν όλες τις αρχικές σχέσεις και εξισώσεις που δίνονται στην εκφώνηση.

6. Αντιμετώπιση Ασυμβατοτήτων (Όπως στην Άσκηση):

   • Στην συγκεκριμένη άσκηση, όπως αναλύσαμε, υπάρχει μια πιθανή ασυνέπεια μεταξύ της αρχικής συνθήκης (t_A < t_B < t_Γ) και των άλλων σχέσεων.
   • Για να πάρει άριστα, ο μαθητής πρέπει να αναγνωρίσει αυτή την ασυνέπεια και να το αναφέρει στην απάντησή του.
   • Μια "άριστη" απάντηση θα ήταν να λύσει το πρόβλημα με βάση τις σχέσεις που δίνονται (ακόμη και αν αυτές οδηγούν σε αποτέλεσμα που δεν συμβαδίζει απόλυτα με την αρχική συνθήκη), και ταυτόχρονα να επισημάνει την πιθανή ασυνέπεια στην εκφώνηση. Αυτό δείχνει βαθιά κατανόηση και κριτική σκέψη.

Ειδικές Συμβουλές για την Συγκεκριμένη Άσκηση:

• Μέρος (α)(i): Απόλυτη Τιμή:

  • Θυμηθείτε τον ορισμό της απόλυτης τιμής: (|x| = x) αν (x \ge 0) και (|x| = -x) αν (x < 0).
  • Εξετάστε τις δύο περιπτώσεις που προκύπτουν από την εξίσωση (|t_A - t_Δ| = |t_B - t_Δ|) και χρησιμοποιήστε την ανισότητα (t_A < t_B) για να απορρίψετε την αδύνατη περίπτωση ((t_A = t_B)).
  • Κάντε αλγεβρικές πράξεις βήμα-βήμα για να φτάσετε στο ζητούμενο αποτέλεσμα (t_Δ = \frac{t_A + t_B}{2}).

• Μέρος (α)(ii): Σειρά Κατάταξης:

  • Χρησιμοποιήστε την σχέση (t_Δ = \frac{t_A + t_B}{2}) για να συγκρίνετε το (t_Δ) με τα (t_A) και (t_B) και να καταλήξετε στην ανισότητα (t_A < t_Δ < t_B).
  • Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την σχέση (t_Γ = \frac{t_A + 2t_B}{3}) για να συγκρίνετε το (t_Γ) με τα (t_A), (t_B) και (t_Δ). Η σύγκριση του (t_Γ) με το (t_Δ) είναι κρίσιμη και απαιτεί προσεκτικές πράξεις ανισοτήτων (όπως αναλύσαμε στην προηγούμενη απάντηση).
  • Συνδυάστε όλες τις ανισότητες που βρήκατε για να προσδιορίσετε την πλήρη σειρά κατάταξης (t_A < t_Δ < t_Γ < t_B).
  • Γράψτε καθαρά τη σειρά κατάταξης των αθλητών με βάση τους χρόνους τους, συνδέοντας τους χρόνους (t_A, t_Δ, t_Γ, t_B) με τους αθλητές Αργύρη, Δημήτρη, Γιώργο, Βασίλη αντίστοιχα.
  • Αιτιολογήστε κάθε βήμα της διαδικασίας εύρεσης της σειράς κατάταξης.

• Μέρος (β)(i): Δευτεροβάθμια Εξίσωση:

  • Θυμηθείτε τους τύπους Vieta για τη σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης: Για ρίζες (ρ_1, ρ_2), η εξίσωση είναι (x^2 - (ρ_1 + ρ_2)x + ρ_1 \cdot ρ_2 = 0).
  • Αντικαταστήστε (ρ_1 = t_A) και (ρ_2 = t_B) και χρησιμοποιήστε τις δοσμένες τιμές (t_A + t_B = 6) και (t_A \cdot t_B = 8) για να γράψετε την εξίσωση.

• Μέρος (β)(ii): Υπολογισμός Χρόνων:

  • Λύστε την δευτεροβάθμια εξίσωση που βρήκατε στο (β)(i). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παραγοντοποίηση ή τον τύπο της διακρίνουσας.
  • Προσδιορίστε τις τιμές των (t_A) και (t_B) από τις ρίζες της εξίσωσης, λαμβάνοντας υπόψη την αρχική συνθήκη (t_A < t_B).
  • Υπολογίστε τις τιμές των (t_Δ) και (t_Γ) χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (t_Δ = \frac{t_A + t_B}{2}) και (t_Γ = \frac{t_A + 2t_B}{3}).
  • Επαληθεύστε ότι οι χρόνοι που βρήκατε ικανοποιούν όλες τις αρχικές σχέσεις και εξισώσεις που δίνονται στο πρόβλημα, και επισημάνετε την ασυνέπεια με την αρχική συνθήκη (t_A < t_B < t_Γ) αν υπάρχει.

Συνοψίζοντας, για να πάρει άριστα σε αυτήν την άσκηση, ο μαθητής πρέπει:

• Να δείξει άριστη μαθηματική κατανόηση και χειρισμό πράξεων.
• Να παρουσιάσει πλήρως αιτιολογημένες και λογικές απαντήσεις σε κάθε μέρος του προβλήματος.
• Να εντοπίσει και να σχολιάσει τυχόν ασυνέπειες στην εκφώνηση, επιδεικνύοντας κριτική σκέψη και βαθύτερη κατανόηση του προβλήματος.

Με την προσεκτική μελέτη των παραπάνω σημείων και την εξάσκηση σε παρόμοια προβλήματα, ο μαθητής μπορεί να αυξήσει σημαντικά τις πιθανότητές του να επιτύχει άριστα σε τέτοιες ασκήσεις.