Προτεινόμενο θέμα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού Πανελλαδικές 2025

Θέμα Γ (Αυξημένης δυσκολίας)

Έστω οι συναρτήσεις $f, g : [\alpha, \beta] \to \mathbb{R}$, όπου:

• Η $f$ είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο $[α, β]$, με:

  $$f(\alpha) = f(\beta) = 0, \quad f'(\alpha) = f'(\beta) = 1, \quad f''(x) \ne 0 \text{ για κάθε } x \in [\alpha, \beta]$$

• Η $g$ είναι συνεχής στο $[0,4]$, παραγωγίσιμη στο $(0,4)$, και ισχύει:

  $$g(0) = g(4) = 2, \quad g(2) = 5$$

Να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε:

$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\xi )f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\xi )<0$$

β)
i) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0 \in (0,4)$ τέτοιο ώστε:

$$\frac{g(x_0) - 2}{x_0(4 - x_0)} = g'(x_0)$$

ii) Αν επιπλέον η συνάρτηση $g$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,4)$ και ισχύει:

$$g''(x) > 0 \text{ για κάθε } x \in (0,4),$$

να δείξετε ότι υπάρχουν $x_1, x_2 \in (0,4)$ τέτοια ώστε:

$$g^{\mathrm{\prime }}(x_1)\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x_2)=\frac{g(2)}{x_1+x_2-4}$$

Για  απαντήσεις μπορείτε να μας στείλετε το μήνυμά σας  .

Ακολουθήστε  μας  στο   FACEBOOK   και στο   INSTAGRAM    για περισσότερες αναρτήσεις