Ερωτήσεις και ασκήσεις στην ισότητα τριγώνων μαθηματικά γ γυμνασίου

Ισότητα Τριγώνων

Πλήρες Φύλλο Εργασίας: Θεωρία & Ασκήσεις Εμπέδωσης

Μέρος Α: 10 Ερωτήσεις Θεωρίας

1. Να διατυπώσετε το κριτήριο ισότητας τριγώνων ΠΓΠ (SAS).
2. Ποιο είναι το κριτήριο ισότητας τριγώνων ΠΠΠ (SSS);
3. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα κατά ΓΠΓ (ASA);
4. Σε δύο ίσα τρίγωνα, τι ισχύει για τις αντίστοιχες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες;
5. Ποια η βασική διαφορά μεταξύ ισότητας και ομοιότητας τριγώνων;
6. Ποιο ειδικό κριτήριο ισότητας ισχύει αποκλειστικά στα ορθογώνια τρίγωνα;
7. Αν δύο τρίγωνα έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, είναι απαραίτητα ίσα; Αιτιολογήστε.
8. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία ίση, είναι ίσα;
9. Πώς χρησιμοποιούμε την ισότητα τριγώνων για να αποδείξουμε ότι ένα σημείο είναι το μέσο ενός τμήματος;
10. Ποια είναι τα "κύρια στοιχεία" ενός τριγώνου και πόσα από αυτά αρκούν (υπό προϋποθέσεις) για την ισότητα;

Μέρος Β: 12 Ασκήσεις με Σχήματα

Άσκηση 1 ΠΓΠ

Δίνονται δύο τρίγωνα ABC και A'B'C' με AB=A'B'=7, BC=B'C'=9 και ∠B=∠B'=50°. Αποδείξτε την ισότητά τους.

Άσκηση 2 ΠΠΠ

Στο τρίγωνο DEF δίνονται DE = 5, EF = 7, DF = 8. Αν ένα άλλο τρίγωνο έχει τις ίδιες πλευρές, είναι ίσα;

Άσκηση 3 ΓΠΓ

Στο τρίγωνο ABC έχουμε BC=10, ∠B=45° και ∠C=45°. Τι είδους τρίγωνο είναι ως προς τις πλευρές του;

Άσκηση 4 Πυθαγόρειο

Σε ορθογώνιο τρίγωνο (∠A=90°) με AB=6 και AC=8, υπολογίστε την υποτείνουσα BC.

Άσκηση 5 Ύψος

Σε ισοσκελές τρίγωνο (AB=AC), το ύψος AD είναι και διάμεσος. Αποδείξτε ότι ABD = ACD.

Άσκηση 6 Μεσοκάθετος

Κάθε σημείο P της μεσοκαθέτου ενός τμήματος AB ισαπέχει από τα άκρα A και B. Αποδείξτε το.

Άσκηση 7 Διχοτόμος

Η διχοτόμος της γωνίας κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος. Αποδείξτε το.

[Image of angle bisector in isosceles triangle]

Άσκηση 8 Παραλληλόγραμμο

Σε ένα παραλληλόγραμμο ABCD, η διαγώνιος AC χωρίζει το σχήμα σε δύο ίσα τρίγωνα.

Άσκηση 9 Ορθογώνια

Δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίσες τις μία κάθετες πλευρές και τις υποτείνουσες. Είναι ίσα;

Άσκηση 10 Κύκλος

Σε κύκλο (O,ρ), δύο χορδές AB και CD είναι ίσες. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα OAB και OCD είναι ίσα.

Άσκηση 11 Συμμετρία

Αν προεκτείνουμε τη διάμεσο AM τριγώνου ABC κατά ίσο τμήμα MD=AM, αποδείξτε ότι AB=CD.

[Image showing triangle ABC and the extended median to point D]

Άσκηση 12 Σύνθετη

Σε δύο ίσα τρίγωνα ABC και A'B'C', αποδείξτε ότι οι αντίστοιχες διάμεσοι AM και A'M' είναι ίσες.

© 2026 New Team Big Brains - Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθηματικών

Προτεινόμενη άσκηση στον ολοκληρωτικό λογισμό και για μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Άσκηση 1 – Συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμά της

Γ’ Λυκείου • Συναρτήσεις • Διαφορικός & Ολοκληρωτικός Λογισμός

BIG BRAIN
ΑΚΑΔΗΜΙΑ

Δίνεται συνεχής συνάρτηση \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) με

\( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \)

και \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)}. \)

Να αποδείξετε ότι:

1. Η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.
2. Η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.
3. Υπάρχει μοναδικό \( x_0>0 \) τέτοιο ώστε \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1. \)

Λύση

1. Απόδειξη ότι η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.

Έχουμε \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \Rightarrow F'(x)=f(x) \) (Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού).

Από τη σχέση \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \) προκύπτει ότι για κάθε \( x\in\mathbb{R} \):
\( f(x)\ge e^{F(x)}>0 \) (αφού \( e^{F(x)}>0 \) για κάθε πραγματικό \( F(x) \)).

Άρα \( f(x)>0 \Rightarrow F'(x)>0 \), οπότε η \( F \) είναι γνησίως αύξουσα.

Παραγωγίζουμε τη σχέση \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \):
\( f'(x)=F(x)+xF'(x)+e^{F(x)}F'(x)=F(x)+(x+e^{F(x)})f(x). \)

Για κάθε \( x \), έχουμε \( f(x)>0 \) και, επειδή η \( F \) είναι γνησίως αύξουσα με \( F(0)=0 \), ισχύει \( F(x)\ge 0 \) για \( x\ge 0 \) και \( F(x)\le 0 \) για \( x\le 0 \).

Το άθροισμα \( F(x)+(x+e^{F(x)})f(x) \) είναι θετικό, διότι ο όρος \( (x+e^{F(x)})f(x) \) είναι κυρίαρχος και θετικός (με \( f(x)>0 \) και \( e^{F(x)}>0 \)), ενώ ο \( F(x) \) δεν αρκεί για να αλλάξει το πρόσημο.

Συνεπώς \( f'(x)>0 \) για κάθε \( x\in\mathbb{R} \) και άρα η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.

2. Η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.

Αφού η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα, είναι 1–1 (μονότονη χωρίς «επιστροφές»).

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο ρίζες \( x_1<x_2 \) με \( f(x_1)=f(x_2)=0 \), τότε, λόγω γνησίως αύξουσας συμπεριφοράς, θα έπρεπε
\( f(x_1)<f(x_2) \), άτοπο.

Άρα η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.

3. Ύπαρξη και μοναδικότητα \( x_0>0 \) με \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1 \).

Ορίζουμε \( G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \). Τότε \( G'(x)=f(x)>0 \) για κάθε \( x \), άρα η \( G \) είναι γνησίως αύξουσα.

Επιπλέον, \( G(0)=0 \). Επειδή \( f(x)>0 \) για \( x>0 \), έχουμε \( G(x)>0 \) για κάθε \( x>0 \) και \( \lim_{x\to +\infty}G(x)=+\infty \) (η θετική συνάρτηση ολοκληρώνεται σε άπειρο διάστημα).

Άρα η συνεχής και γνησίως αύξουσα \( G \) παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος \( (0,+\infty) \) ακριβώς μία φορά.

Επομένως, υπάρχει μοναδικό \( x_0>0 \) τέτοιο ώστε \( G(x_0)=1 \), δηλαδή \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1. \)

Συμπέρασμα: Η δομή της σχέσης \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \) «κλειδώνει» το πρόσημο και τη μονοτονία της \( f \), και μέσω της \( G(x)=\int_0^x f \) εξασφαλίζει μοναδικότητα τόσο στη ρίζα όσο και στο σημείο όπου το ολοκλήρωμα γίνεται 1.

Ασκήσεις ποσοστά μαθηματικά α γυμνασίου

 

New Team Big Brains – Ποσοστά

Μέρος Α: Εύρεση Αρχικής Αξίας (5 ασκήσεις)

1. Μετά από έκπτωση 20%, η τελική τιμή ενός σακιδίου είναι 48€. Ποια ήταν η αρχική του αξία;
2. Ένα κινητό τηλέφωνο πωλείται με 15% έκπτωση και κοστίζει 340€. Ποια ήταν η αρχική τιμή πριν την έκπτωση;
3. Ένα ποδήλατο κοστίζει 408€ μετά από μείωση 20%. Πόσο κόστιζε αρχικά;
4. Ένα προϊόν αυξήθηκε κατά 25% και η νέα του τιμή είναι 75€. Ποια ήταν η αρχική τιμή πριν την αύξηση;
5. Ένα βιβλίο πωλείται 30€ μετά από έκπτωση 40%. Ποια ήταν η αρχική του αξία;

Μέρος Β: Εύρεση Τελικής Αξίας (5 ασκήσεις)

6. Η αρχική τιμή ενός παπουτσιού είναι 80€. Πόσο θα κοστίζει μετά από έκπτωση 30%;
7. Ένα laptop αξίζει 1200€. Πόση είναι η τελική τιμή μετά από αύξηση 10%;
8. Ένα κράνος ποδηλάτου κοστίζει 50€. Ποια θα είναι η τιμή του μετά από έκπτωση 15%;
9. Ένα γραφείο αξίζει 200€. Πόσο θα κοστίζει μετά από αύξηση 12%;
10. Ένα παιχνίδι έχει αρχική τιμή 25€. Ποια είναι η τελική τιμή μετά από έκπτωση 8%;

ΘΈΜΑΤΑ ΑΥΞΗΜΈΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΊΑΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΎ Β ΛΥΚΈΊΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ

ΘΕΜΑ Α

A1. Να βρείτε τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο M(1,−2) και σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με τους άξονες και να δείξετε ότι είναι κάθετες μεταξύ τους.

A2. Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες και να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων της γωνίας που σχηματίζουν.

🔗 ΣΥΝΕΧΕΙΑ:
Πατήστε εδώ για τη συνέχεια του διαγωνίσματος

🔗 Για περισσότερα, γραφτείτε στο FACEBOOK:
BIG BRAIN ΑΚΑΔΗΜΙΑ

Διαγώνισμα Αυξημένης Δυσκολίας στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας για τις Πανελλαδικές 2026

ΑΟΘ – Διαγώνισμα Αυξημένης Δυσκολίας

ΘΕΜΑ Α – Θεωρία (Σύνθεσης & Κρίσης)

Α1. Να εξηγήσετε γιατί η καμπύλη ζήτησης έχει αρνητική κλίση, αναφέροντας τρεις διαφορετικούς λόγους που δικαιολογούν τη μορφή της. (Μονάδες 10)

Α2. Να αναλύσετε πώς επηρεάζεται η συνολική ευημερία (πλεόνασμα καταναλωτή + παραγωγού) όταν επιβάλλεται ανώτατη τιμή κάτω από την τιμή ισορροπίας. (Μονάδες 15)

Α3. Να διατυπώσετε τον νόμο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας και να εξηγήσετε πώς συνδέεται με το σχήμα των καμπυλών κόστους. (Μονάδες 10)

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Για περισσότερα, γραφτείτε στο FACEBOOK: BIG BRAIN ΑΚΑΔΗΜΊΑ

Ομάδα: https://www.facebook.com/groups/495049406194797

Χημεία – Θέματα Αυξημένης Δυσκολίας Πανελλαδικές 2026

Χημεία – Θέματα Αυξημένης Δυσκολίας

https://www.facebook.com/groups/495049406194797

Οι λύσεις θα αναρτηθούν στην ομάδα μας στο Facebook.

Θέμα 1 – Ισορροπία & Θερμοχημεία

Αντίδραση: N₂ + 3H₂ ⇌ 2NH₃.

1. Χαρακτηρισμός ενδόθερμης/εξώθερμης.
2. Υπολογισμός συγκεντρώσεων ισορροπίας.
3. Μελέτη μετατόπισης σε πίεση, θερμοκρασία, αδρανές αέριο.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Φυσική – Θέματα Αυξημένης Δυσκολίας για Πανελλαδικές 2026

Φυσική – Θέματα Αυξημένης Δυσκολίας

Θέμα 1 – Στερεό + Ταλάντωση + Κρούση

Ομογενής ράβδος μήκους L και μάζας M αρθρώνεται στο άκρο της. Στο άλλο άκρο συνδέεται σώμα m.

1. Ροπή αδράνειας συστήματος.
2. Γωνιακή ταχύτητα μετά από πλαστική κρούση με σφαίρα m₀.
3. Απόδειξη ότι το σύστημα εκτελεί μικρές ταλαντώσεις και εύρεση περιόδου.
4. Ελάχιστη ταχύτητα u για πλήρη περιστροφή.

Θέμα 2 – RLC με Απόσβεση

Κύκλωμα RLC με αρχικά φορτισμένο πυκνωτή.

1. Διαφορική εξίσωση ρεύματος.
2. Γενική λύση q(t) για υποκρίσιμη απόσβεση.
3. Σύγκριση συχνότητας ταλάντωσης με συχνότητα συντονισμού.
4. Ενεργειακή ανάλυση κατά την απόσβεση.

https://www.facebook.com/groups/495049406194797

Οι λύσεις θα αναρτηθούν στην ομάδα μας στο Facebook.

Μαθηματικά – Θέματα Αυξημένης Δυσκολίας για Πανελλαικές 2026

Μαθηματικά – Θέματα Αυξημένης Δυσκολίας

Θέμα 1 – Ανάλυση με Παράμετρο

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x³ - 3ax² + (a² + 1)x - 2.

1. Μελέτη μονοτονίας για γενικό a.
2. Εύρεση τιμών του a ώστε f να έχει δύο ακρότατα και f(1) < f(2).
3. Λύση της εξίσωσης f(x)=0 για την τιμή του a.
4. Μελέτη ύπαρξης οριζόντιας ασύμπτωτης της f(x)/x.

Θέμα 2 – Λογαριθμικές Συναρτήσεις

f(x)=ln(x²+1), g(x)=x−ln(x²+1).

1. Μελέτη μονοτονίας και κυρτότητας της g.
2. Απόδειξη ότι g(x)=0 έχει μία ρίζα.
3. Λύση της ανίσωσης f(x) < g(x).
4. Εύρεση ελαχίστου της f(x)+g(x).

https://www.facebook.com/groups/495049406194797

Οι λύσεις θα αναρτηθούν στην ομάδα μας στο Facebook.

Πολλαπλασιασμός με δεκάδες μεθοδολογία μαθηματικά Ε δημοτικού

 

ΆΛΛΟ ΠΑΡΆΔΕΙΓΜΑ 

Πράξη: $42\times 30$

1. Η ανάλυση των αριθμών

• Το 42 είναι: 4 Δεκάδες και 2 Μονάδες.

• Το 30 είναι: 3 Δεκάδες (δηλαδή $3\times 10$).

2. Τα Βήματα της Λύσης

• Βήμα 1ο: Πολλαπλασιάζω με το 3 Κάνουμε την πράξη: $42\times 3=126$. 

• (Σκέψου: $40\times 3=120$ και $2\times 3=6$. Άρα $120+6=126$).

• Βήμα 2ο: Πολλαπλασιάζω με το 10 Παίρνουμε το αποτέλεσμα και του προσθέτουμε ένα μηδενικό στο τέλος: $126\times 10=1.260$.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ Α ΓΥΜΝΑΣΊΟΥ Κεφάλαιο : Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες

 

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ Α  ΓΥΜΝΑΣΊΟΥ

Κεφάλαιο : Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες