Θέματα εμπέδωσης Γεωμετρίας Α' Γυμνασίου στις Βασικκές γεωμετρικές έννοιες

📐 Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Randomized)

Οι ερωτήσεις εμφανίζονται με τυχαία σειρά σε κάθε προσπάθεια.

Ασκήσεις στην ευθεία μαθηματικά β λυκείου

10 Ασκήσεις στην Ευθεία

Άσκηση 1

Δίνεται η ευθεία με εξίσωση: 3x − 2y + 6 = 0.
(α) Να τη φέρετε στη μορφή y = λx + β.
(β) Να βρείτε την κλίση της ευθείας και το σημείο τομής της με τον άξονα y.

Άσκηση 2

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο A(2, −1) και έχει κλίση k = 3.

Άσκηση 3

Δίνονται τα σημεία A(−1, 4) και B(3, −2).
(α) Να βρείτε την κλίση της ευθείας (AB).
(β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (AB).

Άσκηση 4

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία y = −2x + 5 και περνά από το σημείο P(1, 3).

Άσκηση 5

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία 4x + y − 7 = 0 και περνά από το σημείο M(2, 1).

Υπενθύμιση: Αν δύο ευθείες έχουν κλίσεις k₁ και k₂, τότε είναι κάθετες αν k₁ · k₂ = −1.

Άσκηση 6

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών:
ε₁: 2x − y + 1 = 0
ε₂: x + y − 5 = 0.

Άσκηση 7

Δίνεται η ευθεία ε: y = 3x − 4 και το σημείο A(1, 2).
(α) Να εξετάσετε αν το σημείο A ανήκει στην ευθεία ε.
(β) Αν όχι, να βρείτε την απόσταση του σημείου A από την ευθεία (δώστε τον τύπο, δεν χρειάζεται αριθμητικός υπολογισμός).

Άσκηση 8

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει τετμημένη τομής x = 4 και τεταγμένη τομής y = −2 (δηλαδή τέμνει τους άξονες στα σημεία (4, 0) και (0, −2)).

Άσκηση 9

Δίνεται η οικογένεια ευθειών y = (2λ − 1)x + 3, όπου λ ∈ ℝ.
(α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα x.
(β) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην ευθεία y = x − 2.

Άσκηση 10

Δίνονται οι ευθείες:
ε₁: y = 2x + 1
ε₂: 4x − 2y + 3 = 0.
(α) Να εξετάσετε αν είναι παράλληλες, κάθετες ή τέμνονται υπό γενική γωνία.
(β) Αν τέμνονται, να βρείτε το σημείο τομής τους.

Η Βαρύτητα δεν είναι δύναμη

Γιατί η Βαρύτητα ΔΕΝ είναι Δύναμη;

Η δήλωση ότι η βαρύτητα δεν είναι δύναμη μπορεί να ακούγεται παράδοξη. Από τα σχολικά μας χρόνια, μάθαμε για τον Νεύτωνα και την αόρατη έλξη μεταξύ των μαζών. Ωστόσο, η Γενική Σχετικότητα του Αϊνστάιν άλλαξε τα πάντα, αποκαλύπτοντας ότι η βαρύτητα είναι στην πραγματικότητα η γεωμετρία του σύμπαντος.

"Ο χώρος λέει στην ύλη πώς να κινηθεί και η ύλη λέει στον χώρο πώς να καμπυλωθεί."

1. Ο Χωροχρόνος ως "Ελαστικό Σεντόνι"

Φανταστείτε το σύμπαν σαν ένα τεντωμένο ελαστικό σεντόνι. Αν τοποθετήσετε μια βαριά μπάλα (π.χ. ο Ήλιος), το σεντόνι θα βουλιάξει. Αν ρίξετε μια μικρότερη μπάλα (π.χ. η Γη), αυτή θα αρχίσει να κυλάει γύρω από το "βαρούλκο". Η μικρή μπάλα δεν κινείται επειδή κάποια δύναμη την τραβάει, αλλά επειδή ο δρόμος της είναι πλέον καμπύλος.

2. Όταν ο Χρόνος... Επιβραδύνεται

Ο Αϊνστάιν απέδειξε ότι ο χώρος και ο χρόνος είναι υφασμένοι μαζί στον χωροχρόνο. Όταν μια μάζα καμπυλώνει τον χώρο, "τεντώνει" ταυτόχρονα και τα δευτερόλεπτα. Αυτό ονομάζεται Βαρυτική Διαστολή του Χρόνου.

Όσο πιο κοντά βρίσκεστε σε μια μεγάλη μάζα, τόσο πιο αργά κυλάει το ρολόι. Το GPS στο κινητό σας είναι η ζωντανή απόδειξη: οι δορυφόροι, επειδή βρίσκονται μακριά από τη μάζα της Γης, βιώνουν τον χρόνο πιο γρήγορα και πρέπει να διορθώνουν τα ρολόγια τους καθημερινά για να μην πέφτουν έξω στις τοποθεσίες!

3. Το Μυστήριο της Μαύρης Τρύπας

Στο κέντρο μιας μαύρης τρύπας, η καμπύλωση του χωροχρόνου γίνεται άπειρη. Αυτό το σημείο ονομάζεται Μοναδικότητα (Singularity). Εκεί συμβαίνουν τα εξής εντυπωσιακά:

• Το φαινόμενο του "Σπαγγέτι": Η διαφορά βαρύτητας μεταξύ των ποδιών και του κεφαλιού σας θα ήταν τόσο τεράστια που θα σας τέντωνε σαν λεπτή κλωστή.
• Ο Χρόνος Παγώνει: Για έναν εξωτερικό παρατηρητή, θα φαινόταν σαν να σταματάτε να κινείστε για πάντα στον Ορίζοντα Γεγονότων.
• Κατάρρευση της Φυσικής: Στη Μοναδικότητα, οι εξισώσεις μας παύουν να λειτουργούν, αφήνοντας ανοιχτό το ενδεχόμενο για θεωρίες όπως οι σκουληκότρυπες ή πύλες προς άλλα σύμπαντα.

Η βαρύτητα, λοιπόν, δεν είναι ένα αόρατο σχοινί που μας τραβάει, αλλά η ίδια η δομή του κόσμου μέσα στον οποίο ζούμε.

© 2024 Science Blog - Εξερευνώντας τα μυστήρια του Σύμπαντος

Τριγωνομετρία β γυμνασίου λυμένες και άλυτες ασκήσεις διαφόρων επιπέδων

 ΑΣΚΉΣΕΙΣ ΕΜΠΈΔΩΣΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ

	Εδώ μπορείτε να δείτε τις λύσεις των ασκήσεων και να βρείτε περισσότερες.
	Εδώ μπορείτε να δείτε τις λύσεις των ασκήσεων και να βρείτε περισσότερες.

Λύσεις των ασκήσεων

Λύσεις Ειδικών Ορθογωνίων Τριγώνων (45°-45°-90°)

Άσκηση 1

Δεδομένα: Κάθετη πλευρά = 2√2, Γωνία = 45°

Λύση:

• Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα οι κάθετες πλευρές είναι ίσες:
b = 2√2
• Η υποτείνουσα a υπολογίζεται ως:
a = πλευρά * √2 a = 2√2 * √2 = 2 * 2 = 4 a = 4

Άσκηση 2

Δεδομένα: Υποτείνουσα = 4, Γωνία = 45°

Λύση:

• Το τρίγωνο είναι 45°-45°-90°, άρα οι κάθετες πλευρές είναι ίσες: x = y.
• Γνωρίζουμε ότι: Υποτείνουσα = πλευρά * √2
• Επομένως: 4 = x * √2
• Λύνουμε ως προς x:
x = 4 / √2 = (4 * √2) / 2 = 2√2

Άρα και οι δύο πλευρές είναι:

x = 2√2   y = 2√2

Ακολουθήστε τον σύνδεσμο https://docs.google.com/document/d/1IPn0dFiFRvDLC9scrAz-6C_4zzYWkOGku_JWGbjP0V4/edit?usp=sharing για περισσότερες τέτοιες ασκήσεις και για περισσότερα γραφτείτε στο FACEBOOK BIG BRAIN ΑΚΑΔΗΜΙΑ

Ερωτήσεις και ασκήσεις στην ισότητα τριγώνων μαθηματικά γ γυμνασίου

Ισότητα Τριγώνων

Πλήρες Φύλλο Εργασίας: Θεωρία & Ασκήσεις Εμπέδωσης

Μέρος Α: 10 Ερωτήσεις Θεωρίας

1. Να διατυπώσετε το κριτήριο ισότητας τριγώνων ΠΓΠ (SAS).
2. Ποιο είναι το κριτήριο ισότητας τριγώνων ΠΠΠ (SSS);
3. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα κατά ΓΠΓ (ASA);
4. Σε δύο ίσα τρίγωνα, τι ισχύει για τις αντίστοιχες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες;
5. Ποια η βασική διαφορά μεταξύ ισότητας και ομοιότητας τριγώνων;
6. Ποιο ειδικό κριτήριο ισότητας ισχύει αποκλειστικά στα ορθογώνια τρίγωνα;
7. Αν δύο τρίγωνα έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, είναι απαραίτητα ίσα; Αιτιολογήστε.
8. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία ίση, είναι ίσα;
9. Πώς χρησιμοποιούμε την ισότητα τριγώνων για να αποδείξουμε ότι ένα σημείο είναι το μέσο ενός τμήματος;
10. Ποια είναι τα "κύρια στοιχεία" ενός τριγώνου και πόσα από αυτά αρκούν (υπό προϋποθέσεις) για την ισότητα;

Μέρος Β: 12 Ασκήσεις με Σχήματα

Άσκηση 1 ΠΓΠ

Δίνονται δύο τρίγωνα ABC και A'B'C' με AB=A'B'=7, BC=B'C'=9 και ∠B=∠B'=50°. Αποδείξτε την ισότητά τους.

Άσκηση 2 ΠΠΠ

Στο τρίγωνο DEF δίνονται DE = 5, EF = 7, DF = 8. Αν ένα άλλο τρίγωνο έχει τις ίδιες πλευρές, είναι ίσα;

Άσκηση 3 ΓΠΓ

Στο τρίγωνο ABC έχουμε BC=10, ∠B=45° και ∠C=45°. Τι είδους τρίγωνο είναι ως προς τις πλευρές του;

Άσκηση 4 Πυθαγόρειο

Σε ορθογώνιο τρίγωνο (∠A=90°) με AB=6 και AC=8, υπολογίστε την υποτείνουσα BC.

Άσκηση 5 Ύψος

Σε ισοσκελές τρίγωνο (AB=AC), το ύψος AD είναι και διάμεσος. Αποδείξτε ότι ABD = ACD.

Άσκηση 6 Μεσοκάθετος

Κάθε σημείο P της μεσοκαθέτου ενός τμήματος AB ισαπέχει από τα άκρα A και B. Αποδείξτε το.

Άσκηση 7 Διχοτόμος

Η διχοτόμος της γωνίας κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος. Αποδείξτε το.

[Image of angle bisector in isosceles triangle]

Άσκηση 8 Παραλληλόγραμμο

Σε ένα παραλληλόγραμμο ABCD, η διαγώνιος AC χωρίζει το σχήμα σε δύο ίσα τρίγωνα.

Άσκηση 9 Ορθογώνια

Δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίσες τις μία κάθετες πλευρές και τις υποτείνουσες. Είναι ίσα;

Άσκηση 10 Κύκλος

Σε κύκλο (O,ρ), δύο χορδές AB και CD είναι ίσες. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα OAB και OCD είναι ίσα.

Άσκηση 11 Συμμετρία

Αν προεκτείνουμε τη διάμεσο AM τριγώνου ABC κατά ίσο τμήμα MD=AM, αποδείξτε ότι AB=CD.

[Image showing triangle ABC and the extended median to point D]

Άσκηση 12 Σύνθετη

Σε δύο ίσα τρίγωνα ABC και A'B'C', αποδείξτε ότι οι αντίστοιχες διάμεσοι AM και A'M' είναι ίσες.

© 2026 New Team Big Brains - Εκπαιδευτικό Υλικό Μαθηματικών

Προτεινόμενη άσκηση στον ολοκληρωτικό λογισμό και για μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Άσκηση 1 – Συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμά της

Γ’ Λυκείου • Συναρτήσεις • Διαφορικός & Ολοκληρωτικός Λογισμός

BIG BRAIN
ΑΚΑΔΗΜΙΑ

Δίνεται συνεχής συνάρτηση \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) με

\( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \)

και \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)}. \)

Να αποδείξετε ότι:

1. Η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.
2. Η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.
3. Υπάρχει μοναδικό \( x_0>0 \) τέτοιο ώστε \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1. \)

Λύση

1. Απόδειξη ότι η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.

Έχουμε \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \Rightarrow F'(x)=f(x) \) (Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού).

Από τη σχέση \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \) προκύπτει ότι για κάθε \( x\in\mathbb{R} \):
\( f(x)\ge e^{F(x)}>0 \) (αφού \( e^{F(x)}>0 \) για κάθε πραγματικό \( F(x) \)).

Άρα \( f(x)>0 \Rightarrow F'(x)>0 \), οπότε η \( F \) είναι γνησίως αύξουσα.

Παραγωγίζουμε τη σχέση \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \):
\( f'(x)=F(x)+xF'(x)+e^{F(x)}F'(x)=F(x)+(x+e^{F(x)})f(x). \)

Για κάθε \( x \), έχουμε \( f(x)>0 \) και, επειδή η \( F \) είναι γνησίως αύξουσα με \( F(0)=0 \), ισχύει \( F(x)\ge 0 \) για \( x\ge 0 \) και \( F(x)\le 0 \) για \( x\le 0 \).

Το άθροισμα \( F(x)+(x+e^{F(x)})f(x) \) είναι θετικό, διότι ο όρος \( (x+e^{F(x)})f(x) \) είναι κυρίαρχος και θετικός (με \( f(x)>0 \) και \( e^{F(x)}>0 \)), ενώ ο \( F(x) \) δεν αρκεί για να αλλάξει το πρόσημο.

Συνεπώς \( f'(x)>0 \) για κάθε \( x\in\mathbb{R} \) και άρα η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.

2. Η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.

Αφού η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα, είναι 1–1 (μονότονη χωρίς «επιστροφές»).

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο ρίζες \( x_1<x_2 \) με \( f(x_1)=f(x_2)=0 \), τότε, λόγω γνησίως αύξουσας συμπεριφοράς, θα έπρεπε
\( f(x_1)<f(x_2) \), άτοπο.

Άρα η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.

3. Ύπαρξη και μοναδικότητα \( x_0>0 \) με \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1 \).

Ορίζουμε \( G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \). Τότε \( G'(x)=f(x)>0 \) για κάθε \( x \), άρα η \( G \) είναι γνησίως αύξουσα.

Επιπλέον, \( G(0)=0 \). Επειδή \( f(x)>0 \) για \( x>0 \), έχουμε \( G(x)>0 \) για κάθε \( x>0 \) και \( \lim_{x\to +\infty}G(x)=+\infty \) (η θετική συνάρτηση ολοκληρώνεται σε άπειρο διάστημα).

Άρα η συνεχής και γνησίως αύξουσα \( G \) παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος \( (0,+\infty) \) ακριβώς μία φορά.

Επομένως, υπάρχει μοναδικό \( x_0>0 \) τέτοιο ώστε \( G(x_0)=1 \), δηλαδή \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1. \)

Συμπέρασμα: Η δομή της σχέσης \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \) «κλειδώνει» το πρόσημο και τη μονοτονία της \( f \), και μέσω της \( G(x)=\int_0^x f \) εξασφαλίζει μοναδικότητα τόσο στη ρίζα όσο και στο σημείο όπου το ολοκλήρωμα γίνεται 1.

Ασκήσεις ποσοστά μαθηματικά α γυμνασίου

 

New Team Big Brains – Ποσοστά

Μέρος Α: Εύρεση Αρχικής Αξίας (5 ασκήσεις)

1. Μετά από έκπτωση 20%, η τελική τιμή ενός σακιδίου είναι 48€. Ποια ήταν η αρχική του αξία;
2. Ένα κινητό τηλέφωνο πωλείται με 15% έκπτωση και κοστίζει 340€. Ποια ήταν η αρχική τιμή πριν την έκπτωση;
3. Ένα ποδήλατο κοστίζει 408€ μετά από μείωση 20%. Πόσο κόστιζε αρχικά;
4. Ένα προϊόν αυξήθηκε κατά 25% και η νέα του τιμή είναι 75€. Ποια ήταν η αρχική τιμή πριν την αύξηση;
5. Ένα βιβλίο πωλείται 30€ μετά από έκπτωση 40%. Ποια ήταν η αρχική του αξία;

Μέρος Β: Εύρεση Τελικής Αξίας (5 ασκήσεις)

6. Η αρχική τιμή ενός παπουτσιού είναι 80€. Πόσο θα κοστίζει μετά από έκπτωση 30%;
7. Ένα laptop αξίζει 1200€. Πόση είναι η τελική τιμή μετά από αύξηση 10%;
8. Ένα κράνος ποδηλάτου κοστίζει 50€. Ποια θα είναι η τιμή του μετά από έκπτωση 15%;
9. Ένα γραφείο αξίζει 200€. Πόσο θα κοστίζει μετά από αύξηση 12%;
10. Ένα παιχνίδι έχει αρχική τιμή 25€. Ποια είναι η τελική τιμή μετά από έκπτωση 8%;

ΘΈΜΑΤΑ ΑΥΞΗΜΈΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΊΑΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΎ Β ΛΥΚΈΊΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ

ΘΕΜΑ Α

A1. Να βρείτε τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο M(1,−2) και σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με τους άξονες και να δείξετε ότι είναι κάθετες μεταξύ τους.

A2. Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες και να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων της γωνίας που σχηματίζουν.

🔗 ΣΥΝΕΧΕΙΑ:
Πατήστε εδώ για τη συνέχεια του διαγωνίσματος

🔗 Για περισσότερα, γραφτείτε στο FACEBOOK:
BIG BRAIN ΑΚΑΔΗΜΙΑ

Διαγώνισμα Αυξημένης Δυσκολίας στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας για τις Πανελλαδικές 2026

ΑΟΘ – Διαγώνισμα Αυξημένης Δυσκολίας

ΘΕΜΑ Α – Θεωρία (Σύνθεσης & Κρίσης)

Α1. Να εξηγήσετε γιατί η καμπύλη ζήτησης έχει αρνητική κλίση, αναφέροντας τρεις διαφορετικούς λόγους που δικαιολογούν τη μορφή της. (Μονάδες 10)

Α2. Να αναλύσετε πώς επηρεάζεται η συνολική ευημερία (πλεόνασμα καταναλωτή + παραγωγού) όταν επιβάλλεται ανώτατη τιμή κάτω από την τιμή ισορροπίας. (Μονάδες 15)

Α3. Να διατυπώσετε τον νόμο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας και να εξηγήσετε πώς συνδέεται με το σχήμα των καμπυλών κόστους. (Μονάδες 10)

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Για περισσότερα, γραφτείτε στο FACEBOOK: BIG BRAIN ΑΚΑΔΗΜΊΑ

Ομάδα: https://www.facebook.com/groups/495049406194797