Θεωρία και ασκήσεις στα στοιχεία του τριγώνου και στην ισότητα τριγώνων μαθηματικά α γ γυμνασίου

1. ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μελέτησε τη θεωρία και πάτα ΥΠΟΒΟΛΗ για να δεις τις απαντήσεις.

Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου;

Τα κύρια στοιχεία είναι οι τρεις πλευρές (α, β, γ) και οι τρεις γωνίες (Â, B, Γ).

2. Τι ονομάζουμε: α) Διάμεσο, β) Διχοτόμο και γ) Ύψος;

• Διάμεσος: Το τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς.
• Διχοτόμος: Το τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας από την κορυφή μέχρι την απέναντι πλευρά.
• Ύψος: Το κάθετο τμήμα από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς.

3. Τι ονομάζουμε απόσταση σημείου από ευθεία;

Απόσταση σημείου Α από μια ευθεία (ε) είναι το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος ΑΗ.

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1: Η ΑΓ είναι μεσοκάθετος του ΒΔ. Είναι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ ίσα;

Ναι. Έχουν ΑΓ κοινή, ΒΓ=ΓΔ (λόγω μεσοκαθέτου) και γωνίες Γ1=Γ2=90°. Κριτήριο Π-Γ-Π.

Άσκηση 2: Σε ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ=ΑΓ), η διχοτόμος ΑΔ είναι και διάμεσος;

Ναι. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ, ΑΔ κοινή και γωνίες Α1=Α2. Είναι ίσα, άρα ΒΔ=ΔΓ.

Άσκηση 3: Κύκλος (Ο, ρ) με διάμετρο ΑΒ. Αν ΑΓ=ΒΔ, είναι τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ ίσα;

Ναι. Είναι ίσα από το κριτήριο Π-Π-Π, διότι: ΟΑ=ΟΒ=ρ, ΟΓ=ΟΔ=ρ και ΑΓ=ΒΔ.

Ερωτήσεις στη γεωμετρία κεφάλαιο 1 μαθηματικά α γυμνασίου

Τεστ Γεωμετρίας – 20 Τυχαίες Ερωτήσεις

Πώς βρίσκουμε ποσοστό έκπτωσης και αύξησης

Πώς βρίσκω το ποσοστό έκπτωσης ή αύξησης;

Για να υπολογίσουμε πόσο άλλαξε μια τιμή, συγκρίνουμε την αρχική με τη νέα τιμή. Αν η τιμή πέσει → έχουμε έκπτωση. Αν η τιμή ανέβει → έχουμε αύξηση.

🔽 Ποσοστό Έκπτωσης

Τύπος:

(Αρχική τιμή – Νέα τιμή) / Αρχική τιμή × 100

Παράδειγμα: Από 200€ → 150€

Υπολογισμός: (200 – 150) / 200 × 100 = 25%

Άρα η έκπτωση είναι 25%.

🔼 Ποσοστό Αύξησης

Τύπος:

(Νέα τιμή – Αρχική τιμή) / Αρχική τιμή × 100

Παράδειγμα: Από 200€ → 400€

Υπολογισμός: (400 – 200) / 200 × 100 = 100%

Άρα η τιμή αυξήθηκε κατά 100%.

📌 Σύνοψη

• Τιμή ↓ → Έκπτωση
• Τιμή ↑ → Αύξηση
• Χρησιμοποιούμε πάντα την αρχική τιμή στον παρονομαστή

Ο Γρίφος του Μισθού: Πώς να Λύσεις μια Απλή Εξίσωση στην Καθημερινότητα! Μαθηματικά α γυμνασίου

Ο Γρίφος του Μισθού: Πώς να Λύσεις μια Απλή Εξίσωση στην Καθημερινότητα!

Γεια σας φίλοι του μπλογκ μου!

Σήμερα θα ασχοληθούμε με κάτι που μπορεί να φαίνεται "μαθηματικό", αλλά στην ουσία είναι ένας πολύ πρακτικός τρόπος σκέψης που μας βοηθάει να λύνουμε προβλήματα της καθημερινότητας. Ποιος είπε ότι τα μαθηματικά είναι μόνο για την τάξη;

Η Πρόκληση της Ημέρας (ΑΣΚΗΣΗ)

Φαντάσου το εξής σενάριο:

Ένας μισθωτός ξοδεύει το 1/3 των χρημάτων του για ενοίκιο και αυτό το ποσό είναι 300€.
Πόσα χρήματα είναι όλος ο μισθός του;

Ας το Λύσουμε Μαζί: Ο Τρόπος Σκέψης και η Εξίσωση

Βήμα 1 – Ορίζουμε τον άγνωστο: Έστω x ο μισθός του.

Βήμα 2 – Μεταφράζουμε το κείμενο σε εξίσωση: (1/3)·x = 300

Βήμα 3 – Απομονώνουμε το x: Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 3.

Τελικό αποτέλεσμα: x = 900€

Νέα Άσκηση για Εσένα!

Ένας μαθητής ξοδεύει το 1/4 των χρημάτων του για βιβλία και αυτό το ποσό είναι 50€.
Πόσα χρήματα είχε αρχικά;

Αναλυτική Λύση

Βήμα 1: Έστω x τα αρχικά χρήματα του μαθητή.

Βήμα 2: Το 1/4 των χρημάτων του είναι 50€, άρα γράφουμε την εξίσωση:

(1/4)·x = 50

Βήμα 3: Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 4 για να απομονώσουμε το x:

4 · (1/4)·x = 50 · 4

x = 200

Άρα ο μαθητής είχε αρχικά 200€.

Ακολουθήστε μας στο FACEBOOK και στο INSTAGRAM

Κλίμακα Kardashev - Μια κοσμική ταξινόμηση πολιτισμών με βάση την ενέργεια που μπορούν να αξιοποιήσουν

Η Κλίμακα Kardashev

Μια κοσμική ταξινόμηση πολιτισμών με βάση την ενέργεια που μπορούν να αξιοποιήσουν.

Τύπος I – Πλανητικός Πολιτισμός

Αξιοποιεί όλη την ενέργεια του πλανήτη του: ήλιο, άνεμο, γεωθερμία, ωκεανούς. Η ανθρωπότητα βρίσκεται περίπου στο 0.7, άρα δεν έχει φτάσει ακόμη στον Τύπο I.

Τύπος II – Αστρικός Πολιτισμός

Μπορεί να αξιοποιεί την ενέργεια ολόκληρου του άστρου του. Η Σφαίρα Dyson είναι το πιο γνωστό θεωρητικό παράδειγμα.

Τύπος III – Γαλαξιακός Πολιτισμός

Αξιοποιεί την ενέργεια ενός ολόκληρου γαλαξία. Μιλάμε για τεχνολογία ικανή για διαστρικά ταξίδια και κολοσσιαίες ενεργειακές δομές.

New Team Big Brains • Εκπαιδευτικό περιεχόμενο που εμπνέει.

Προσομοίωση Νόμου του Hooke – Ελατήριο, Δύναμη, Επιμήκυνση & Γράφημα

NEW TEAM BIG BRAINS

Προσομοίωση Νόμου του Hooke – Ελατήριο, Δύναμη, Επιμήκυνση & Γράφημα

Ελατήριο

Μάζα

Σταθερά ελατηρίου k (N/m): Δύναμη F (N):

Επιμήκυνση: 0.000 m

Γράφημα F–x

Θεωρία της Προοπτικής – Καθημερινή ζωή, πολιτική, μαθηματική ανάλυση

Θεωρία της Προοπτικής (Prospect Theory)

Η Θεωρία της Προοπτικής, των Kahneman & Tversky, εξηγεί πώς οι άνθρωποι λαμβάνουν αποφάσεις υπό αβεβαιότητα. Δεν λειτουργούμε ως τέλεια ορθολογικοί υπολογιστές· επηρεαζόμαστε από απώλειες, προσδοκίες και πλαισίωση.

Βασικές Αρχές

1. Απώλεια > Κέρδος (Loss Aversion)

Ο πόνος της απώλειας είναι ισχυρότερος από τη χαρά αντίστοιχου κέρδους.

2. Σημείο Αναφοράς

Δεν αξιολογούμε απόλυτες τιμές, αλλά αλλαγές σε σχέση με το “τι περιμέναμε”.

3. Καμπύλη Αξίας

Κυρτή στα κέρδη → αποστροφή στον κίνδυνο. Κοίλη στις απώλειες → αναζήτηση κινδύνου.

4. Σταθμισμένες Πιθανότητες

• Υπερεκτιμούμε μικρές πιθανότητες (π.χ. λόττο)
• Υποεκτιμούμε μεγάλες πιθανότητες

Παραδείγματα από την Καθημερινή Ζωή

1. Μισθός & Προσδοκίες

Αν περιμένεις αύξηση 100€ και πάρεις 50€, το μυαλό σου το βιώνει ως “απώλεια”, όχι ως κέρδος.

2. Σούπερ Μάρκετ

“Έκπτωση 2€” ακούγεται καλύτερο από “Τελική τιμή 8€”, παρότι είναι το ίδιο.

3. Επενδύσεις

Οι άνθρωποι κρατούν ζημιογόνες μετοχές για να “μην κλειδώσουν την απώλεια”.

Εφαρμογές σε Πολιτική Επικοινωνία

Framing (Πλαισίωση)

Το ίδιο μέτρο μπορεί να παρουσιαστεί ως κέρδος ή ως απώλεια.

Παράδειγμα

Κέρδος: “Με το νέο πρόγραμμα, 200 άνθρωποι θα σωθούν.”

Απώλεια: “Με το παλιό πρόγραμμα, 400 άνθρωποι θα πεθάνουν.”

Αν και μαθηματικά ισοδύναμα, προκαλούν διαφορετικές αποφάσεις.

Μαθηματική Ανάλυση της Καμπύλης Αξίας

Η αξία ενός αποτελέσματος δεν είναι γραμμική. Η συνάρτηση έχει δύο κλάδους:

v(x) = { x^α, αν x ≥ 0 { -λ(-x)^β, αν x < 0

Παράμετροι:

• α ∈ (0,1): κυρτότητα στα κέρδη
• β ∈ (0,1): κοίλη μορφή στις απώλειες
• λ > 1: απώλεια-αποστροφή (loss aversion)

Διαδραστικό Παράδειγμα: Σίγουρο vs Ρίσκο

Πλαίσιο Κέρδους

Α: Σίγουρο κέρδος 500€ Β: 50% να κερδίσεις 1000€, 50% τίποτα

Οι περισσότεροι επιλέγουν το σίγουρο.

Πλαίσιο Απώλειας

Α: Σίγουρη απώλεια 500€ Β: 50% να χάσεις 1000€, 50% τίποτα

Οι περισσότεροι επιλέγουν το ρίσκο.

Ψηφιακό Εργαστήριο ταυτοτήτων κυρίως για μαθητές με ΔΕΠΥ "διαφορά τετραγώνων "

Αποστολή: Διαφορά Τετραγώνων ⚔️

Τύπος: α² - β² = (α - β)(α + β)

Άσκηση 1

🏆 Η αποστολή ολοκληρώθηκε!

Ψηφιακό εργαστήριο ταυτοτήτων κυρίως για μαθητές με ΔΕΠΥ μαθηματικά γ γυμνασίου

Εργαστήριο Ταυτοτήτων 🧬

Επίλεξε την απάντηση και πάτα "Έλεγχος"

Οπτικός Οδηγός: (α + β)²

α²

αβ

αβ

β²

α² + 2αβ + β²

Άσκηση 1

🏆 Το μάθημα ολοκληρώθηκε!

 

New Team Big Brains

Το παράδοξο με τις άπειρες και τις… καμία λύσεις

Υπάρχει ένα παράδοξο που κάθε μαθητής συναντά, αλλά λίγοι καταλαβαίνουν πραγματικά.

Πώς γίνεται μια εξίσωση να έχει άπειρες λύσεις και ταυτόχρονα… καμία;

Η απάντηση κρύβεται σε μια λεπτομέρεια που οι περισσότεροι προσπερνούν: όταν “εξαφανιστούν” τα x, αυτό που μένει αποκαλύπτει όλη την αλήθεια.

Αν καταλήξεις σε μια αληθινή πρόταση, όπως

2x + 6 = 2x + 6

τότε η εξίσωση ισχύει για κάθε αριθμό. Άπειρες λύσεις.

Αν όμως καταλήξεις σε κάτι ψευδές, όπως

6 = 7

τότε δεν υπάρχει κανένας αριθμός που να την ικανοποιεί. Καμία λύση.

Μικρές λεπτομέρειες. Μεγάλη διαφορά. Τα μαθηματικά δεν είναι δύσκολα — απλώς θέλουν καθαρό βλέμμα.

Γι’ αυτό το “παράδοξο” δεν είναι μαγεία· είναι καθαρή άλγεβρα.