Ασκήσεις στην απόλυτη τιμή μαθηματικά α λυκείου

Big Brains · Μαθηματικά

Απόλυτη Τιμή – Πλήρης Οδηγός

Από τον ορισμό μέχρι τις πιο απαιτητικές ασκήσεις.

Η Ιδέα & Ορισμός

Η απόλυτη τιμή είναι η απόσταση από το μηδέν.

|x| = x , αν x ≥ 0

|x| = -x , αν x < 0

Απόσταση δύο σημείων

Η παράσταση |α - β| εκφράζει την απόσταση μεταξύ των αριθμών α και β στον άξονα.

Π.χ. |x - 3| = 2 σημαίνει "ποιοι αριθμοί απέχουν 2 μονάδες από το 3;".

Βασικές Ιδιότητες

• 1. Μη αρνητικότητα: |x| ≥ 0. Η ισότητα ισχύει μόνο αν x = 0.
• 2. Σχέση με τετράγωνο: |x|² = x² και √x² = |x|.
• 3. Γινόμενο / Πηλίκο: |x · y| = |x| · |y| και |x/y| = |x| / |y| (για y ≠ 0).
• 4. Αντίθετοι: |x| = |-x| και |α - β| = |β - α|.
• 5. Τριγωνική Ανισότητα: |x + y| ≤ |x| + |y|.

Ασκήσεις Εμπέδωσης (Λυμένες)

Άσκηση 1: Βασικοί Υπολογισμοί

Υπολόγισε: |7|, |-12|, |0|

Λύση

|7| = 7, |-12| = 12, |0| = 0

Άσκηση 2: Η παγίδα της μεταβλητής

Ισχύει πάντα ότι |-x| = x;

Λύση

Όχι! Αν ο x είναι αρνητικός (π.χ. x = -5), τότε |-(-5)| = |5| = 5, ενώ x = -5. Άρα |-x| = -x όταν x < 0.

Άσκηση 3: Εξίσωση μορφής |x| = ρ

Λύσε: |2x - 4| = 6

Λύση

2x - 4 = 6 ή 2x - 4 = -6
2x = 10 ή 2x = -2
x = 5 ή x = -1

Άσκηση 4: Ανίσωση |x| < ρ

Λύσε: |x + 2| < 5

Λύση

-5 < x + 2 < 5
-7 < x < 3

Άσκηση 5: Εξίσωση με δύο απόλυτα

Λύσε: |x - 3| = |2x + 1|

Λύση

x - 3 = 2x + 1 (=> x = -4)
ή x - 3 = -(2x + 1) (=> 3x = 2 => x = 2/3)

The Challenge Room (Για δυνατούς λύτες)

Οι παρακάτω 12 ασκήσεις δεν έχουν έτοιμη λύση. Δοκίμασε τις δυνάμεις σου!

1. Λύσε: ||x| - 5| = 2

2. Λύσε: |x - 2| + |2 - x| = 8

3. Βρες το x: x² - 5|x| + 6 = 0

4. Ανίσωση: 2 < |x + 1| ≤ 4

5. Λύσε: |2x - 6| = x

6. Σύστημα: |x| ≤ 5 και |x + 1| > 3

7. Απλοποίησε: √x²-4x+4 + |x-1| αν 1 < x < 2

8. Λύσε: |x + 3| = |2x| - 1

9. Για ποιες τιμές του x: |x² - 4| + |x - 2| = 0;

10. Ανίσωση: |x - 1| / 2 + 1 > |x - 1| / 3

11. Παραμετρική: |x - 1| = α² + 1. Έχει πάντα λύση;

12. Δείξε: |x| + |y| = |x + y| μόνο αν x · y ≥ 0

"Η μαθηματική αλήθεια είναι πάντα απόλυτη." — Καλή μελέτη!