Κίνηση ταχυπλόου σε ευθεία: Α → Β → Α
Απόσταση 47 km — σταθερό μέτρο ταχύτητας — αναλυτική λύση βήμα-βήμα
Σχήμα: Ευθύγραμμη διαδρομή μεταξύ Α και Β, απόσταση 47 km, με ενδιάμεσο σημείο Γ. Το ταχύπλοο εκτελεί Α → Β → Α με σταθερή ταχύτητα.
Εκφώνηση
Περιγραφή άσκησης
Ένα ταχύπλοο σκάφος κινείται σε μια ευθύγραμμη διαδρομή μεταξύ δύο νησιών Α και Β, που απέχουν μεταξύ τους 47 km. Το σκάφος κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας και εκτελεί τη διαδρομή Α → Β → Α, έχοντας ως αφετηρία το Α.
- α): Υπολογίστε τη συνολική απόσταση που διένυσε το ταχύπλοο.
- β): Για όλη τη διαδρομή, αναφέρετε:
- i. τη μετατόπιση
- ii. τη μέση ταχύτητα
- γ): Σε τυχαία στιγμή το ταχύπλοο διέρχεται από το σημείο Γ μεταξύ Α και Β. Εξηγήστε ποια πρέπει να είναι η φορά κίνησης και η τιμή της μέσης ταχύτητας ώστε να διευκρινιστεί η διανυθείσα απόσταση.
Λύση βήμα-βήμα
Δεδομένα και βασικές σχέσεις
- Απόσταση Α–Β:
47 km - Διαδρομή: Α → Β → Α (πήγαινε–έλα)
- Σταθερό μέτρο ταχύτητας: \(v\) (σταθερό)
- Ορισμοί: \(\text{απόσταση} = s\), \(\text{μετατόπιση} = \Delta \vec{x}\), \(\text{μέση ταχύτητα} = \vec{v}_{\mu} = \dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}\).
α) Συνολική απόσταση
Η απόσταση στο πήγαινε Α → Β είναι 47 km και στο έλα Β → Α είναι επίσης 47 km.
\[
s_{\text{ολ}} = 47\ \text{km} + 47\ \text{km} = 94\ \text{km}
\]
β) Μετατόπιση και μέση ταχύτητα
- Μετατόπιση: Ξεκινά και καταλήγει στο Α, άρα \(\Delta \vec{x} = \vec{0}\) και \(|\Delta x| = 0\ \text{km}\).
- Μέση ταχύτητα (διάνυσμα): \(\vec{v}_{\mu} = \dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} = \vec{0}\).
Αν ζητηθεί «μέση ταχύτητα ως μέτρο» (συχνά καλείται μέση ταχύτητα διαδρομής), τότε
\[
v_{\mu,\ \text{μέτρο}} = \frac{\text{συνολική απόσταση}}{\text{συνολικός χρόνος}}.
\]
Με σταθερή ταχύτητα \(v\), ισχύει \(v_{\mu,\ \text{μέτρο}} = v\).
γ) Διέλευση από το σημείο Γ
Θεωρούμε ότι το σημείο Γ βρίσκεται σε θέση \(x_\Gamma\) από το Α, με \(0 < x_\Gamma < 47\ \text{km}\). Η φορά κίνησης τη στιγμή διέλευσης (προς Β ή προς Α) καθορίζει τη συνολική απόσταση που έχει διανυθεί έως το Γ και επηρεάζει τον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας μέχρι εκεί.
Περίπτωση 1: Φορά προς Β (Α → Β)
- Απόσταση ως το Γ: \(s_\Gamma = x_\Gamma\).
- Χρόνος ως το Γ: \(\displaystyle t_\Gamma = \frac{x_\Gamma}{v}\).
- Μέση ταχύτητα έως το Γ: \(\displaystyle \vec{v}_{\mu}(0 \to t_\Gamma) = \frac{x_\Gamma}{t_\Gamma}\,\hat{i} = v\,\hat{i}\).
Περίπτωση 2: Φορά προς Α (Β → Α)
- Απόσταση ως το Γ: \(\displaystyle s_\Gamma = 47 + (47 - x_\Gamma) = 94 - x_\Gamma\ \text{km}\).
- Χρόνος ως το Γ: \(\displaystyle t_\Gamma = \frac{47}{v} + \frac{47 - x_\Gamma}{v} = \frac{94 - x_\Gamma}{v}\).
- Μέση ταχύτητα έως το Γ: \(\displaystyle \vec{v}_{\mu}(0 \to t_\Gamma) = \frac{x_\Gamma}{t_\Gamma}\,\hat{i} = \frac{x_\Gamma\, v}{94 - x_\Gamma}\,\hat{i}\).
Αριθμητικό παράδειγμα
Θέτουμε σταθερή ταχύτητα \(v = 47\ \text{km/h}\) και σημείο \(x_\Gamma = 30\ \text{km}\).
Πήγαινε (Α → Β)
\[ s_\Gamma = 30\ \text{km}, \quad t_\Gamma = \frac{30}{47} \approx 0.64\ \text{h} \ (\approx 38\ \text{min}), \] \[ v_{\mu} \approx \frac{30}{0.64} \approx 47\ \text{km/h}. \]Έλα (Β → Α)
\[ s_\Gamma = 94 - 30 = 64\ \text{km}, \quad t_\Gamma = \frac{64}{47} \approx 1.36\ \text{h} \ (\approx 82\ \text{min}), \] \[ v_{\mu} \approx \frac{30}{1.36} \approx 22\ \text{km/h}. \]Σύνοψη
- Συνολική απόσταση: \(94\ \text{km}\).
- Μετατόπιση: \(0\ \text{km}\) (επιστροφή στην αφετηρία).
- Μέση ταχύτητα (διάνυσμα): \(\vec{v}_{\mu} = \vec{0}\) για όλη τη διαδρομή Α → Β → Α.
- Διευκρίνιση στο Γ: Η φορά κίνησης κρίνει την ήδη διανυθείσα απόσταση και τη μέση ταχύτητα μέχρι εκεί.
