Τυποποιημένα ολοκληρώματα ή αλλιώς ολοκλήρωση χωρίς τη μέθοδο αντικατάστασης μαθηματικά γ λυκείου

Η φράση «Τυποποιημένα Ολοκληρώματα (Πότε είναι αχρείαστη η Αντικατάσταση)» αναφέρεται σε ολοκληρώματα που έχουν συγκεκριμένη, αναγνωρίσιμη μορφή. Για την επίλυσή τους, η μέθοδος της αντικατάστασης, ενώ μπορεί να εφαρμοστεί, δεν είναι απαραίτητη. Αυτό συμβαίνει επειδή τα ολοκληρώματα αυτά είναι άμεσης εφαρμογής, δηλαδή η λύση τους προκύπτει απευθείας από τους βασικούς κανόνες ολοκλήρωσης.

Τι είναι η Αντικατάσταση και πότε χρησιμοποιείται;

Η μέθοδος της αντικατάστασης είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση ολοκληρωμάτων που δεν είναι άμεσα επιλύσιμα. Βασίζεται στον κανόνα της αλυσίδας της παραγώγισης και στοχεύει στη μετατροπή ενός πιο σύνθετου ολοκληρώματος σε μια απλούστερη μορφή.

Παράδειγμα όπου η αντικατάσταση είναι απαραίτητη:
Έστω το ολοκλήρωμα:

$$\int 2x(x^2+1)^3 dx$$

Εδώ, η άμεση ολοκλήρωση δεν είναι εφικτή. Θέτουμε

$$u=x^2+1$$

Τότε, το διαφορικό της νέας μεταβλητής είναι

$$du=2x dx$$

Αντικαθιστώντας, παίρνουμε:

$$\int u^3 du$$

Η λύση είναι:

$$\int u^3 du = \frac{u^4}{4}+c$$

Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή, έχουμε την τελική λύση:

$$\frac{(x^2+1)^4}{4}+c$$

Πότε είναι Αχρείαστη η Αντικατάσταση;

Η αντικατάσταση είναι αχρείαστη όταν το ολοκλήρωμα είναι της μορφής

$$\int f'(x)[f(x)]^n dx \quad \text{ή} \quad \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$$

Σε αυτές τις περιπτώσεις, ο παράγοντας $f'(x)$ βρίσκεται ήδη μέσα στο ολοκλήρωμα.

Παραδείγματα όπου η αντικατάσταση είναι αχρείαστη:

• Ολοκλήρωμα της μορφής $$\int f'(x)[f(x)]^n dx$$ Έστω το ολοκλήρωμα: $$\int 2x(x^2+1)^3 dx$$ . Εδώ, $f(x)=x^2+1$ και $f'(x)=2x$. Η λύση προκύπτει απευθείας από τον κανόνα: $$\int f'(x)[f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c$$ . Άρα, η λύση είναι: $$\frac{(x^2+1)^{3+1}}{3+1}+c = \frac{(x^2+1)^4}{4}+c$$
• Ολοκλήρωμα της μορφής $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$$ Έστω το ολοκλήρωμα: $$\int \frac{2x}{x^2+1} dx$$ . Εδώ, $f(x)=x^2+1$ και $f'(x)=2x$. Η λύση προκύπτει από τον κανόνα: $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)|+c$$ . Άρα, η λύση είναι: $$\ln|x^2+1|+c$$

Συμπερασματικά

Η φράση αυτή τονίζει ότι η αναγνώριση της μορφής ενός ολοκληρώματος είναι εξίσου σημαντική με την εφαρμογή τεχνικών. Η εξοικείωση με αυτές τις τυποποιημένες μορφές επιτρέπει την ταχύτερη και πιο άμεση επίλυση, παρακάμπτοντας τα βήματα της αντικατάστασης.

Προτεινόμενη άσκηση στα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού στις συναρτήσεις για εμπέδωση θεωρίας

 

ΛΎΣΗ

Σύνθεση συναρτήσεων λυμένη άσκηση μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 

✏️ Άσκηση:

Έστω οι συναρτήσεις:

• $f(x) = 2x - 1$

• $g(x) = \sqrt{x}$

Να υπολογιστεί η τιμή της σύνθεσης $g(f(4))$.

✅ Λύση:

1. Υπολογίζουμε πρώτα την $f(4)$:

   $$f(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$$

2. Έπειτα, υπολογίζουμε την $g(f(4)) = g(7)$:

   $$g(7) = \sqrt{7}$$

👉 Άρα,

$$g(f(4))=\sqrt{7}$$

Προτεινόμενη άσκηση στα ολοκληρώματα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 ΕΚΦΏΝΗΣΗ

 

Ακολουθήστε  μας  στο   FACEBOOK   και στο   INSTAGRAM    για περισσότερες εντυπωσιακές έννοιες που υπάρχουν στα όρια της ανθρώπινης κατανόησης.

Ευρεση Αρχικής Συνάρτησης (Ολοκλήρωμα): Θεωρία και Λυμένες Ασκήσεις μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 

Θεωρία

Τι είναι το Ολοκλήρωμα;

Το ολοκλήρωμα είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης. Αν έχουμε τη παράγωγο μιας συνάρτησης f'(x), τότε το ολοκλήρωμα αυτής της παράγωγης μας δίνει την αρχική συνάρτηση f(x), συν μια σταθερά c.

Γιατί προσθέτουμε μια σταθερά c;

Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν. Έτσι, αν προστεθεί μια σταθερά σε μια συνάρτηση, η παράγωγός της παραμένει η ίδια. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις f(x) = x² και g(x) = x² + 5 έχουν την ίδια παράγωγο, που είναι 2x.

Τοπικά ακρότατα εύρεση με παραδείγματα και άλυτες ασκήσεις μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 

. Άσκηση με απόλυτες τιμές και παραμέτρους

Να μελετηθεί η συνάρτηση:

$$f(x) = |x^3 - 3x| + a|x - 1|$$

όπου $a \in \mathbb{R}$:

• α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση $f(x)$ δεν είναι παραγωγίσιμη.
• β) Να μελετήσετε την ύπαρξη ακροτάτων ανάλογα με την παράμετρο $a$.
• γ) Να βρείτε το ελάχιστο της $f(x)$ όταν $a = 2$.

---

2. Συνάρτηση με λογαρίθμους και εκθετικές

Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης:

$$f(x) = e^x \ln(x^2 + 1) - \frac{x}{x^2 + 1}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

• α) Υπολογίστε την παράγωγο της $f(x)$ και προσδιορίστε τα κρίσιμα σημεία.
• β) Μελετήστε την κυρτότητα και βρείτε το είδος των ακροτάτων στα κρίσιμα σημεία.
• γ) Εξετάστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα και βρείτε το σύνολο τιμών της.

---

3. Άσκηση με ρίζες και πολυώνυμα

Να μελετήσετε τη συνάρτηση:

$$f(x) = \sqrt{4x - x^2}, \quad x \in [0, 4].$$

• α) Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της $f(x)$.
• β) Υπολογίστε τα ακρότατα της συνάρτησης στο συγκεκριμένο διάστημα.
• γ) Να εξετάσετε τη συμμετρία της συνάρτησης ως προς το σημείο $x = 2$.

---

4. Συνάρτηση με παραμέτρους

Να μελετηθεί η συνάρτηση:

$$f(x) = x^4 - (3k+1)x^2 + k^2,$$

όπου $k \in \mathbb{R}$:

• α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της $f(x)$ ανάλογα με την παράμετρο $k$.
• β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση έχει τοπικά ή σφαιρικά ακρότατα για διαφορετικές τιμές του $k$.
• γ) Να υπολογίσετε τη μικρότερη τιμή της $f(x)$ για $k = 2$.

---

5. Άσκηση με σύνθεση συναρτήσεων

Να μελετηθεί η συνάρτηση:

$$f(x) = g(h(x)), \quad \text{όπου} \quad g(x) = \ln(x) \quad \text{και} \quad h(x) = e^x + \cos(x).$$

• α) Να βρείτε την παράγωγο της $f(x)$.
• β) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στο διάστημα $[0, 2\pi]$.
• γ) Να προσδιορίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης στο συγκεκριμένο διάστημα.

---

6. Άσκηση με σύνθετες συναρτήσεις και περιορισμούς

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης:

$$f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2 + 1}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

• α) Υπολογίστε τα κρίσιμα σημεία της $f(x)$.
• β) Μελετήστε τη μονοτονία και την κυρτότητα της συνάρτησης.
• γ) Βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της στο διάστημα $[-2\pi, 2\pi]$.

---

7. Άσκηση με ολοκληρώματα και παράγωγους

Να μελετηθεί η συνάρτηση:

$$f(x) = \int_0^x (t^3 - 2t^2 + t) \, dt.$$

• α) Να υπολογίσετε την παράγωγο της $f(x)$.
• β) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία και τα ακρότατα της συνάρτησης.
• γ) Να προσδιορίσετε το συνολικό είδος της συνάρτησης (αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα).

---

8. Άσκηση με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης:

$$f(x) = \cos^2(x) - \sin(x), \quad x \in [0, 2\pi].$$

• α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία.
• β) Να εξετάσετε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.
• γ) Να προσδιορίσετε τα τοπικά και σφαιρικά ακρότατα.

Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων μεθοδολογίες παραδείγματα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 399000 ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων

Ανισότητες στα μαθηματικά της Γ λυκείου που τις χρησιμοποιούμε χωρίς να τις αποδείξουμε όταν τις χρησιμοποιήσουμε

 

Το αρχείο βρίσκεται εδώ

Πρόσθετες ασκήσεις στις συναρτήσεις και στα Όρια με παράλληλη παρουσίαση Μεθοδολογίας μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 Για συνέχεια πατήστε εδώ

Για περισσότερα πατήστε  ==>εδώ

 

Επαναληπτικές ασκήσεις στα όρια μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού (για απαιτητικούς μαθητές)

 Επαναληπτικές ασκήσεις στα όρια μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού (Απαιτητικές ασκήσεις )

Σημαντικές επισημάνσεις στις αντίστροφες συναρτήσεις και τις ένα προς ένα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 Σημαντικές επισημάνσεις στις αντίστροφες συναρτήσεις και τις ένα προς ένα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Παρακάτω δίνεται ένα μικρό τμήμα της θεωρίας που αφορά την αντίστροφη συνάρτηση και την συνάρτηση ένα προς ένα (1-1 ).

Στόχος είναι να θυμηθεί ο μαθητής  μερικές ιδιότητες που είναι απαραίτητες σε σχετικές με αυτή ασκήσεις.

Άσκηση στα ακρότατα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 

Και οι απαντήσεις για τα μέλη μόνο εδώ

Προτείνουμε και αυτό :

Τοπικά ακρότατα εύρεση με παραδείγματα και άλυτες ασκήσεις μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Θεώρημα Μέσης Τιμής άσκηση για λύση μαθηματικά προσανατολισμού γ λυκείου

 ΕΚΦΏΝΗΣΗ

  

 

New Big brain‘s team

 

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες

Αν χρειάζεσαι βοήθεια για την λύση των ασκήσεων ή έχεις οποιαδήποτε απορία πάτησε εδώ

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram

Συναρτήσεις μέρος πρώτο μαθηματικά γ λυκείου

Copy of lesson_01_parousiasi_mathjazz.pdf from ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΥ

Μονοτονία μαθηματικά γ λυκείου

 

75 Ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο1= Όρια-Συνέχεια

 

 

Ερωτήσεις με απαντήσεις στα όρια  για επανάληψη  στα μαθηματικά γ λυκείου Προσανατολισμού

 

New Big brain‘s team

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες

Αν χρειάζεσαι βοήθεια για την λύση των ασκήσεων ή έχεις οποιαδήποτε απορία πάτησε εδώ

 

Μην ξεχνάς ότι η μάθηση είναι θέμα κατανόησης και όχι παπαγαλίας !!!

 

Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram

 

Συστηματική ανάλυση λεπτών σημείων στα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού.

 Το αρχείο βρίσκεται εδώ

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες

Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram

Δύο θεωρήματα για την αλλαγή μεταβλητής σε ορισμένο ολοκλήρωμα με αναλυτική προσέγγιση μαθηματικά προσανατολισμού γ λυκείου

 Το αρχείο βρίσκεται  ΜΕΤΑΒΛΗΤΈΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΈΝΟ ΟΛΟΚΛΉΡΩΜΑ

Πλήρης Φροντιστηριακή Υποστήριξη για μαθητές/.τριες  και Φοιτητές /τριες

Για περισσότερες πληροφορίες  εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram

Ασκήσεις στα όρια των συναρτήσεων όταν χ==>χ0 μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

  Το αρχείο βρίσκεται εδώ

 

New Big brain‘s team

 

 

 

 

 

Αν θέλεις να γίνεις μέλος στην ομάδα μας δες πως μπορείς εδώ

 

 

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram

Κυρτότητα και σημεία καμπής με συνδυαστικές ασκήσεις μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Περιέχει συνδυαστικές ασκήσεις με  κλιμακωτό βαθμό δυσκολίας  στην Κυρτότητα και στα Σημεία Καμπής.

Το αρχείο βρίσκεται εδώ

Αν θέλεις να γίνεις μέλος στην ομάδα μας δες πως μπορείς εδώ

Αν θέλεις να  βλέπεις καθημερινά νέα άρθρα μπορείς να το κάνεις ακολουθώντας μας στο Facebook,  ή επισκέψου την ομάδα υποστήριξης μαθημάτων  στο Facebookκαι Instagram