Τοπικά ακρότατα εύρεση με παραδείγματα και άλυτες ασκήσεις μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

 

. Άσκηση με απόλυτες τιμές και παραμέτρους

Να μελετηθεί η συνάρτηση:

$$f(x) = |x^3 - 3x| + a|x - 1|$$

όπου $a \in \mathbb{R}$:

• α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση $f(x)$ δεν είναι παραγωγίσιμη.
• β) Να μελετήσετε την ύπαρξη ακροτάτων ανάλογα με την παράμετρο $a$.
• γ) Να βρείτε το ελάχιστο της $f(x)$ όταν $a = 2$.

---

2. Συνάρτηση με λογαρίθμους και εκθετικές

Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης:

$$f(x) = e^x \ln(x^2 + 1) - \frac{x}{x^2 + 1}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

• α) Υπολογίστε την παράγωγο της $f(x)$ και προσδιορίστε τα κρίσιμα σημεία.
• β) Μελετήστε την κυρτότητα και βρείτε το είδος των ακροτάτων στα κρίσιμα σημεία.
• γ) Εξετάστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα και βρείτε το σύνολο τιμών της.

---

3. Άσκηση με ρίζες και πολυώνυμα

Να μελετήσετε τη συνάρτηση:

$$f(x) = \sqrt{4x - x^2}, \quad x \in [0, 4].$$

• α) Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της $f(x)$.
• β) Υπολογίστε τα ακρότατα της συνάρτησης στο συγκεκριμένο διάστημα.
• γ) Να εξετάσετε τη συμμετρία της συνάρτησης ως προς το σημείο $x = 2$.

---

4. Συνάρτηση με παραμέτρους

Να μελετηθεί η συνάρτηση:

$$f(x) = x^4 - (3k+1)x^2 + k^2,$$

όπου $k \in \mathbb{R}$:

• α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της $f(x)$ ανάλογα με την παράμετρο $k$.
• β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση έχει τοπικά ή σφαιρικά ακρότατα για διαφορετικές τιμές του $k$.
• γ) Να υπολογίσετε τη μικρότερη τιμή της $f(x)$ για $k = 2$.

---

5. Άσκηση με σύνθεση συναρτήσεων

Να μελετηθεί η συνάρτηση:

$$f(x) = g(h(x)), \quad \text{όπου} \quad g(x) = \ln(x) \quad \text{και} \quad h(x) = e^x + \cos(x).$$

• α) Να βρείτε την παράγωγο της $f(x)$.
• β) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στο διάστημα $[0, 2\pi]$.
• γ) Να προσδιορίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης στο συγκεκριμένο διάστημα.

---

6. Άσκηση με σύνθετες συναρτήσεις και περιορισμούς

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης:

$$f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2 + 1}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

• α) Υπολογίστε τα κρίσιμα σημεία της $f(x)$.
• β) Μελετήστε τη μονοτονία και την κυρτότητα της συνάρτησης.
• γ) Βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της στο διάστημα $[-2\pi, 2\pi]$.

---

7. Άσκηση με ολοκληρώματα και παράγωγους

Να μελετηθεί η συνάρτηση:

$$f(x) = \int_0^x (t^3 - 2t^2 + t) \, dt.$$

• α) Να υπολογίσετε την παράγωγο της $f(x)$.
• β) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία και τα ακρότατα της συνάρτησης.
• γ) Να προσδιορίσετε το συνολικό είδος της συνάρτησης (αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα).

---

8. Άσκηση με τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης:

$$f(x) = \cos^2(x) - \sin(x), \quad x \in [0, 2\pi].$$

• α) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία.
• β) Να εξετάσετε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.
• γ) Να προσδιορίσετε τα τοπικά και σφαιρικά ακρότατα.