Η μελέτη των συναρτήσεων στο μάθημα των μαθηματικών τάξεων

 Εισαγωγή

Αυτή η εργασία μαθήματος είναι αφιερωμένη στη μελέτη συναρτήσεων στο μάθημα των μαθηματικών VII-VIII τάξεων. Δίνει μια ιστορική επισκόπηση του ορισμού της έννοιας της λειτουργίας, εξετάζει διάφορες προσεγγίσεις για την εισαγωγή της έννοιας της λειτουργίας στο σχολείο. Ξεχωριστά, εξετάζονται τα γενικά ερωτήματα της μεθοδολογίας για την εισαγωγή εννοιών: ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή, λειτουργική εξάρτηση, όρισμα, συνάρτηση, εύρος της συνάρτησης. Δίνονται παραδείγματα.

Το κύριο μέρος της εργασίας του μαθήματος στοχεύει στην εξέταση των θεμάτων της μεθοδολογίας για τη μελέτη στις τάξεις VII-VIII του σχολικού μαθήματος των μαθηματικών συναρτήσεων που σχηματίζουν τάξεις που έχουν κοινή αναλυτική μέθοδο για τον καθορισμό συναρτήσεων, παρόμοια χαρακτηριστικά γραφημάτων, και τομείς εφαρμογής. Η ανάπτυξη μιας μεμονωμένης συνάρτησης λαμβάνει χώρα σε σύγκριση με τα χαρακτηριστικά που είναι ειδικά για αυτήν, με μια γενική ιδέα για τη λειτουργία. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στη μεθοδολογία μελέτης γραμμικών, τετραγωνικών και κυβικών συναρτήσεων και των γραφημάτων τους, καθώς και στις έννοιες της αντίστροφης συνάρτησης και συνάρτησης της μορφής y=√¯x.

Ορισμός συνάρτησης

Ξεκινώντας από τον 17ο αιώνα. μια από τις πιο σημαντικές έννοιες είναι η έννοια της συνάρτησης. Έπαιξε και παίζει μεγάλο ρόλο στη γνώση του πραγματικού κόσμου.

Η ιδέα της λειτουργικής εξάρτησης χρονολογείται από την αρχαιότητα, περιέχεται ήδη στις πρώτες μαθηματικά εκφρασμένες σχέσεις μεταξύ των ποσοτήτων, στους πρώτους κανόνες για πράξεις σε αριθμούς, στους πρώτους τύπους για την εύρεση του εμβαδού και του όγκου ορισμένων ψηφίων.

Εκείνοι οι Βαβυλώνιοι επιστήμονες που πριν από 4-5 χιλιάδες χρόνια βρήκαν τον τύπο S = 3r ² (περίπου κατά προσέγγιση) για την περιοχή S ενός κύκλου με ακτίνα r, καθιστώντας έτσι, αν και όχι συνειδητά, ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι συνάρτηση της ακτίνας του. Οι πίνακες τετραγώνων και οι κύβοι αριθμών, που χρησιμοποιούνται επίσης από τους Βαβυλώνιους, είναι αναθέσεις συναρτήσεων.

Ωστόσο, η ρητή και αρκετά συνειδητή εφαρμογή της έννοιας της συνάρτησης και η συστηματική μελέτη της λειτουργικής εξάρτησης προέρχονται από τον 17ο αιώνα. σε σχέση με τη διείσδυση της ιδέας των μεταβλητών στα μαθηματικά. Στη «Γεωμετρία» του Descartes και στα έργα των Fermat, Newton και Leibniz, η έννοια της συνάρτησης ήταν ουσιαστικά διαισθητική και συνδέθηκε είτε με γεωμετρικές είτε με μηχανικές αναπαραστάσεις: οι τεταγμένες των σημείων των καμπυλών είναι συναρτήσεις του τετμημένα (x); η διαδρομή και η ταχύτητα είναι συναρτήσεις του χρόνου (t) και τα παρόμοια.

Σαφής αναπαράσταση της έννοιας της λειτουργίας στον XVII αιώνα. δεν ήταν ακόμη, ο δρόμος για τον πρώτο τέτοιο ορισμό άνοιξε ο Descartes, ο οποίος θεωρούσε συστηματικά στη «Γεωμετρία» του μόνο εκείνες τις καμπύλες που μπορούν να αναπαρασταθούν ακριβώς χρησιμοποιώντας εξισώσεις, επιπλέον, κυρίως αλγεβρικές. Σταδιακά, η έννοια της συνάρτησης άρχισε να ταυτίζεται με αυτόν τον τρόπο με την έννοια της αναλυτικής έκφρασης - ενός τύπου.

Η λέξη "λειτουργία" (από το λατινικό functio - επίτευγμα, απόδοση) ο Leibniz χρησιμοποιούσε από το 1673 με την έννοια του ρόλου (μια τιμή που εκτελεί μια συγκεκριμένη λειτουργία). Ως όρος με την έννοια μας, η έκφραση "συνάρτηση του x" άρχισε να χρησιμοποιείται από τους Leibniz και I. Bernoulli. ξεκινώντας από το 1698, ο Leibniz εισήγαγε επίσης τους όρους «μεταβλητή» και «σταθερά» (σταθερά). Για να ορίσει μια αυθαίρετη συνάρτηση του x, ο Johann Bernoulli χρησιμοποίησε το πρόσημο j x, ονομάζοντας j το χαρακτηριστικό της συνάρτησης, καθώς και τα γράμματα x ή e. Ο Leibniz χρησιμοποίησε x ¹ , x ²αντί για το σύγχρονο f1(x), f2(x). Euler συμβολίζεται με f : x, f : (x + y) τι συμβολίζουμε τώρα με f (x), f (x + y). Μαζί με το j, ο Euler προτείνει τη χρήση των γραμμάτων F, Y και άλλα. Ο d'Alembert κάνει ένα βήμα προς τα εμπρός προς τη σύγχρονη σημειογραφία αφήνοντας την άνω και κάτω τελεία Euler. γράφει, για παράδειγμα, jt, j (t + s).

Ένας ρητός ορισμός μιας συνάρτησης δόθηκε για πρώτη φορά το 1718 από έναν από τους μαθητές και συνεργάτες του Leibniz, τον εξαιρετικό Ελβετό μαθηματικό Johann Bernoulli: "Μια συνάρτηση μιας μεταβλητής ονομάζεται μια ποσότητα που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή και τις σταθερές."

Ο Leonard Euler στο Introduction to the Analysis of Infinites (1748) προσεγγίζει τον ορισμό του δασκάλου του I. Bernoulli, αποσαφηνίζοντάς τον κάπως. Ο ορισμός του L. Euler λέει: «Μια συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας είναι μια αναλυτική έκφραση, που αποτελείται κατά κάποιο τρόπο από αυτήν την ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες». Έτσι κατανοήθηκε η λειτουργία σε ολόκληρο σχεδόν τον 18ο αιώνα. d'Alembert, Lagrange και άλλοι εξέχοντες μαθηματικοί. Όσο για τον Euler, δεν τηρούσε πάντα αυτόν τον ορισμό. στα έργα του η έννοια της συνάρτησης αναπτύχθηκε περαιτέρω σύμφωνα με τις απαιτήσεις της μαθηματικής επιστήμης. Σε μερικά από τα έργα του, ο L. Euler δίνει ένα ευρύτερο νόημα στη συνάρτηση, κατανοώντας την ως μια καμπύλη που χαράσσεται από την «ελεύθερη έλξη του χεριού». Σε σχέση με αυτή την άποψη του L. Euler για τη λειτουργία μεταξύ του ίδιου και των συγχρόνων του, κυρίως του σταθερού του αντιπάλου, Ο d'Alembert, ένας σπουδαίος Γάλλος μαθηματικός, προέκυψε μια μεγάλη διαμάχη γύρω από το ζήτημα της δυνατότητας μιας αναλυτικής έκφρασης μιας αυθαίρετης καμπύλης και ποια από τις δύο έννοιες (καμπύλη ή τύπος) πρέπει να θεωρηθεί ευρύτερη. Έτσι προέκυψε η περίφημη διαμάχη που συνδέεται με τη μελέτη των δονήσεων χορδών.

Στον «Διαφορικό Λογισμό», που δημοσιεύτηκε το 1755, ο L. Euler δίνει έναν γενικό ορισμό της συνάρτησης: «Όταν ορισμένες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες με τέτοιο τρόπο ώστε όταν οι τελευταίες αλλάζουν, οι ίδιες υφίστανται αλλαγή, τότε οι πρώτες ονομάζονται λειτουργίες του τελευταίου». «Αυτή η ονομασία», συνεχίζει ο Euler, «έχει έναν εξαιρετικά ευρύ χαρακτήρα. περιλαμβάνει όλους τους τρόπους με τους οποίους προσδιορίζεται μια ποσότητα μέσω άλλων». Με βάση αυτόν τον ορισμό του Euler, ο Γάλλος μαθηματικός S. F. Lacroix, στην Πραγματεία του για τον Διαφορικό και Ολοκληρωμένο Λογισμό, που δημοσιεύθηκε το 1797, μπόρεσε να γράψει τα εξής: «Κάθε ποσότητα της οποίας η τιμή εξαρτάται από μία ή πολλές άλλες ποσότητες ονομάζεται συνάρτηση. από αυτά τα δεύτερα, ανεξάρτητα από το αν είναι ή όχι γνωστό ποιες πράξεις πρέπει να εφαρμοστούν για να περάσουν από αυτές στην πρώτη.

Όπως φαίνεται από αυτούς τους ορισμούς, η ίδια η έννοια της συνάρτησης στην πραγματικότητα ταυτίστηκε με μια αναλυτική έκφραση. Νέα βήματα στην ανάπτυξη των φυσικών επιστημών και των μαθηματικών τον 19ο αιώνα. προκάλεσε μια περαιτέρω γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης.

Μεγάλη συνεισφορά στη λύση της διαφοράς είχαν οι Euler, D'Alembert, D. Bernoulli και άλλοι επιστήμονες του 18ου αιώνα. σχετικά με το τι πρέπει να γίνει κατανοητό ως συνάρτηση, εισήγαγε ο Γάλλος μαθηματικός Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), ο οποίος ασχολήθηκε κυρίως με τη μαθηματική φυσική. Στις εργασίες που παρουσίασε στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού το 1807 και το 1811 σχετικά με τη θεωρία της διάδοσης της θερμότητας σε ένα στερεό σώμα, ο Fourier έδωσε επίσης τα πρώτα παραδείγματα συναρτήσεων που δίνονται σε διαφορετικές περιοχές με διαφορετικές αναλυτικές εκφράσεις.

Από τα έργα του Fourier ήταν σαφές ότι οποιαδήποτε καμπύλη, ανεξάρτητα από το πόσα και από ποια ετερογενή μέρη αποτελείται, μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια ενιαία αναλυτική έκφραση και ότι υπάρχουν επίσης ασυνεχείς καμπύλες που αντιπροσωπεύονται από μια αναλυτική έκφραση. Στο «Course of Algebraic Analysis», που δημοσιεύτηκε το 1821, ο Γάλλος μαθηματικός O. Cauchy τεκμηρίωσε τα συμπεράσματα του Fourier. Έτσι, σε ένα ορισμένο στάδιο στην ανάπτυξη της φυσικής και των μαθηματικών, κατέστη σαφές ότι έπρεπε να χρησιμοποιήσει κανείς τέτοιες συναρτήσεις, για τον προσδιορισμό των οποίων είναι πολύ δύσκολο ή και αδύνατο να περιοριστεί κανείς σε μία μόνο αναλυτική συσκευή. Το τελευταίο άρχισε να επιβραδύνει την επέκταση της έννοιας της συνάρτησης που απαιτείται από τα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες.

Το 1834, στο έργο του «Σχετικά με την εξαφάνιση των τριγωνομετρικών σειρών», ο N. I. Lobachevsky, αναπτύσσοντας τον προαναφερθέντα ορισμό Euler μιας συνάρτησης το 1755, έγραψε: «Η γενική έννοια απαιτεί μια συνάρτηση του x να ονομάζεται αριθμός που δίνεται για κάθε x και μαζί με το x αλλάζει σταδιακά. Η τιμή μιας συνάρτησης μπορεί να δοθεί είτε από μια αναλυτική έκφραση είτε από μια συνθήκη που παρέχει ένα μέσο δοκιμής όλων των αριθμών και επιλογής ενός από αυτούς. ή, τέλος, η εξάρτηση μπορεί να υπάρχει και να παραμένει άγνωστη... Η ευρεία άποψη της θεωρίας παραδέχεται την ύπαρξη εξάρτησης μόνο με την έννοια ότι οι αριθμοί, ο ένας με τον άλλον σε σύνδεση, λαμβάνονται σαν να δίνονται μαζί.

Ακόμη και πριν από τον Λομπατσέφσκι, παρόμοια άποψη για την έννοια της συνάρτησης είχε εκφράσει ο Τσέχος μαθηματικός B. Bolzano. Το 1837, ο Γερμανός μαθηματικός P. Lejeune-Dirichlet διατύπωσε τον γενικό ορισμό της έννοιας της συνάρτησης ως εξής: «y είναι μια συνάρτηση της μεταβλητής x (στο τμήμα a £ x £ b), αν κάθε τιμή του x ( σε αυτό το τμήμα) αντιστοιχεί σε μια εντελώς καθορισμένη τιμή του y και δεν έχει καμία διαφορά πώς καθορίζεται αυτή η αντιστοιχία - με αναλυτικό τύπο, γράφημα, πίνακα ή ακόμα και μόνο λέξεις.

Έτσι, γύρω στα μέσα του XIX αιώνα. μετά από μακρά διαμάχη απόψεων, η έννοια της συνάρτησης απελευθερώθηκε από τους δεσμούς μιας αναλυτικής έκφρασης, από τον αυταρχισμό ενός μαθηματικού τύπου. Η κύρια έμφαση στον νέο γενικό ορισμό της έννοιας της συνάρτησης δίνεται στην ιδέα της αντιστοιχίας.

Στο δεύτερο μισό του XIX αιώνα. μετά τη δημιουργία της θεωρίας των συνόλων, εκτός από την ιδέα της αντιστοιχίας, η ιδέα ενός συνόλου συμπεριλήφθηκε στην έννοια της συνάρτησης. Έτσι, στο σύνολό του, ο γενικός ορισμός της έννοιας της συνάρτησης διατυπώνεται ως εξής: εάν κάθε στοιχείο x του συνόλου Α σχετίζεται με κάποιο συγκεκριμένο στοιχείο y του συνόλου Β, τότε λέμε ότι η συνάρτηση y \u003d f (x) δίνεται στο σύνολο A ή ότι το σύνολο A αντιστοιχίζεται στο σύνολο B. Στην πρώτη περίπτωση, τα στοιχεία x του συνόλου A ονομάζονται τιμές του ορίσματος και τα στοιχεία y του Το σύνολο Β ονομάζονται τιμές της συνάρτησης. στη δεύτερη περίπτωση, τα x είναι πρωτότυπα, τα y είναι εικόνες. Με τη σύγχρονη έννοια, θεωρούνται συναρτήσεις που ορίζονται για ένα σύνολο τιμών x, οι οποίες, ίσως, δεν γεμίζουν το τμήμα a £ x £ b, το οποίο αναφέρεται στον ορισμό του Dirichlet. Αρκεί να επισημάνουμε, για παράδειγμα, την παραγοντική συνάρτηση y = n!, δίνεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Η γενική έννοια της συνάρτησης ισχύει, φυσικά, όχι μόνο σε ποσότητες και αριθμούς, αλλά και σε άλλα μαθηματικά αντικείμενα, για παράδειγμα, σε γεωμετρικά σχήματα. Με οποιονδήποτε γεωμετρικό μετασχηματισμό (χαρτογράφηση), έχουμε να κάνουμε με μια συνάρτηση.

Ο γενικός ορισμός των συναρτήσεων σύμφωνα με τον Dirichlet διαμορφώθηκε μετά από έναν αιώνα συζητήσεων ως αποτέλεσμα σημαντικών ανακαλύψεων στη φυσική και τα μαθηματικά τον 18ο και το πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Περαιτέρω ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης τον XIX αιώνα. με βάση αυτόν τον ορισμό, που έχει γίνει κλασικός. Όμως από τις αρχές του 20ου αιώνα αυτός ο ορισμός άρχισε να προκαλεί κάποιες αμφιβολίες σε ένα μέρος των μαθηματικών. Ακόμη πιο σημαντική ήταν η κριτική των φυσικών που έπεσαν πάνω σε φαινόμενα που απαιτούσαν μια ευρύτερη άποψη της συνάρτησης. Η ανάγκη για περαιτέρω επέκταση της έννοιας της συνάρτησης έγινε ιδιαίτερα έντονη μετά τη δημοσίευση το 1930 του βιβλίου "Fundamentals of Quantum Mechanics" του Paul Dirac, του μεγαλύτερου Άγγλου φυσικού, ενός από τους ιδρυτές της κβαντικής μηχανικής. Ο Dirac εισήγαγε τη λεγόμενη συνάρτηση δέλτα, η οποία υπερβαίνει κατά πολύ τον κλασικό ορισμό μιας συνάρτησης.

Σε γενικές γραμμές, η έννοια της γενικευμένης συνάρτησης εισήχθη από τον Γάλλο Laurent Schwartz. Το 1936, ο 28χρονος Σοβιετικός μαθηματικός και μηχανικός Sergei L'vovich Sobolev ήταν ο πρώτος που εξέτασε μια ειδική περίπτωση μιας γενικευμένης συνάρτησης, συμπεριλαμβανομένης της συνάρτησης δέλτα, και εφάρμοσε τη θεωρία που δημιουργήθηκε για να λύσει μια σειρά προβλημάτων στη μαθηματική φυσική. . Σημαντική συμβολή στην ανάπτυξη της θεωρίας των γενικευμένων συναρτήσεων είχαν μαθητές και οπαδοί των L. Schwartz - I. M. Gel'fand, G. E. Shilov κ.α.

Ανιχνεύοντας την ιστορική διαδρομή της ανάπτυξης της έννοιας της συνάρτησης, καταλήγουμε άθελά μας στο συμπέρασμα ότι η εξέλιξη απέχει πολύ από το να τελειώσει και, πιθανότατα, δεν θα τελειώσει ποτέ, όπως και η εξέλιξη των μαθηματικών στο σύνολό της δεν θα τελειώσει ποτέ. Νέες ανακαλύψεις και απαιτήσεις των φυσικών και άλλων επιστημών θα οδηγήσουν σε νέες προεκτάσεις της έννοιας της συνάρτησης και άλλων μαθηματικών εννοιών. Τα μαθηματικά είναι μια ημιτελής επιστήμη, αναπτύχθηκε επί χιλιετίες, αναπτύσσεται στην εποχή μας και θα συνεχίσει να αναπτύσσεται στο μέλλον.

Διαφορετικές προσεγγίσεις στον ορισμό της έννοιας της συνάρτησης.

Η τεκμηρίωση της συναρτησιακής γραμμής ως κορυφαίας για το μάθημα των σχολικών μαθηματικών είναι ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της σύγχρονης μεθοδολογίας. Ωστόσο, αυτή η διάταξη μπορεί να εφαρμοστεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. η ποικιλία των μονοπατιών προκαλείται από τη θεμελιώδη φύση της ίδιας της έννοιας μιας συνάρτησης.

Για να σχηματίσουμε μια ιδέα αυτής της ποικιλομορφίας, ας συγκρίνουμε τις δύο πιο έντονα διαφορετικές μεθοδολογικές ερμηνείες αυτής της έννοιας. Το πρώτο θα το ονομάσουμε γενετικό, και το δεύτερο λογικό.

Η γενετική ερμηνεία της έννοιας της συνάρτησης βασίζεται στην ανάπτυξη και μεθοδολογική ανάπτυξη των κύριων χαρακτηριστικών που περιλαμβάνονταν στην έννοια της λειτουργίας μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα. Οι πιο ουσιώδεις έννοιες που, σύμφωνα με αυτήν την ερμηνεία, περιλαμβάνονται στο σύστημα των συναρτησιακών αναπαραστάσεων είναι μια μεταβλητή, μια λειτουργική εξάρτηση μεταβλητών, ένας τύπος (που εκφράζει μια μεταβλητή μέσω κάποιου συνδυασμού άλλων μεταβλητών) και ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο .

Η γενετική επέκταση της έννοιας της λειτουργίας έχει μια σειρά από πλεονεκτήματα. Τονίζει τη «δυναμική» φύση της έννοιας της λειτουργικής εξάρτησης, αποκαλύπτει εύκολα την πρότυπη πτυχή της έννοιας της συνάρτησης σε σχέση με τη μελέτη των φυσικών φαινομένων. Μια τέτοια ερμηνεία συνδέεται φυσικά με το υπόλοιπο περιεχόμενο του μαθήματος της άλγεβρας, αφού οι περισσότερες από τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται σε αυτό εκφράζονται αναλυτικά ή πίνακα.

Η γενετική ερμηνεία της έννοιας της λειτουργίας περιέχει επίσης χαρακτηριστικά που θα πρέπει να θεωρηθούν περιοριστικά. Ένας από τους πολύ σημαντικούς περιορισμούς είναι ότι η μεταβλητή σε αυτήν την προσέγγιση θεωρείται πάντα σιωπηρά (ή ακόμα και ρητά) ότι διατρέχει μια συνεχή σειρά αριθμητικών τιμών. Επομένως, σε μεγάλο βαθμό, η έννοια συνδέεται μόνο με αριθμητικές συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος (που ορίζεται σε αριθμητικά διαστήματα). Στη μάθηση, είναι απαραίτητο, χρησιμοποιώντας και αναπτύσσοντας λειτουργικές αναπαραστάσεις, να υπερβαίνουμε συνεχώς την αρχική περιγραφή.

Η λογική ερμηνεία της έννοιας μιας συνάρτησης προέρχεται από τη θέση ότι η εκπαίδευση σε λειτουργικές αναπαραστάσεις θα πρέπει να οικοδομηθεί με βάση μια μεθοδική ανάλυση της έννοιας μιας συνάρτησης στο πλαίσιο της έννοιας ενός αλγεβρικού συστήματος. Με αυτήν την προσέγγιση, μια συνάρτηση λειτουργεί ως ένας ειδικός τύπος σχέσης μεταξύ δύο συνόλων που ικανοποιεί την προϋπόθεση της λειτουργικότητας. Το αρχικό στάδιο στη μελέτη της έννοιας της συνάρτησης είναι η εξαγωγή της από την έννοια της σχέσης.

Η εφαρμογή της λογικής προσέγγισης καθιστά απαραίτητη την απεικόνιση της έννοιας μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας μια ποικιλία μέσων. εμπλουτίζεται έτσι η γλώσσα των σχολικών μαθηματικών. Εκτός από τους τύπους και τους πίνακες, υπάρχει ένας χώρος για τον καθορισμό μιας συνάρτησης με βέλη, την απαρίθμηση ζευγών, χρησιμοποιώντας όχι μόνο αριθμητικό, αλλά και γεωμετρικό υλικό. Σε αυτή την προσέγγιση, είναι δυνατό να θεωρηθεί ο γεωμετρικός μετασχηματισμός ως συνάρτηση. Η γενίκευση της αναδυόμενης έννοιας και οι επακόλουθες δυνατότητες δημιουργίας διαφόρων συνδέσεων στη διδασκαλία των μαθηματικών είναι τα κύρια πλεονεκτήματα μιας τέτοιας ερμηνείας.

Ωστόσο, η γενική ιδέα που αναπτύχθηκε σε αυτό το μονοπάτι αποδεικνύεται ότι σχετίζεται περαιτέρω κυρίως με τις αριθμητικές συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος, δηλαδή με την περιοχή στην οποία είναι πολύ πιο εύκολο να σχηματιστεί σε γενετική βάση.

Έτσι, εάν η γενετική προσέγγιση είναι ανεπαρκής για το σχηματισμό μιας συνάρτησης ως γενικευμένης έννοιας, τότε η λογική αποκαλύπτει έναν ορισμένο πλεονασμό. Σημειώστε ότι οι διαφορές στις ερμηνείες της συνάρτησης είναι πιο έντονες όταν εισάγεται αυτή η έννοια. Στην περαιτέρω μελέτη της συναρτησιακής γραμμής, οι διαφορές διαγράφονται σταδιακά, αφού αυτό που μελετάται στα μαθήματα της άλγεβρας και στην αρχή της ανάλυσης δεν είναι η ίδια η έννοια της συνάρτησης, αλλά κυρίως συγκεκριμένες συναρτήσεις και κατηγορίες συναρτήσεων, οι διάφορες τους εφαρμογές σε προβλήματα φυσικών επιστημών και κοινωνικής παραγωγής.

Ως αποτέλεσμα μακρών μεθοδολογικών αναζητήσεων, η γενετική προσέγγιση της έννοιας της συνάρτησης υιοθετήθηκε ως η κορυφαία στο σύγχρονο σχολικό μάθημα στα μαθηματικά. Ταυτόχρονα λαμβάνεται υπόψη οτιδήποτε πολύτιμο μπορεί να εξαχθεί από τη λογική προσέγγιση. Κατόπιν αυτού, κατά τη διαμόρφωση εννοιών και ιδεών, μεθόδων και τεχνικών ως μέρος μιας λειτουργικής γραμμής, το εκπαιδευτικό σύστημα είναι χτισμένο με τέτοιο τρόπο ώστε η προσοχή των μαθητών να εστιάζεται, πρώτον, σε ξεχωριστές και αρκετά σαφώς οριοθετημένες ιδέες που σχετίζονται με τη λειτουργία , και, δεύτερον, για την καθιέρωση της αλληλεπίδρασής τους κατά την ανάπτυξη του εκπαιδευτικού υλικού. Με άλλα λόγια, στην προπόνηση θα πρέπει να ξεχωρίσει το σύστημα των συνιστωσών της έννοιας της συνάρτησης και να δημιουργήσει μια σύνδεση μεταξύ τους. Αυτό το σύστημα περιλαμβάνει τα ακόλουθα στοιχεία:

- κατανόηση της λειτουργικής εξάρτησης των μεταβλητών

ποσότητες σε πραγματικές διαδικασίες και στα μαθηματικά.

- αναπαράσταση της λειτουργίας ως αντιστοιχίας.

- κατασκευή και χρήση γραφημάτων συναρτήσεων, έρευνα συναρτήσεων.

- υπολογισμός των τιμών συνάρτησης που ορίζονται από διάφορες

τρόπους.

Στη διαδικασία διδασκαλίας της άλγεβρας, όλα αυτά τα στοιχεία είναι παρόντα σε οποιαδήποτε προσέγγιση της έννοιας μιας συνάρτησης, αλλά η έμφαση μπορεί να δοθεί σε ένα από αυτά. Όπως μόλις σημειώσαμε, το λειτουργικό στοιχείο είναι η βάση για την εισαγωγή και τη μελέτη της έννοιας της συνάρτησης. Σε αυτή τη βάση, κατά την οργάνωση της εργασίας για τον ορισμό, εισάγονται και άλλα στοιχεία, τα οποία εκδηλώνονται με διάφορους τρόπους προσδιορισμού της λειτουργικής εξάρτησης και της γραφικής αναπαράστασής της.

Ας εξετάσουμε τώρα την αλληλεπίδραση των στοιχείων χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα που σχετίζεται με το σχηματισμό εφαρμοσμένων δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Παράδειγμα 1. Από το κρύο, ένα βάζο με πάγο μπήκε στο δωμάτιο και άρχισαν να παρατηρούν την αλλαγή της θερμοκρασίας της ουσίας στο βάζο: ο πάγος έλιωνε σταδιακά, όταν έλιωνε όλα, η θερμοκρασία του νερού άρχισε να αυξάνεται μέχρι ισοδυναμούσε με τη θερμοκρασία στο δωμάτιο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της θερμοκρασίας σε σχέση με το χρόνο.

Να απαντήσετε στις ερωτήσεις: α) Ποια είναι η αρχική θερμοκρασία του πάγου; β) Πόσος χρόνος χρειάστηκε για να ανέβει η θερμοκρασία του πάγου στους 0°C; γ) Ποια είναι η θερμοκρασία στο δωμάτιο; δ) Να αναφέρετε την περιοχή στην οποία ορίζεται η συνάρτηση, τα διαστήματα αύξησης της, το διάστημα στο οποίο είναι σταθερή.

Σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να χρησιμοποιηθούν όλα τα στοιχεία εκτός από το τελευταίο στοιχείο, το στοιχείο υπολογισμού. Η διαδικασία παρουσιάζεται ως λειτουργική εξάρτηση από την αρχή. Σε ερωτήσεις, απαιτείται να διευκρινιστεί η φύση αυτής της εξάρτησης (ερώτηση δ)), να μάθουμε τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης και του ορίσματος σε ορισμένα σημεία της διαδικασίας (ερωτήσεις α) και γ)).

Η έννοια μιας συνάρτησης, στο σύστημα σχηματισμού της οποίας θα πρέπει να υπάρχουν τέτοιες εργασίες, εμφανίζεται αμέσως στο μάθημα των μαθηματικών ως ένα συγκεκριμένο μαθηματικό μοντέλο, το οποίο είναι το κίνητρο για τη εις βάθος μελέτη του.

Μέθοδοι εισαγωγής εννοιών: συναρτήσεις, ορίσματα, τομείς.

Παρά τον εξαιρετικά μεγάλο όγκο, το εύρος και την πολυπλοκότητα της έννοιας μιας συνάρτησης, η πιο απλή εκδοχή της δίνεται ήδη στις μεσαίες τάξεις του σχολείου. Αυτή η έννοια παίζει σημαντικό ρόλο στο μέλλον, αποτελώντας βασική έννοια στη μελέτη της άλγεβρας και στις αρχές της ανάλυσης. Ξεκινώντας από την 7η τάξη της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, γίνεται σταδιακή μελέτη των ιδιοτήτων των συναρτήσεων και των λειτουργικών εξαρτήσεων. Λαμβάνονται υπόψη διάφορες κατηγορίες συναρτήσεων: ξεκινώντας από τις απλούστερες γραμμικές συναρτήσεις και τα γραφήματα τους, ακολουθούν οι δευτεροβάθμιες συναρτήσεις, οι συναρτήσεις αντίστροφης αναλογικότητας και οι γραμμικές κλασματικές συναρτήσεις. Στις μεγαλύτερες τάξεις εισάγονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τέλος εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις. Όλες αυτές οι συναρτήσεις θεωρούνται μόνο ως συναρτήσεις μιας μεταβλητής και οι ίδιες οι μεταβλητές δεν υπερβαίνουν το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Επί του παρόντος, στον απόηχο της παιδαγωγικής έρευνας, έχουν αρχίσει να εμφανίζονται πολλά πειραματικά εγχειρίδια για χρήση στα σχολεία. Μαζί με καλά, λογικά γραμμένα εγχειρίδια, υπό το πρόσχημα της έγκρισης, άρχισε να μπαίνει στα σχολεία μια μάζα εγχειριδίων με μια μάλλον ελεύθερη ερμηνεία του εκπαιδευτικού υλικού, συμπεριλαμβανομένων κεφαλαίων για τη μελέτη των λειτουργιών. Συχνά παραβιάζεται η λογική σειρά των υπό μελέτη ενοτήτων, γίνονται λάθη στην κατασκευή γραφημάτων, το υλικό είναι αδικαιολόγητα απλοποιημένο, πρωτόγονο ή αντίστροφα, υπερβολικά υπερφορτωμένο με όρους και σύμβολα.

Η εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης είναι μια μακρά διαδικασία, που καταλήγει στο σχηματισμό ιδεών για όλα τα συστατικά αυτής της έννοιας στη διασύνδεσή τους και για το ρόλο που διαδραματίζει στα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους. Αυτή η διαδικασία πραγματοποιείται σε τρεις κύριες κατευθύνσεις:

- εξορθολογισμός των υπαρχουσών ιδεών για τη συνάρτηση, ανάπτυξη ενός συστήματος εννοιών χαρακτηριστικών της λειτουργικής γραμμής (μέθοδοι ρύθμισης και γενικές ιδιότητες των συναρτήσεων, γραφικό

ερμηνεία του τομέα ορισμού, εύρους τιμών, αύξησης κ.λπ. με βάση τη μέθοδο των συντεταγμένων).

- βαθιά μελέτη των επιμέρους λειτουργιών και των τάξεων τους.

- επέκταση του πεδίου εφαρμογής της άλγεβρας συμπεριλαμβάνοντας σε αυτό την ιδέα μιας συνάρτησης και ενός διακλαδισμένου συστήματος ενεργειών με μια συνάρτηση.

Η πρώτη από αυτές τις κατευθύνσεις εμφανίζεται στην πορεία της σχολικής άλγεβρας νωρίτερα από τις άλλες.

Στην υλοποίηση αυτής της κατεύθυνσης, σημαντική θέση δίνεται στην αφομοίωση μιας σημαντικής αναπαράστασης που περιλαμβάνεται στην έννοια της συνάρτησης - η μοναδικότητα της αντιστοιχίας ενός επιχειρήματος και η τιμή μιας συνάρτησης που καθορίζεται από αυτό. Για την αντιμετώπιση αυτού του ζητήματος, εμπλέκονται διάφοροι τρόποι ορισμού μιας συνάρτησης.

Πιο συχνά από άλλα στα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους, χρησιμοποιείται η προδιαγραφή μιας συνάρτησης από έναν τύπο. Όλες οι άλλες μέθοδοι παίζουν δευτερεύοντα ρόλο. Γι' αυτό, μετά την πρώτη γνωριμία με αρκετές τέτοιες μεθόδους, η κύρια προσοχή στην εκπαίδευση δίνεται σε εκείνες τις συναρτήσεις και τις τάξεις που έχουν μια τυπική αλγεβρική μορφή της έκφρασής τους. Ωστόσο, κατά την εισαγωγή της έννοιας, η σύγκριση διαφορετικών τρόπων ορισμού μιας συνάρτησης παίζει σημαντικό ρόλο. Πρώτον, συνδέεται με μια πρακτική ανάγκη: τόσο οι πίνακες όσο και τα γραφήματα, κατά κανόνα, χρησιμεύουν για μια βολική αναπαράσταση μιας συνάρτησης σε ορισμένες περιπτώσεις, η οποία έχει αναλυτική σημείωση. Δεύτερον, είναι σημαντικό για τον έλεγχο όλης της ποικιλίας των πτυχών της έννοιας της συνάρτησης. Ένας τύπος εκφράζει μια συνάρτηση μόνο όταν περιλαμβάνεται στο αντίστοιχο σύστημα αναπαραστάσεων και πράξεων και αυτό το σύστημα είναι τέτοιο ώστε

Η χρήση της μετάφρασης μιας ανάθεσης συνάρτησης από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη είναι μια απαραίτητη μεθοδολογική τεχνική κατά την εισαγωγή της έννοιας μιας συνάρτησης.

Η εφαρμογή αυτής της τεχνικής συνίσταται στη χρήση ενός συστήματος εργασιών στο οποίο παρουσιάζονται όλες οι περιπτώσεις μιας τέτοιας μεταφοράς. Εάν περιοριστούμε στους κύριους τρόπους αναπαράστασης μιας συνάρτησης - έναν τύπο, ένα γράφημα, έναν πίνακα, τότε λαμβάνουμε 6 τύπους ασκήσεων στις οποίες αλλάζει η μορφή αναπαράστασης και 3 - στους οποίους παραμένει η ίδια. Ακολουθούν παραδείγματα εργασιών του πρώτου τύπου - αλλαγή της φόρμας παρουσίασης:

α) Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d 4x + 1 στο διάστημα [0; 2].

β) Ελέγξτε πόσο ακριβής είναι ο πίνακας των τετραγώνων των αριθμών παίρνοντας πολλές τιμές για το όρισμα και υπολογίζοντας: x=1,35; 2.44; 9.4; 7; 6.25.

γ) Το σχήμα δείχνει σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων, εκφράζοντας τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων της ατμοσφαιρικής πίεσης.

Κατασκευάστε ένα γράφημα της πίεσης ως προς το χρόνο στο διάστημα 12≤t≤18, συνδέοντας αυτά τα σημεία με μια ομαλή γραμμή.

Θα εξετάσουμε τη μεθοδολογία για την εργασία με αυτές τις εργασίες μόνο στο στάδιο της αρχικής εξοικείωσης με την έννοια μιας συνάρτησης, σε άλλα στάδια μπορεί να είναι εντελώς διαφορετική. Στο εξεταζόμενο στάδιο, οι μαθητές δεν γνωρίζουν ακόμη τη γενική μορφή της γραφικής παράστασης μιας γραμμικής συνάρτησης (εργασία α)). Επομένως, μπορούν να δημιουργήσουν ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d 4x + 1 μόνο κατά σημεία. Ο δάσκαλος μπορεί να επιστήσει την προσοχή στο γεγονός ότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ολόκληρη η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης από σημεία εάν ορίζεται σε ένα άπειρο σύνολο, αλλά είναι αξιοσημείωτο ότι αυτά τα σημεία βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή. αποδεικνύεται ότι αυτή η παρατήρηση είναι σωστή. Έτσι, είναι δυνατό να δημιουργηθούν συνδέσεις με περαιτέρω μελέτη του υλικού. Η μέθοδος κατασκευής μιας γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ανά σημεία απεικονίζεται στην εργασία γ). χρησιμοποιώντας το συγκεκριμένο περιεχόμενο της εργασίας, ο δάσκαλος μπορεί να σημειώσει ότι τα προγράμματα που προτείνουν οι μαθητές μπορεί να διαφέρουν από την πραγματική κατάσταση, αλλά ότι στην πράξη αυτή η τεχνική πρέπει συχνά να χρησιμοποιείται (παρεμβολή). Στην εργασία β) μπορεί κανείς να σημειώσει τη σύνδεση των λειτουργικών αναπαραστάσεων με ένα αριθμητικό σύστημα - με τις έννοιες των ακριβών και κατά προσέγγιση αριθμητικών τιμών. Πρέπει συνεχώς να ασχολείστε με τη σύγκριση τους όταν σχεδιάζετε γραφήματα, επειδή μπορείτε να σχεδιάσετε σημεία σε ένα γράφημα μόνο με περιορισμένη ακρίβεια.

Επί του παρόντος, στη μελέτη της έννοιας της συνάρτησης στο σχολείο, κυριαρχούν δύο κύριες προσεγγίσεις: η επαγωγική και η απαγωγική. Έχοντας αναπτυχθεί ιστορικά, πληρούν πλήρως τους στόχους και τους στόχους της εκπαίδευσης, και ως εκ τούτου τους δίνεται προτίμηση στη μελέτη των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των συναρτήσεων, στις μεσαίες τάξεις των σχολείων.

Ιδού πώς υλοποιείται, περίπου, η επαγωγική προσέγγιση στη μελέτη της έννοιας της συνάρτησης στην 7η τάξη:

«Στην πράξη, συναντάμε συχνά εξαρτήσεις μεταξύ διαφορετικών ποσοτήτων. Για παράδειγμα, το εμβαδόν ενός κύκλου εξαρτάται από την ακτίνα του, η μάζα μιας μεταλλικής ράβδου εξαρτάται από τον όγκο και την πυκνότητα του μετάλλου, ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου εξαρτάται από το μήκος, το πλάτος και το ύψος του.

Στο μέλλον, θα μελετήσουμε τη σχέση μεταξύ των δύο ποσοτήτων.

Εξετάστε παραδείγματα».

Τα ακόλουθα παραδείγματα έχουν σχεδιαστεί για να επιδεικνύουν οπτικά το υλικό που μόλις παρουσιάστηκε.

Παράδειγμα 2. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου εξαρτάται από το μήκος της πλευράς του. Έστω η πλευρά του τετραγώνου ένα cm και το εμβαδόν του είναι S cm ² .

Για κάθε τιμή της μεταβλητής a, μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής S.

Ετσι,

αν a = 3, τότε S = 3 ² = 9;

αν a = 15, τότε S = 15 ² = 225;

αν a = 0,4, τότε S = 0,4 ² = 0,16.

Η εξάρτηση της μεταβλητής S από τη μεταβλητή a εκφράζεται με τον τύπο

S = ^a2

(σύμφωνα με την έννοια του προβλήματος a > 0).

Στη συνέχεια δίνεται ο πρώτος ορισμός των εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών:

«Η μεταβλητή a, οι τιμές της οποίας επιλέγονται αυθαίρετα, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή και η μεταβλητή S, οι τιμές της οποίας καθορίζονται από τις επιλεγμένες τιμές του a, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή».

PRI me R 3. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της θερμοκρασίας του αέρα κατά τη διάρκεια της ημέρας.

Χρησιμοποιώντας αυτό το γράφημα, για κάθε φορά t (σε ώρες), όπου 0 £ t £ 24, μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη θερμοκρασία p (σε βαθμούς Κελσίου). Για παράδειγμα,

αν t = 6, τότε p = -2;

αν t = 12, τότε p = 2;

αν t = 17, τότε p = 3;

Εδώ το t είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και το p είναι η εξαρτημένη μεταβλητή.

Παράδειγμα 4. Ο ναύλος σε ένα προαστιακό τρένο εξαρτάται από τον αριθμό της ζώνης στην οποία ανήκει ο σταθμός. Αυτή η εξάρτηση εμφανίζεται στον πίνακα (το γράμμα n υποδηλώνει τον αριθμό της ζώνης και το γράμμα m υποδηλώνει τον αντίστοιχο ναύλο σε ρούβλια):

Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα, για κάθε τιμή του n, όπου n = 1, 2, ..., 9, μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη τιμή του m. Ετσι,

εάν n = 2, τότε m = 1,5;

αν n = 6, τότε m = 4;

εάν n = 9, τότε m = 8,5;

Σε αυτήν την περίπτωση, n είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και m είναι η εξαρτημένη μεταβλητή.»

Η αφθονία των παραδειγμάτων που έχουν σχεδιαστεί για να επεξηγήσουν την έννοια της συνάρτησης εξηγείται από το γεγονός ότι αντλώντας αναλογίες μεταξύ διαφόρων παραδειγμάτων, οι μαθητές αισθάνονται διαισθητικά την ουσία αυτής της έννοιας, δημιουργούν μια εικασία για τις λειτουργικές εξαρτήσεις στην καθημερινή ζωή και στη φύση και λαμβάνουν επιβεβαίωση σε επόμενα παραδείγματα. Ο δεύτερος εξίσου σημαντικός λόγος είναι ότι καθένα από αυτά τα παραδείγματα περιέχει μια συνάρτηση που καθορίζεται με έναν από τους πιθανούς τρόπους. Στο πρώτο παράδειγμα προσδιορίζεται αναλυτικά, στο δεύτερο - γραφικά, στο τρίτο είναι πίνακας. Δεν είναι τυχαίο ότι εξετάζοντας τα παραδείγματα μαζί με τον δάσκαλο, τα παιδιά εξοικειώνονται αμέσως με τους διαφορετικούς τρόπους ανάθεσης λειτουργιών. Και όταν ο δάσκαλος αρχίσει να λέει μια παράγραφο σχετικά με τον τρόπο ρύθμισης των συναρτήσεων, θα είναι πολύ πιο εύκολο για τους μαθητές να κατανοήσουν το νέο υλικό,

Περαιτέρω, δίνεται ο ορισμός της ίδιας της συνάρτησης, εισάγονται οι όροι όρισμα και τιμή της συνάρτησης.

«Στα παραδείγματα που εξετάστηκαν, κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Μια τέτοια εξάρτηση μιας μεταβλητής από μια άλλη ονομάζεται συναρτητική εξάρτηση ή συνάρτηση.

Μια ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται αλλιώς όρισμα και μια εξαρτημένη μεταβλητή λέγεται ότι είναι συνάρτηση αυτού του ορίσματος. Έτσι, το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι συνάρτηση του μήκους της πλευράς του. η απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα είναι συνάρτηση του χρόνου ταξιδιού. Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής ονομάζονται τιμές της συνάρτησης.

Όλες οι τιμές που παίρνει η ανεξάρτητη μεταβλητή αποτελούν τον τομέα της συνάρτησης."

Έτσι εφαρμόζεται στην πράξη η επαγωγική προσέγγιση στη μελέτη των λειτουργιών στο σχολείο. Μια εναλλακτική σε αυτήν είναι η απαγωγική προσέγγιση, η οποία, αν και χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά, έχει μια σειρά από θετικές πλευρές, που έγιναν ο λόγος χρήσης της στο σχολείο. Αυτή η προσέγγιση χαρακτηρίζεται από μια αρχική, πλήρη και συνοπτική παρουσίαση του εκπαιδευτικού υλικού, ακόμη και αν είναι σκοτεινό στην πρώτη ανάγνωση, και περαιτέρω σε βάθος μελέτη όλων των παραδειγμάτων, όρων και ορισμών. Μια τέτοια προσέγγιση στη μελέτη των λειτουργιών και όχι μόνο επιτρέπει στους μαθητές να προσπαθήσουν ανεξάρτητα να εντοπίσουν τις λογικές συνδέσεις στο υλικό που παρουσιάζεται, αυξάνει απότομα την ένταση της νοητικής δραστηριότητας και συμβάλλει στην πιο ενεργή και βαθιά απομνημόνευση. Δείτε πώς φαίνεται η παρουσίαση του ίδιου θέματος «Η έννοια της συνάρτησης» σύμφωνα με την απαγωγική προσέγγιση:

1. Οι εξαρτήσεις μιας μεταβλητής από μια άλλη ονομάζονται συναρτησιακές εξαρτήσεις.

2. Η εξάρτηση της μεταβλητής y από τη μεταβλητή x ονομάζεται συνάρτηση εάν κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή του y. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός y \u003d f (x).

3. Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ή όρισμα και η μεταβλητή y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. Λέμε ότι το y είναι συνάρτηση του x.

4. Η τιμή του y που αντιστοιχεί στη δεδομένη τιμή x ονομάζεται τιμή της συνάρτησης.

5. Όλες οι τιμές που παίρνει η ανεξάρτητη μεταβλητή αποτελούν τον τομέα της συνάρτησης. όλες οι τιμές που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή αποτελούν το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

6. Γίνονται αποδεκτοί οι ακόλουθοι χαρακτηρισμοί για τη συνάρτηση f: D ( f ) είναι η περιοχή ορισμού συνάρτησης, E ( f ) είναι το σύνολο των τιμών της συνάρτησης, f (x0) είναι η τιμή της συνάρτησης στο σημείο x0.

7. Αν D ( f ) Ì R και E ( f ) Ì R, τότε η συνάρτηση ονομάζεται αριθμητική.

8. Τα στοιχεία του συνόλου D ( f ) ονομάζονται επίσης τιμές του ορίσματος και τα αντίστοιχα στοιχεία του E ( f ) ονομάζονται επίσης τιμές της συνάρτησης.

9. Εάν μια συνάρτηση δίνεται από έναν τύπο και ο τομέας ορισμού της συνάρτησης δεν προσδιορίζεται, τότε θεωρείται ότι ο τομέας ορισμού αποτελείται από όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής για τις οποίες έχει νόημα αυτός ο τύπος.

10. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι τετμημένες είναι ίσες με τις τιμές του ορίσματος και οι τεταγμένες ίσες με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης.

Στη συνέχεια, στα επόμενα μαθήματα γίνεται λεπτομερής ανάλυση αυτού του υλικού με την ενεργό εργασία των μαθητών. Όλοι οι ορισμοί εξετάζονται προσεκτικά, παραδείγματα επιλύονται - η αφομοίωση νέου υλικού βρίσκεται σε εξέλιξη.

Μεθοδολογία μελέτης της ευθείας και της αντίστροφης αναλογικότητας

Η εισαγωγή των εννοιών της άμεσης και της αντίστροφης αναλογικής εξάρτησης είναι ένα σημαντικό βήμα προς την εισαγωγή της έννοιας της συναρτησιακής εξάρτησης και, στο μέλλον, στη μελέτη γραμμικών και αντίστροφων συναρτήσεων. Χρησιμοποιώντας την επαγωγική προσέγγιση στην πράξη και τη γνώση της αναλογίας που λαμβάνουν οι μαθητές, ο δάσκαλος, χρησιμοποιώντας πολλά παραδείγματα, μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές στην κατανόηση των εννοιών της άμεσης και της αντίστροφης αναλογικότητας.

Για παράδειγμα:

«Τα μέλη μιας αναλογίας έχουν μια ιδιότητα που ονομάζεται βασική ιδιότητα της αναλογίας. Σε οποιαδήποτε αναλογία, το γινόμενο των ακραίων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων όρων, δηλαδή εάν ^a / _b \ ^{u003d c} / _d , τότε a d \u003d b c. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται κατά την εύρεση ενός όρου άγνωστης αναλογίας.

Έστω ^a / _x = ^c / _d , μετά x = a · ^d / _c .

Δείτε πώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις των μαθηματικών στα Ρωσικά!

Ονομαστική περίπτωση - ποιος; τι;

Γεννητική περίπτωση - ποιος; τι;

Δοτική περίπτωση - σε ποιον; Χ?

Η ερώτηση που λείπει από τη δοτική πτώση - γιατί;

Υπάρχουν πολλές αναλογίες ή σχέσεις στον κόσμο γύρω μας. Χωρίζονται σε δύο μεγάλες ομάδες:

ευθέως ανάλογη και αντιστρόφως ανάλογη.

Ευθέως ανάλογο:

1. Το μήκος της διαδρομής που διανύει ένα σώμα που κινείται ομοιόμορφα και ο χρόνος που δαπανάται σε αυτό το μονοπάτι.

2. Η περιφέρεια ενός κύκλου και η ακτίνα του.

3. Το μήκος των πλευρών του ορθογωνίου και η περίμετρός του (εμβαδόν).

Αντιστρόφως ανάλογη:

1. Η ακτίνα του τροχού και ο αριθμός των περιστροφών που κάνει σε ένα συγκεκριμένο τμήμα της διαδρομής.

2. Ταχύτητα ταξιδιού και χρόνος ταξιδιού.

Η αναλογικότητα είναι μια τέτοια σχέση μεταξύ ποσοτήτων κατά την οποία μια αύξηση σε μία από αυτές συνεπάγεται αλλαγή στο ίδιο ποσό της άλλης ποσότητας.

Οι ευθείες και αντιστρόφως αναλογικές σχέσεις εκφράζονται με τους τύπους: y \u003d a x και y \ ^{u003d a} / _x , (το x είναι μη μηδενικό), όπου x και y είναι μεταβλητές και είναι ο συντελεστής αναλογικότητας, ο οποίος δείχνει πόσες φορές αλλάζει συμβούν. Ο α είναι πραγματικός αριθμός εκτός του μηδενός. Αυτές οι εξαρτήσεις μπορούν να παρουσιαστούν γραφικά. »

Για να ενισχύσει τις έννοιες της άμεσης και της αντίστροφης αναλογικότητας, ο δάσκαλος μπορεί να δώσει διάφορες εργασίες:

1) Προσδιορίστε εάν η σχέση μεταξύ των ποσοτήτων είναι ευθέως ανάλογη, αντιστρόφως ανάλογη ή μη ανάλογη:

α) το μονοπάτι που διανύει το αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα και το χρόνο της κίνησής του·

β) την ταχύτητα κίνησης και τον χρόνο, εάν το μήκος της διαδρομής είναι 120 km.

γ) τον αριθμό των οχημάτων και τη μεταφορική τους ικανότητα·

δ) το κόστος των αγαθών που αγοράζονται σε μία τιμή και την ποσότητα του·

ε) τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου και το ύψος, εάν το εμβαδόν της βάσης του είναι 15 dm ² .

στ) τον αριθμό των εργαζομένων που εκτελούν κάποια εργασία με την ίδια παραγωγικότητα εργασίας και τον χρόνο που απαιτείται για την ολοκλήρωση της εργασίας·

ζ) το εμβαδόν του τετραγώνου και το μήκος της πλευράς του·

η) το ύψος του παιδιού και την ηλικία του.

2) Το καθήκον της ευθέως αναλογικής εξάρτησης:

Η απόσταση μεταξύ των πόλεων Α και Β στον χάρτη είναι 5,6 cm και στο έδαφος 420 km.

Ποια είναι η απόσταση μεταξύ των πόλεων Γ και Δ στο έδαφος, αν στον ίδιο χάρτη η απόσταση μεταξύ τους είναι 3,6 cm;

3) Το πρόβλημα της αντίστροφης αναλογικότητας:

28 εργάτες μπορούν να ολοκληρώσουν τις κατασκευαστικές εργασίες σε 17 ημέρες.

Πόσοι εργαζόμενοι χρειάζονται για να ολοκληρώσουν την ίδια εργασία σε 14 ημέρες εάν η παραγωγικότητα της εργασίας παραμείνει αμετάβλητη;

Μέθοδοι μελέτης γραμμικών, τετραγωνικών και κυβικών συναρτήσεων στον βαθμό VII .

Οι περισσότερες από τις συναρτήσεις που μελετώνται στα σχολικά μαθηματικά αποτελούν τάξεις που έχουν μια κοινή αναλυτική μέθοδο για τον ορισμό μιας συνάρτησης από αυτήν, παρόμοια χαρακτηριστικά γραφημάτων και περιοχές εφαρμογής. Η κατάκτηση μιας μεμονωμένα δεδομένης συνάρτησης πραγματοποιείται συγκρίνοντας τα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά με μια γενική ιδέα της συνάρτησης άμεσα, χωρίς να επισημαίνονται ενδιάμεσοι σύνδεσμοι. Ωστόσο, η διάρκεια της περιόδου ανεξάρτητης εξέτασης κάθε λειτουργίας είναι ασήμαντη. στο μάθημα της άλγεβρας, μετά την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης, αμέσως θεωρείται η πρώτη τάξη - γραμμικές συναρτήσεις. Για συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε μια κλάση, η μελέτη προχωρά σύμφωνα με ένα πιο περίπλοκο σχήμα, καθώς επισημαίνονται νέες πτυχές: η μελέτη μιας δεδομένης συνάρτησης ως μέλος της κλάσης και η μελέτη των ιδιοτήτων ολόκληρης της τάξης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας «τυπικής» συνάρτησης αυτής της κλάσης.

Μια τυπική και ταυτόχρονα η πιο σημαντική κατηγορία συναρτήσεων για τα μαθηματικά είναι οι γραμμικές συναρτήσεις, τις οποίες θα εξετάσουμε από τη σκοπιά της μελέτης των ιδιοτήτων και των παραστάσεων που είναι χαρακτηριστικές αυτής της τάξης, οι οποίες σχηματίζονται στην πορεία της άλγεβρας.

Η αρχική ιδέα μιας γραμμικής συνάρτησης εξάγεται από την εξέταση ενός προβλήματος, που συνήθως σχετίζεται με ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση, καθώς και όταν σχεδιάζεται ένα γράφημα κάποιας γραμμικής συνάρτησης. Εξετάστε τη δεύτερη από αυτές τις πηγές. Η κύρια ιδέα που θα προσπαθήσουμε να τεκμηριώσουμε είναι ότι η εξέταση του γραφήματος μιας μεμονωμένης γραμμικής συνάρτησης δεν μπορεί να οδηγήσει στο σχηματισμό ιδεών σχετικά με τις βασικές ιδιότητες των γραφημάτων όλων των γραμμικών συναρτήσεων.

Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε τις δύο πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες τεχνικές για τη δημιουργία γραφημάτων γραμμικών συναρτήσεων στην αρχή της μελέτης του θέματος.

Πρώτος τρόπος. Χρήση σημείων «πάχυνσης» στο διάγραμμα. Αναμένεται η ακόλουθη σειρά ενεργειών για αυτήν την τεχνική:

α) εφαρμογή πολλών σημείων·

β) παρατήρηση - όλα τα κατασκευασμένα σημεία βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή. κρατώντας αυτή τη γραμμή?

γ) έλεγχος: παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος και υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης από αυτό. βάλτε ένα σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων - ανήκει στην κατασκευασμένη γραμμή. Από αυτό συνάγεται ένα συμπέρασμα για τη γραφική παράσταση αυτής της γραμμικής συνάρτησης.

Αυτή η μέθοδος μπορεί σίγουρα να οδηγήσει στην κατανόηση ότι το γράφημα οποιασδήποτε γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή, δηλαδή στην απομόνωση κάποιας γενικής ιδιότητας της κατηγορίας των γραμμικών συναρτήσεων. Ωστόσο, μια διαδοχική λήψη απαιτεί πολύ χρόνο και δεν μπορεί να γίνει περισσότερες από μερικές φορές. Επομένως, μια κοινή ιδιοκτησία θα διαμορφωθεί με βάση μεμονωμένα παραδείγματα.

Ο δεύτερος τρόπος. Κατά δύο σημεία. Αυτή η μέθοδος προϋποθέτει ήδη γνώση της αντίστοιχης ιδιότητας των γραφημάτων των γραμμικών συναρτήσεων. Δεν αποκαλύπτονται νέες ιδιότητες εδώ, καθώς η προσοχή, όπως και στην πρώτη μέθοδο, εστιάζεται σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση από την κλάση. Σημειώστε ότι στην εκπαίδευση υπάρχει μια διαδοχική αλλαγή αυτών των μεθόδων: όταν μαθαίνεται η γενική ιδιότητα των γραφημάτων (όταν εξετάζεται η πρώτη μέθοδος), αρχίζουν να χρησιμοποιούν τη δεύτερη - είναι πιο οικονομικό και δικαιολογημένο γεωμετρικά, αφού ένα και μοναδικό η ευθεία διέρχεται από δύο σημεία.

Προκειμένου να μελετηθεί η κλάση των γραμμικών συναρτήσεων στο άθροισμα των γενικών ιδιοτήτων της, είναι απαραίτητο να τεθεί μια νέα γνωστική εργασία για τους μαθητές: να διερευνήσουν την κατηγορία των συναρτήσεων y=kx+b ανάλογα με τις παραμέτρους, να καθορίσουν τη γεωμετρική σημασία των παραμέτρων. Αυτό το πρόβλημα προκύπτει αμέσως μετά την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης. Η πιο φυσική τεχνική που μπορεί να εφαρμοστεί είναι να εξετάσουμε ταυτόχρονα πολλές συναρτήσεις, στις οποίες η μία από τις παραμέτρους αλλάζει, ενώ η άλλη παραμένει σταθερή. Το απλούστερο σύστημα που εφαρμόζει αυτή την τεχνική αποτελείται από τέσσερις εργασίες με την επακόλουθη ανάλυσή τους και τη δημιουργία δεσμών μεταξύ τους.

Παράδειγμα 5 Σχεδιάστε τα γραφήματα συνάρτησης:

y=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; y=1,5x+0,5.

Το κύριο μέρος της εργασίας ξεκινά μετά την πλοκή. Πρέπει να συγκριθούν, δίνοντας προσοχή στα χαρακτηριστικά των γραφημάτων ανάλογα με τις αριθμητικές τιμές των συντελεστών. Ας περιγράψουμε, για παράδειγμα, μια τεχνική για τον εντοπισμό της γεωμετρικής σημασίας των συντελεστών μιας μεταβλητής.

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα γραφήματα (α) και (β) σχηματίζουν τις ίδιες γωνίες με τον άξονα x, το ίδιο ισχύει και για τα γραφήματα (γ) και (δ). Επιπλέον, τα γραφήματα (α) και (β) σχηματίζουν μικρότερες γωνίες με τον άξονα x από τα (c) και (d). Από την άλλη πλευρά, οι συντελεστές για τη μεταβλητή στον τύπο για την πρώτη και τη δεύτερη συνάρτηση είναι ίδιοι και μικρότεροι από τους αντίστοιχους συντελεστές για την τρίτη και την τέταρτη συνάρτηση. Στη συνέχεια, μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα σχετικά με την εξάρτηση της εξεταζόμενης γωνίας από τον συντελεστή, να εισαγάγετε τον όρο "γωνιακός συντελεστής" και να δώσετε αρκετές ενισχυτικές ασκήσεις.

Σημαντικές δυσκολίες παρουσιάζονται στην περίπτωση των αρνητικών τιμών του γωνιακού συντελεστή. απαιτεί μια ξεχωριστή εργασία κατασκευασμένη με παρόμοιο τρόπο.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα ενισχυτικής άσκησης: το ίδιο σχέδιο δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d 3x + 2. y=3/4x+2.

Κατασκευάστε στο ίδιο σχέδιο γραφήματα συναρτήσεων y \u003d 3x - 1.

y \u003d 3/4x - 1; εξηγήστε την κατασκευή.

Εάν οι παράμετροι που ορίζουν μια κατηγορία συναρτήσεων έχουν σαφή γεωμετρική σημασία, τότε η μέθοδος μελέτης που περιγράφεται παραπάνω δίνει μια αρκετά πλήρη εικόνα αυτής της κατηγορίας. Ωστόσο, στο σχολικό μάθημα της άλγεβρας εξετάζονται και τέτοιες τάξεις, στη μελέτη των οποίων αποδεικνύεται ότι είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν άλλες μέθοδοι.

Για παράδειγμα, για τη μελέτη της κλάσης των τετραγωνικών συναρτήσεων, χρησιμοποιείται μια τεχνική που βασίζεται στον μετασχηματισμό της έκφρασης που ορίζει τη συνάρτηση στη μορφή a (x - b) ² + c, τη χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών για τη γραφική παράσταση μιας αυθαίρετης τετραγωνικής συνάρτησης από μια παραβολή τυπικής θέσης - το γράφημα της συνάρτησης y \u003d ax ² , a≠0.

Ας σταθούμε σε αυτήν την κατηγορία συναρτήσεων με περισσότερες λεπτομέρειες. Η τετραγωνική συνάρτηση εισάγεται και μελετάται σε στενή σύνδεση με τετραγωνικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Η πρώτη από αυτήν την κατηγορία συναρτήσεων, σε μεγάλο βαθμό ακόμα εκτός μελέτης της δικής της κλάσης, είναι η συνάρτηση y=x ² . Οι ιδιότητες αυτής της συνάρτησης διαφέρουν από πολλές απόψεις από την προηγουμένως θεωρημένη περίπτωση γραμμικών συναρτήσεων. Πρώτα απ 'όλα, αυτή η λειτουργία είναι μη μονότονη. Μόνο σε αυτό το στάδιο οι μαθητές έχουν ένα παράδειγμα άλλης συνάρτησης εκτός από τις γραμμικές, οι οποίες είναι μονότονες σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. Για να τονιστεί αυτή η διαφορά, είναι χρήσιμο να προσφέρουμε στους μαθητές την ακόλουθη εργασία: η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο y \u003d x ² στο διάστημα -2≤x≤3. Βρείτε το σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης. Μεταφέροντας την ιδιότητα της μονοτονίας από την τάξη των γραμμικών συναρτήσεων στη συνάρτηση y=x ² , οι μαθητές κάνουν συχνά το λάθος να δώσουν την απάντηση: το διάστημα 4≤x≤9. Αυτό το σφάλμα για την εξάλειψή του απαιτεί την εξέταση του γραφήματος της συνάρτησης y \u003d x² .

Μια άλλη διαφορά είναι ότι η φύση της αλλαγής των τιμών της συνάρτησης y \u003d x ² είναι άνιση: σε ορισμένες περιοχές αυξάνεται ταχύτερα, σε άλλες - πιο αργά. Αυτό το χαρακτηριστικό αποκαλύπτεται κατά την κατασκευή ενός γραφήματος και συνιστάται να λάβετε υπόψη δύο γραφήματα: ένα - σε μεγάλη κλίμακα στο διάστημα,. -1≤x≤1, το άλλο βρίσκεται σε μικρή κλίμακα ενδιάμεσα, όπως -3≤x≤3. Η κατασκευή μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη μέθοδο πύκνωσης που περιγράφεται παραπάνω. Είναι σημαντικό να σημειωθεί η ιδιότητα της παραβολής - συμμετρία ως προς τον άξονα x. Στη συνέχεια, αυτή η ιδιότητα θα οδηγήσει στη θεώρηση της κλάσης των άρτιων συναρτήσεων και είναι ακριβώς η συνάρτηση y = x ² που θα είναι το κύριο παράδειγμα μιας συνάρτησης αυτής της κλάσης.

Η πιο σημαντική εφαρμογή, αυτή η συνάρτηση έχει όταν εξετάζουμε την έννοια ενός άρρητου αριθμού. Το πρώτο παράδειγμα ενός παράλογου αριθμού (-√2) μπορεί να εισαχθεί με διάφορους τρόπους, αλλά ανεξάρτητα από αυτό, είναι απαραίτητο να εξηγηθεί η σύνδεσή του με τη γραφική μέθοδο για την επίλυση της εξίσωσης x ² \u003d 2.

Η μελέτη της κλάσης των τετραγωνικών συναρτήσεων ξεκινά με τη μελέτη συναρτήσεων της μορφής y=ax ² ; Στην περίπτωση αυτή διευκρινίζεται η γεωμετρική σημασία του συντελεστή α. Στη συνέχεια, εισάγεται μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων, η οποία έχει τη μορφή y=ax ² +c. Και εδώ, ο συντελεστής c λαμβάνει μια σαφή γεωμετρική ερμηνεία, η οποία μπορεί να προσεγγιστεί είτε ρητά χρησιμοποιώντας την έννοια της παράλληλης μετάφρασης κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, είτε με ανεξάρτητο συλλογισμό.

Παράδειγμα 6. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d x ² . ^{Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 2} +1 σε αυτό το σχέδιο .

Σημειώστε ότι για μια δεδομένη τιμή του ορίσματος xo (θεωρούνται, φυσικά, συγκεκριμένες τιμές), οι τιμές της συνάρτησης y=x ² +1 κατά τον ίδιο αριθμό, ίσο με 1, είναι μεγαλύτερες από τις τιμές του η συνάρτηση y=x ² . Επομένως, για να κατασκευάσουμε το αντίστοιχο σημείο στη γραφική παράσταση της δεύτερης συνάρτησης, αρκεί να αυξήσουμε κατά 1 σημείο τη γραφική παράσταση της πρώτης συνάρτησης με την τετμημένη Xo. Επομένως, για να δημιουργήσετε ολόκληρο το γράφημα της δεύτερης συνάρτησης, πρέπει να αυξήσετε το γράφημα της πρώτης κατά 1.

Αυτός ο συλλογισμός απορροφάται καλά από τους μαθητές, συνιστάται να τον εφαρμόσετε κατά τη μελέτη της τάξης των γραμμικών συναρτήσεων. Στο μέλλον, κατά τη γενίκευση των ιδιοτήτων των γραφημάτων, μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: "Για να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y \u003d f (x) + c σύμφωνα με το γνωστό γράφημα της συνάρτησης y \u003d f (x), είναι είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί παράλληλη μεταφορά της δεύτερης γραφικής παράστασης από μονάδες κατά μήκος του άξονα y».

Μετά από αυτή την προετοιμασία, φαίνεται ότι μπορεί κανείς να αρχίσει να μελετά τα γραφήματα των αυθαίρετων τετραγωνικών συναρτήσεων. Εδώ όμως προκύπτει μια δυσκολία: ο συντελεστής στην πρώτη δύναμη του αγνώστου δεν έχει μια αρκετά απλή γεωμετρική σημασία για την τετραγωνική συνάρτηση y=ax ² +bx+c. Γι' αυτό πρέπει να πάμε γύρω, ακολουθώντας τους ίδιους μετασχηματισμούς που έγιναν κατά την εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης και εισάγοντας μια νέα υποκατηγορία τετραγωνικών συναρτήσεων της μορφής y=a(x-b) ² υπόψη . Οι επεξηγήσεις κατά τη σχεδίαση γραφημάτων εδώ στο σύνολό τους μπορεί να είναι οι ίδιες με αυτές κατά την εξέταση συναρτήσεων της μορφής y \u003d x ²+c, ωστόσο, η προτεινόμενη μέθοδος αφομοιώνεται εδώ με μεγάλη δυσκολία, επομένως απαιτείται επαρκής αριθμός ασκήσεων για ενοποίηση. Μετά από τέτοιες προετοιμασίες, η κατασκευή του γραφήματος, καθώς και η μελέτη των ιδιοτήτων του, συμβαίνουν χωρίς θεμελιώδεις δυσκολίες.

Σημειώνουμε εδώ μια συγκεκριμένη, αλλά χρήσιμη τεχνική, η οποία συνίσταται στη χρήση ενός συστήματος αναθέσεων με στόχο να δοθεί μια ιδέα για ορισμένα χαρακτηριστικά μιας δεδομένης συνάρτησης ή μιας ολόκληρης τάξης χωρίς να υποδεικνύεται η ακριβής σημασία των ποσοτήτων που σχετίζονται με το ζήτημα υπό εξέταση. Αυτή η τεχνική μπορεί να ονομαστεί ποιοτική ή αξιολογική μελέτη της συνάρτησης. Ας δώσουμε δύο παραδείγματα που σχετίζονται με τη μελέτη των τετραγωνικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα 7. Το σχήμα δείχνει τα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d x ² και y \u003d -0,5x ² . Πόσο σε σχέση με αυτά θα είναι το γράφημα της συνάρτησης y \u003d 0,5x ² ; -2x ² ; Zx ² ? Αυτή η εργασία δεν συνεπάγεται την «ακριβή» κατασκευή του απαιτούμενου χρονοδιαγράμματος. αρκεί μόνο η ένδειξη της περιοχής στην οποία βρίσκεται ή η περίγραμμα κατασκευής του.

Παράδειγμα 8. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d x ² +1, -2<x<2. Χρησιμοποιώντας αυτό το σχέδιο, σχεδιάστε με το χέρι τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d x ² + 0,3. Ελέγξτε την ορθότητα του σκίτσου: υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης y \u003d x ² σε x \u003d ± 0,5. ±1,5 και σημειώστε τα σημεία του γραφήματος. Ποιος μετασχηματισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μετάφραση του γραφήματος μιας συνάρτησης

y \u003d x ² -1 στο γράφημα της συνάρτησης y \u003d x ² ?

Ο σκοπός της εργασίας είναι να συμφωνήσουμε για την οπτική εικόνα του γραφήματος, τις γεωμετρικές του ιδιότητες και τον τύπο. Το γράφημα της συνάρτησης y \u003d x ² + 0,3 είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα y, πράγμα που σημαίνει ότι η εικόνα δεν πρέπει να είναι λοξότμητη. Η συμμετρία του τονίζεται από τη συμμετρική διάταξη των «δοκιμαστικών» τιμών του επιχειρήματος. Η θέση των σημείων στο σχέδιο θα πρέπει να διορθώσει μια κοινή ανακρίβεια στην εμφάνιση γραφημάτων τετραγωνικών συναρτήσεων: οι κλάδοι μιας παραβολής που σχεδιάζονται με το χέρι, κατά κανόνα, βρίσκονται πολύ ευρύτερα από ό,τι θα έπρεπε. Επομένως, τα σημεία δοκιμής (οι τεταγμένες τους υπολογίζονται σύμφωνα με τη συνθήκη και δεν αναζητούνται σύμφωνα με το σχέδιο) εμπίπτουν στη ζώνη μεταξύ των γραμμών που φαίνονται. Το γεγονός ότι τα γραφήματα συγκλίνουν καθώς απομακρύνονται από την προέλευση απαιτεί εξήγηση, η οποία μπορεί να γίνει στη συζήτηση.

Η μελέτη της κατηγορίας των κυβικών συναρτήσεων περιλαμβάνει μια τεχνική παρόμοια με τη μελέτη των τετραγωνικών συναρτήσεων, που βασίζεται στη χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών για να σχεδιάσει μια αυθαίρετη κυβική συνάρτηση από μια κυβική παραβολή τυπικής θέσης - το γράφημα της συνάρτησης y=ax³, a ≠0.

Όπως και στην περίπτωση της τετραγωνικής συνάρτησης y=x², βλέπουμε ότι η φύση της αλλαγής των τιμών της συνάρτησης y=x³ είναι ανομοιόμορφη: σε ορισμένες περιοχές αυξάνεται ταχύτερα, σε άλλες - πιο αργά. Αυτό το χαρακτηριστικό αποκαλύπτεται κατά την κατασκευή ενός γραφήματος και συνιστάται να λάβετε υπόψη δύο γραφήματα: ένα - σε μεγάλη κλίμακα στο διάστημα,. -1≤x≤1, ένα άλλο σε μικρή κλίμακα ενδιάμεσα, όπως -2≤x≤2. Η κατασκευή μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη μέθοδο πύκνωσης που περιγράφεται παραπάνω. Είναι σημαντικό να σημειωθεί η ιδιότητα μιας κυβικής παραβολής - η συμμετρία του γραφήματος της σε σχέση με την αρχή.

Στη συνέχεια, εισάγεται μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων, η οποία έχει τη μορφή y=ax ³ +c. Και εδώ, ο συντελεστής c λαμβάνει μια σαφή γεωμετρική ερμηνεία, η οποία μπορεί να προσεγγιστεί είτε ρητά χρησιμοποιώντας την έννοια της παράλληλης μετάφρασης κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, είτε με ανεξάρτητο συλλογισμό.

Παράδειγμα 9. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d x³. Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d x³-2 σε αυτό το σχέδιο.

Εδώ μπορείτε επίσης να ενεργήσετε κατ' αναλογία με τα εξεταζόμενα παραδείγματα όταν εξετάζετε μια τετραγωνική συνάρτηση.

Στη συνέχεια, πρέπει να φέρετε τους μαθητές στις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης y=x ³ :

Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή.

y=x ³ -περιττή συνάρτηση;

Η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.

Μεθοδολογία για την εισαγωγή της έννοιας μιας αντίστροφης συνάρτησης και μιας συνάρτησης της μορφής y =√¯х στην τάξη VIII

Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης δεν έχει ανάλογα, επομένως πρέπει να τα εισαγάγουμε μέσω ενός ρητού ορισμού. Ο ρόλος της αντίστροφης συνάρτησης είναι μεγάλος. Η χρήση της αντίστροφης συνάρτησης είναι απαραίτητη για την εισαγωγή μεγάλου αριθμού τάξεων βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων: kth ρίζα, λογαριθμικές, αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Κατά τη μελέτη της αντίστροφης συνάρτησης, διαπιστώνεται η εξάρτηση της μονοτονίας της από τη μονοτονία της αρχικής συνάρτησης - αυτό είναι απαραίτητο για να τεκμηριωθεί η ύπαρξη της αντίστροφης συνάρτησης και να εξεταστεί λεπτομερώς η αμοιβαία διάταξη των γραφημάτων αυτής και της αντίστροφης λειτουργίες.

Ο δάσκαλος μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές στην έννοια της αντίστροφης συνάρτησης θέτοντας μια νέα γνωστική εργασία για τους μαθητές. Με βάση τη σημαντική ιδέα που έχουν μάθει οι μαθητές, η οποία αποτελεί μέρος της έννοιας της συνάρτησης, τη μοναδικότητα της αντιστοιχίας ενός ορίσματος και την τιμή μιας συνάρτησης που προσδιορίζεται από αυτό, πραγματοποιήστε τον ακόλουθο συλλογισμό:

«Για κάθε αποδεκτή τιμή της μεταβλητής x, η ισότητα y=f(x) συσχετίζει μια καλά καθορισμένη τιμή της μεταβλητής y. Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, η σχέση y=f(x) μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μια τέτοια ισότητα, η οποία αποδίδει σε κάθε αποδεκτή τιμή της μεταβλητής y μια καλά καθορισμένη τιμή της μεταβλητής x.» Ακολουθεί μια εξήγηση αυτής της σύγκρισης με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 10. Η ισότητα y=2x-1 αποδίδει σε κάθε τιμή του y την ακόλουθη τιμή του x: x=(y+1)/2. για παράδειγμα, όταν y=1 x=1; σε y=2 x=1,5; για y=3 x=2 και ούτω καθεξής. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι η ισότητα y=2x-1 ορίζει το x ως κάποια συνάρτηση της μεταβλητής y. Σε ρητή μορφή, αυτή η συνάρτηση γράφεται ως εξής: x=(y+1)/2.

«Αν σε κάθε περίπτωση υποδηλώσουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή με το γράμμα x και την εξαρτημένη με το γράμμα y, τότε παίρνουμε τους τύπους:

y=f(x), και x=φ(y) στον δεύτερο τύπο, το y λειτουργεί ως όρισμα και το x ως συνάρτηση. Ξαναγράφοντας στη συνήθη μορφή, παίρνουμε y \u003d φ (x).

Η συνάρτηση y=φ(x) που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται αντίστροφη ως προς τη συνάρτηση y=f(x).

Αν η συνάρτηση y=f(x) ορίζεται και αυξάνεται (μειώνεται) στο διάστημα X και το εύρος της είναι το διάστημα Y, τότε έχει αντίστροφη συνάρτηση και η αντίστροφη συνάρτηση ορίζεται και αυξάνεται (μειώνεται) στο Y.

Έτσι, για να κατασκευαστεί μια γραφική παράσταση της συνάρτησης αντίστροφη προς τη συνάρτηση y=f(x), είναι απαραίτητο να υποβληθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) σε μετασχηματισμό συμμετρίας ως προς την ευθεία y=x. .»

Η τεχνική για την εισαγωγή της έννοιας μιας συνάρτησης της μορφής y=√¯x βασίζεται σε ένα παρόμοιο παράδειγμα:

Παράδειγμα 11. Έστω το μήκος της πλευράς του τετραγώνου ένα cm και το εμβαδόν του Sm². Κάθε τιμή της πλευράς του τετραγώνου a αντιστοιχεί στη μοναδική τιμή του εμβαδού του S. Η εξάρτηση του εμβαδού του τετραγώνου από την πλευρά του εκφράζεται με τον τύπο S=a², όπου a>0. Αντίθετα, για κάθε τιμή του εμβαδού του τετραγώνου S, μπορεί κανείς να καθορίσει την αντίστοιχη μοναδική τιμή της πλευράς a. Η εξάρτηση της πλευράς του τετραγώνου από το εμβαδόν του εκφράζεται με τον τύπο a=√¯S ο δεύτερος είναι το εμβαδόν S.

Αν σε κάθε περίπτωση συμβολίζουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή με το γράμμα x και την εξαρτημένη με το γράμμα y, τότε έχουμε τους τύπους:

y=x², όπου x>0 και y=√¯x.

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d x² που είναι γνωστό στους μαθητές και τους προσκαλούμε να συντάξουν έναν πίνακα με τις τιμές της συνάρτησης y \u003d √¯x.

Χ	0	0,5	ένας	2	3	τέσσερις	5	6
Στο	0	0,7	ένας	1.4	1.7	2	2.2	2.4

Χρησιμοποιώντας τα σημεία του πίνακα, κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=√¯x και στη συνέχεια προτείνετε να διατυπώσετε ορισμένες ιδιότητες της συνάρτησης.

Φέρτε τους μαθητές στην έννοια της συμμετρίας των γραφημάτων σε σχέση με

ευθεία y=x.

Για να διορθώσετε το θέμα, βρείτε την τιμή του ορίσματος ανά συνάρτηση στο γράφημα και αντίστροφα.

Παράδειγμα 12. Χρησιμοποιώντας το γράφημα, βρείτε:

α) την τιμή του √¯x στο x=0,5; 5.5; 8.4;

β) την τιμή του x, που αντιστοιχεί σε √¯x =1,2; 1.7; 2.5.

συμπέρασμα

Οι προσεγγίσεις που συζητήθηκαν παραπάνω στη μελέτη των λειτουργιών στο σχολείο δεν καλύπτουν όλη την ποικιλία των τρόπων και μεθόδων μελέτης αυτής της έννοιας. Είναι μόνο οι κύριες, πιο ανεπτυγμένες προσεγγίσεις για τη μελέτη των συναρτήσεων στο σχολείο, βάσει των οποίων είναι δυνατή η ανάπτυξη νέων, ειδικών μεθόδων διδασκαλίας που θα στερούνταν τις αδυναμίες των παραπάνω προσεγγίσεων και θα ήταν το επόμενο βήμα στη διδασκαλία των μαθηματικών. στο σχολείο.

Βιβλιογραφία

Lyashchenko E.I. Η μελέτη των συναρτήσεων στο μάθημα των μαθηματικών ενός οκταετούς σχολείου. Μινσκ, 1970

Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα της 7ης τάξης.\ εκδ. ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ. Telyakovsky - 5η έκδοση - M. Enlightenment, 1997.

Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα της 8ης τάξης.\ εκδ. ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ. Telyakovsky - 2η έκδοση - M. Enlightenment, 1991.

Vilenkin N.Ya. Sovremennye osnovy shkol'nogo kurs matematiki [Σύγχρονες βάσεις ενός σχολικού μαθήματος στα μαθηματικά]. - Μ. Διαφωτισμός, 1980.

Bloch A.Ya., Gusev V.A. και άλλες Μέθοδοι διδασκαλίας των μαθηματικών στο γυμνάσιο. - Μ. Διαφωτισμός, 1987.

5. Kramor V. S. Επαναλαμβάνουμε και συστηματοποιούμε το σχολικό μάθημα στην άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης, Μόσχα, Εκπαίδευση, 1990.

6. Rybnikov K.A. Η εμφάνιση και η ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης, Μόσχα, Prosveshchenie, 1987

 

π