Λύση σε προτεινόμενο θέμα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού με παρατηρήσεις σχόλια

  

Για να λύσει σωστά την άσκηση, ο μαθητής πρέπει να προσέξει τα εξής σημεία και να χρησιμοποιήσει κατάλληλα θεωρήματα και μεθόδους:

Ερώτημα (α)

• Υπολογισμός της παραγώγου : Πρέπει να εφαρμόσει τον κανόνα του γινομένου ή να αναπτύξει πρώτα την παράσταση της συνάρτησης και να παραγάγει όρους.
• Αναπαράσταση των ριζών της έκθεσης $f^{\mathrm{\text{'}\text{'}}}(x)=0$f'(x) = 0: Αφού βρει την παράγωγο, πρέπει να επιλύσει την εξήγηση και να δείξει ότι έχει ακριβώς δύο ρίζες.
• Χρήση του θεωρήματος Rolle : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παράγωγη στο κατάλληλο διάστημα, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ρίζες.
• Προσεκτικός έλεγχος με μονοτονία ή αλλαγή προσήμου : Για να διασφαλίσει ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες, μπορεί να εξετάσει τη συμπεριφορά της παραγώγου.

Ερώτημα (β)

• Αναφορά κρίσιμων σημείων : Πρέπει να προσδιορίσει τα σημεία όπου ο παράγωγος μηδενίζεται και να εξετάσει τη συμπεριφορά της συνάρτησης.
• Δεύτερη παράγωγος ή κριτήριο μεταβολής προσήμου :
  • Για τα τοπικά ακρότατα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε το δεύτερο παράγωγο (${\mathrm{ f}}^{\mathrm{\text{'}\text{'}}\mathrm{\text{'}\text{'}}}(x)$f''(x)), είτε τη μεταβολή προσήμου της${ }^{}$f'(x).
  • Για το σημείο καμπής , θα πρέπει να ελέγξει το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου και να δείξει ότι αλλάζει πρόσημο σε κάποιο σημείο.
• Χρήση του θεωρήματος για την ύπαρξη τοπικών ακροτάτων (κριτήρια πρώτης ή δεύτερης παραγώγου).

Ερώτημα (γ)

• Ιδιότητα περιττής συνάρτησης : Από τη σχέση$\mathrm{ f}(x)=-f(4-x)$f(x) = -f(4-x), ο μαθητής πρέπει να παρατηρήσει ότι η συνάρτηση είναι περιττή ως προς$x=2$x = 2, δηλαδή έχει συμμετρία ως προς$x=2$x = 2.
• Ιδιότητα συμμετρικών ολοκληρωμάτων : Αν μια συνάρτηση είναι περιττή ως προς ένα σημείο, τότε το ολοκλήρωμα σε συμμετρικά όρια γύρω από αυτό το σημείο είναι μηδέν.
• Γρήγορη λύση με θεωρητικό συμπέρασμα : Ο μαθητής μπορεί να αποφύγει πολύπλοκους υπολογισμούς, αν αναγνωρίσει την ιδιότητα αυτή.

Γενικές παρατηρήσεις

• Η άσκηση απαιτήσεων χειρισμών , παράγωγη , και χρήση θεωρημάτων από τον διαφορικό λογισμό.
• Η κατανόηση της συμμετρίας στη συνάρτηση βοηθά στην απλούστευση του ερωτήματος (γ).
• Η ορθή ερμηνεία των θεωρημάτων είναι κρίσιμη για να τεκμηριωθεί σωστά η λύση.

Αν ο μαθητής προσεγγίσει μεθοδικά την άσκηση και συνδυάσει τις θεωρητικές του γνώσεις με προσεκτικούς υπολογισμούς, θα μπορέσει να τη λύσει αποτελεσματικά.