📘 Άσκηση: Παράγωγος της \( \ln(ax) \)
Ζητείται:
Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης:
\[ \frac{d}{dx} \ln(ax) \]
Μέθοδος 1: Ορισμός για εφαρμογή του κανόνα αλυσίδας
Ορίζουμε:
- \( f(u) = \ln u \)
- \( u(x) = ax \)
Θέλουμε να βρούμε:
\[ \frac{df}{dx} = ? \]
Εφαρμόζουμε τον κανόνα αλυσίδας:
\[ \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \left( \frac{d}{du} \ln u \right) \cdot \left( \frac{d}{dx} ax \right) = \left( \frac{1}{u} \right) \cdot a = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x} \]
Παρατήρηση: Η σταθερά \( a \) απλοποιείται και τελικά η παράγωγος της \( \ln(ax) \) είναι:
\[ \frac{d}{dx} \ln(ax) = \frac{1}{x} \]
