Η στατιστική vs. η καθημερινή μας αντίληψη για την τυχαιότητα!

Σκέψου αυτό: Αν ρίξεις ένα νόμισμα 5 φορές και βγει κορώνα κάθε φορά, θα σκεφτείς ότι η επόμενη πρέπει να είναι γράμματα, σωστά; Λάθος! Οι πιθανότητες παραμένουν 50/50 κάθε φορά. Αυτό είναι ένα από τα πολλά "παράδοξα" της στατιστικής που συγκρούονται με την ανθρώπινη διαίσθηση.

Διάβασε ένα από τα  λεγόμενα παράδοξα  παρακάτω :

🔍 Ανάλυση του Παράδοξου του Simpson

Το παράδοξο του Simpson είναι ένα φαινόμενο στη στατιστική όπου μια τάση που εμφανίζεται σε επιμέρους ομάδες αντιστρέφεται όταν τα δεδομένα συγχωνευτούν σε μία ενιαία ομάδα. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε παραπλανητικά συμπεράσματα, αν δεν ληφθούν υπόψη οι υποκείμενοι παράγοντες.

📊 Πώς λειτουργεί;

• Υπάρχουν δύο μεταβλητές που φαίνεται να έχουν μια σχέση (π.χ. θετική συσχέτιση).

• Όταν χωρίσουμε τα δεδομένα σε ομάδες (π.χ. ηλικιακές, φύλο, τμήματα), η σχέση παραμένει ή ενισχύεται.

• Όταν όμως συγχωνεύσουμε τα δεδομένα, η σχέση αντιστρέφεται ή εξαφανίζεται.

• Αυτό συμβαίνει λόγω ενός κρυφού παράγοντα (confounding variable) που επηρεάζει και τις δύο μεταβλητές.

📚 Παράδειγμα: Εισαγωγή σε πανεπιστήμιο

• Σε μια μελέτη στο UC Berkeley, φάνηκε ότι οι άνδρες είχαν υψηλότερο ποσοστό εισαγωγής από τις γυναίκες.

• Όταν όμως εξετάστηκαν τα δεδομένα ανά τμήμα, φάνηκε ότι οι γυναίκες είχαν ίσα ή και υψηλότερα ποσοστά εισαγωγής.

• Η ανατροπή οφειλόταν στο ότι οι γυναίκες έκαναν αιτήσεις σε πιο ανταγωνιστικά τμήματα με χαμηλότερα ποσοστά εισαγωγής.

🧠 Γιατί είναι σημαντικό;

• Μας υπενθυμίζει ότι η συνολική εικόνα μπορεί να είναι παραπλανητική.

• Η ανάλυση υποομάδων είναι κρίσιμη για σωστά συμπεράσματα.

• Χρησιμοποιείται σε τομείς όπως η ιατρική, η κοινωνιολογία, η οικονομία και η πολιτική.

📌 Συμπέρασμα

Το παράδοξο του Simpson είναι ένα ισχυρό εργαλείο για να κατανοήσουμε πόσο σημαντικό είναι να μην εμπιστευόμαστε τυφλά τα συγκεντρωτικά δεδομένα. Η σωστή στατιστική ανάλυση απαιτεί να δούμε πίσω από τους αριθμούς και να εξετάσουμε τις σχέσεις σε βάθος.

🎉 Ακολούθησε την ομάδα του New Big Brain's Teamκαι στα Social Media!

Μη χάνεις τίποτα από τις τελευταίες ενημερώσεις, ιδέες και backstage στιγμές μας!

📍 Βρες μας εδώ:

• 🌐 Facebook

• 📸 Instagram

👉 Πάτησε τους συνδέσμους και γίνε μέλος της παρέας!

 

Το Παράδοξο της Ανδρομέδας – Όταν το αύριο κάποιου άλλου είναι το σήμερα το δικό σου…

 

🌀 Το Παράδοξο της Ανδρομέδας – Όταν το αύριο κάποιου άλλου είναι το σήμερα το δικό σου…

Φαντάσου έναν εξωγήινο σε έναν πλανήτη της Ανδρομέδας, 2,5 εκατομμύρια έτη φωτός μακριά. Ας πούμε ότι σήμερα αποφασίζει να ξεκινήσει έναν διαγαλαξιακό πόλεμο προς τη Γη.

Το περίεργο είναι πως – σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας – υπάρχουν άνθρωποι εδώ στη Γη που, αυτή τη στιγμή, θεωρούν (με βάση το δικό τους παρόν) ότι η απόφαση αυτή έχει ήδη παρθεί, ενώ άλλοι θεωρούν ότι δεν έχει παρθεί ακόμη. Και όλοι έχουν "δίκιο", ανάλογα με το πώς κινούνται στο χωροχρόνο.

Ακούγεται τρελό; Είναι. Αλλά είναι και φυσική.

🧠 Τι λέει το Παράδοξο της Ανδρομέδας;

Το διατύπωσε πρώτος ο φιλόσοφος Michael Dummett, βασισμένος στη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν. Το παράδοξο δείχνει ότι το "παρόν" δεν είναι το ίδιο για όλους, αν κινείσαι έστω και λίγο.

📌 Αν εσύ περπατάς προς την κατεύθυνση του γαλαξία της Ανδρομέδας και κάποιος άλλος περπατάει αντίθετα, δεν συμφωνείτε για το ποια γεγονότα συμβαίνουν "τώρα" εκεί.

Δηλαδή για σένα, τώρα μπορεί να έχει ήδη παρθεί μια απόφαση στην Ανδρομέδα· για τον άλλον, όχι ακόμη.

🔍 Ένα απλό παράδειγμα:

Φαντάσου δύο φίλους στην Αθήνα: ο ένας κάθεται ακίνητος στο παγκάκι, ο άλλος περπατάει προς τη Σαλαμίνα.

Λόγω της σχετικότητας, οι δυο τους δεν συμφωνούν ακριβώς για το ποια γεγονότα συμβαίνουν "τώρα" σε πολύ μακρινούς γαλαξίες. Και ας διαφέρουν οι ταχύτητές τους ελάχιστα!

Η διαφορά είναι τόσο μικρή που δεν έχει καμία πρακτική επίπτωση, αλλά στην θεωρία είναι υπαρκτή και θεμελιώδης.

💫 Τι μας λέει αυτό για τον χρόνο;

Ο χρόνος δεν είναι σαν ένα παγκόσμιο ρολόι που "χτυπά" το ίδιο για όλους. Ο χρόνος είναι σχετικός. Το "παρόν" σου δεν είναι το παρόν όλων.

Οπότε, η επόμενη φορά που θα πεις «αυτό συμβαίνει τώρα»... Θυμήσου: για κάποιον άλλον, ίσως να έχει ήδη γίνει. Ή να μην έχει συμβεί ακόμα.

Και όμως, οι νόμοι της Φυσικής το επιτρέπουν.

📎 ΥΓ: Δεν σημαίνει ότι κινδυνεύουμε από εξωγήινους της Ανδρομέδας – θέλει 2,5 εκατομμύρια χρόνια να φτάσει το φως τους σε μας.
Αλλά δείχνει πόσο περίεργη και μαγευτική είναι η δομή του σύμπαντος όταν κοιτάξεις βαθύτερα.

🪐 Η Φυσική δεν είναι μόνο εξισώσεις. Είναι τρόπος να δεις τον κόσμο με μάτια που κοιτάζουν και το αόρατο.

#παράδοξοτηςΑνδρομέδας #σχετικότητα #εκλαϊκευμένηφυσική #μαγείατηςεπιστήμης #χρόνος #Αϊνστάιν

Το παράδοξο της επιλογής

 Το 2000, η ​​καθηγήτρια Sheena Iyengar από το Πανεπιστήμιο Columbia διεξήγαγε περίφημα τη «μελέτα μαρμελάδας» ως μια εξερεύνηση επιλογής και λήψης αποφάσεων. Στη μελέτη, η Iyengar και οι ερευνητές της παρουσίασαν αρχικά 24 μαρμελάδες σε ένα πολυσύχναστο σούπερ μάρκετ, ενθαρρύνοντας τη δωρεάν γευσιγνωσία. Αυτή η αφθονία των επιλογών οδήγησε το 60% των πελατών να σταματά και να γεύεται τη μαρμελάδα, αλλά μόνο το 3% να πραγματοποιεί μια αγορά. 

Στη συνέχεια, οι ερευνητές έστησαν την οθόνη με 6 βάζα μαρμελάδας. Αυτή τη φορά υπήρχαν λιγότεροι πελάτες που σταμάτησαν, μόνο 40%, αλλά οι πραγματικές αγορές δεκαπλασιάστηκαν, στο 30%. Αυτή η μελέτη έγινε κεντρικό παράδειγμα στο βιβλίο του Barry Schwartz το 2004, The Paradox of Choice. 

Το παράδοξο της επιλογής είναι ένα φαινόμενο όπου μια αφθονία επιλογών μπορεί να οδηγήσει σε λιγότερη ευτυχία, λιγότερη ικανοποίηση και να εμποδίσει την ικανότητα λήψης αποφάσεων. 

ΠΙΣΩ ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ. 

Μερικοί από τους λόγους για τους οποίους περισσότερες επιλογές μπορεί να οδηγήσουν σε χαμηλότερα ποσοστά μετατροπών περιλαμβάνουν: 

• Πιο προφανές  κόστος ευκαιρίας : όταν παρουσιάζονται επιλογές, η απώλεια της επιλογής που δεν κάνατε θα αυξηθεί ενδεχομένως στο μυαλό σας. Γνωστό και ως «FOMO» ή ο φόβος της απώλειας. 

• Κούραση και υπερένταση αποφάσεων , με κατανόηση της γρήγορης και αργής σκέψης : όπου κάθε συνειδητή απόφαση που παίρνετε έχει γνωστικό κόστος, η λήψη τέτοιων αποφάσεων μπορεί να είναι εξαντλητική.

ΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΟ με επιρροή. 

Το παράδοξο μοντέλο επιλογής είχε σημαντικό αντίκτυπο εκείνη την εποχή — το βιβλίο του Schwartz έγινε μπεστ σέλερ και η υπόθεση του επικυρώθηκε από πολλές αξιόπιστες πηγές. Από το 2004, οι σύγχρονοι καταναλωτές έχουν πλημμυρίσει περισσότερο από επιλογές — από μέσα ενημέρωσης, ηλεκτρονικές αγορές και μην με κάνετε να ξεκινήσω με τις σειρές και τις σειρές οδοντόκρεμας στο σούπερ μάρκετ! Κάτι που κάνει την αντίδραση κατά του μοντέλου ακόμη πιο εκπληκτική.

Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΑΝΤΙΟΝ ΤΟΥ. 

Αυτή η αντίδραση ήρθε στο προσκήνιο το 2010 με μια μετα-ανάλυση του Benjamin Scheibehenne. Τα αποτελέσματά του συχνά θεωρούνται ως μια ευθεία απόρριψη της έρευνας του Iyengar, αποκαλύπτοντας δυσκολίες στην αναπαραγωγή των ευρημάτων της μελέτης μαρμελάδας, δεδομένου ότι εντόπισε ένα μέσο μηδενικό αποτέλεσμα. Σκάβοντας βαθύτερα, ο μηδενικός μέσος όρος κρύβει το γεγονός ότι τα πραγματικά αποτελέσματα ήταν αρκετά διαφορετικά - με την επιλογή να αυξάνει μερικές φορές τα ποσοστά μετατροπής και άλλες φορές να τα ελαχιστοποιεί.

ΥΠΕΡΦΟΡΤΩΣΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ έναντι ΥΠΕΡΦΟΡΤΩΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ. 

Μια διάκριση που έκανε ο Scheibehenne στην προσπάθειά του να κατανοήσει τα ευρήματά του ήταν η διαφορά μεταξύ «υπερφόρτωσης επιλογής» έναντι «υπερφόρτωσης πληροφοριών» . Πράγματι, ο Schwartz, επανεξετάζοντας το έργο του, επεσήμανε ότι το παράδοξο της επιλογής δεν ισχύει όταν ένα άτομο γνωρίζει καλά έναν τομέα και μπορεί να μετριαστεί με μια αποτελεσματική παρουσίαση των επιλογών. 

ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΩΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ.

Άλλοι ισχυρίστηκαν ότι το μειωμένο ποσοστό μετατροπής προκύπτει από την «έλλειψη ουσιαστικής επιλογής» και όχι από την ίδια την επιλογή. Και ορισμένοι ερευνητές έχουν επισημάνει από τότε σε πρόσθετους παράγοντες μετριασμού, όπως οι: 

• Δυσκολία της εργασίας απόφασης: πόση δουλειά απαιτείται για τη λήψη μιας απόφασης.

• Πολυπλοκότητα του συνόλου επιλογής: πόσο εύκολο είναι να κάνεις συγκρίσεις. 

• Επίπεδο αβεβαιότητας : η ικανότητα του καταναλωτή να αξιολογεί τις επιλογές ή να είναι σαφής σχετικά με την προτίμησή του.

• Στόχος απόφασης: είτε είναι η ελαχιστοποίηση του γνωστικού φορτίου είτε η εύρεση της καλύτερης επιλογής. 

ΠΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΟ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ;

Πού σας αφήνει η συζήτηση να αποφασίσετε τα σύνολα επιλογών στην καμπάνια μάρκετινγκ, τη στρατηγική προϊόντων ή απλά να προσπαθήσετε για μια πιο ευτυχισμένη ζωή; Λοιπόν, είναι περίπλοκο. Θα τολμήσουμε να σας υπενθυμίσουμε ότι ο χάρτης δεν είναι η περιοχή ;

Η αλήθεια είναι ότι το παράδοξο μοντέλο επιλογής έχει τις χρήσεις του αλλά έχει και σαφείς περιορισμούς. Κατά την εφαρμογή του, χρησιμοποιήστε μεθόδους πειραματισμού, όπως το Split Testing , για να προσδιορίσετε τον αντίκτυπο στη συγκεκριμένη πρόκληση και το πλαίσιο σας. Επίσης, λάβετε υπόψη ορισμένους από τους παραπάνω παράγοντες για να αποφασίσετε εάν η επιλογή που ενδέχεται να παρέχετε είναι αποκλεισμός ή όφελος. Ανατρέξτε στα Δραστικά Συμπεράσματα παρακάτω για περισσότερα. 

Αυτό το μοντέλο θεωρείται συχνά ως μέρος της ευρύτερης Συμπεριφορικής Οικονομίας, έτσι ενημερώνεται από το Fast and Slow Thinking . Όπως αναφέρθηκε, έχει εξηγηθεί και από το Κόστος Ευκαιρίας. 

Κατά το σχεδιασμό για την αλληλεπίδραση με τον χρήστη, είτε πρόκειται για την παροχή UX, γκάμα προϊόντων ή οτιδήποτε άλλο, εξετάστε το ενδεχόμενο να αντιμετωπίσετε αυτήν την πιθανή πρόκληση με μοντέλα όπως το Occam's Razor για απλοποίηση. το EAST Framework για το σχεδιασμό Nudges. ή/και Αγκύρωση για να πλαισιώσει και να επηρεάσει μια εμπειρία χρήστη. 

  Takeaways

• Μειώστε την ποσότητα της επιλογής.

Όπου χρειάζεται, πειραματιστείτε με τη μείωση των επιλογών. 

• Παρέχετε σαφείς συγκρίσεις ή συνέπειες για επιλογές. 

Σκεφτείτε πώς να παρουσιάσετε βασικές πληροφορίες για να διευκολύνετε την επιλογή μεταξύ πολλών επιλογών. 

• Παρέχετε σαφείς και χαμηλές οδούς τριβής. 

Χρησιμοποιήστε ένα ισχυρό και κατευθυνόμενο κάλεσμα για δράση. μια εξατομικευμένη διαδρομή. κοινωνικές ή συστημικές συστάσεις· ή άλλες στρατηγικές για την επισήμανση μιας απλής διαδρομής απόφασης για τον χρήστη. 

• Παρέχετε κοινωνική απόδειξη. 

Αξιοποιήστε τις απόψεις των ανθρώπων μέσω likes, shares ή ψήφων κ.λπ., για να υποδείξετε τι προτείνεται από το πλήθος — αυτό είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικό όταν το εν λόγω «πλήθος» έχει ουσιαστική σχέση με τον χρήστη. 

• Οργανώστε και παρουσιάστε αποτελεσματικά. 

Σκεφτείτε πώς κατηγοριοποιείτε, τι παρουσιάζετε πού και πώς κατευθύνετε την προσοχή για να υποστηρίξετε την εύκολη λήψη αποφάσεων. Ανατρέξτε στο πλαίσιο EAST για αυτό και το προηγούμενο σημείο. 

• Στη δική σας σήμανση απόφασης, περιορίστε στρατηγικά τη δική σας επιλογή. 

Μπορείτε να το κάνετε αυτό δημιουργώντας κανόνες που εφαρμόζετε σε μη ουσιώδη ζητήματα (π.χ. ο Steve Jobs και ο Barack Obama που φορούν τα ίδια ρούχα επανειλημμένα). Προσδιορίστε ποιες αποφάσεις αυξάνουν το άγχος και την «παράλυση» και σκεφτείτε πώς να μειώσετε την επιλογή σε αυτές. εξετάστε το ενδεχόμενο να εστιάσετε στο «αρκετά καλό» για να βοηθήσετε να απαλλαγείτε από το κόστος ευκαιρίας. 

• Πειραματιστείτε και δοκιμάστε. 

Εφαρμόστε το παράδοξο της επιλογής ως αρχή και όχι ως σταθερό κανόνα. Διαχωρίστε τη δοκιμή και πειραματιστείτε στο περιβάλλον σας για να κρίνετε τον αντίκτυπο.

Πηγή:https://modelthinkers.com

Το παράδοξο του Κάρι

 

Σε προηγούμενη ανάρτησή μας  αναφερθήκαμε στο "Παράδοξο του ψεύτη ".

Συνεχίζουμε με ένα ακόμα παράδοξο γνωστό ως παράδοξο του Κάρι.

Το παράδοξο του Curry, που πήρε το όνομά του από τον Αμερικανό μαθηματικό Haskell B. Curry, βασίζεται σε ένα υπονοούμενο. Πάρτε, για παράδειγμα, τη δήλωση «Αν αυτή η δήλωση είναι αλήθεια, τότε το φεγγάρι είναι φτιαγμένο από πράσινο τυρί».

Ο φιλόσοφος Stephen Reed για τη μη κλασική λογική "Το παράδοξο του ψεύτη "

 

«Αυτή η δήλωση είναι ψευδής» είναι μια κλασική διατύπωση του παραδόξου του ψεύτη.

Αν υποθέσουμε ότι η δήλωση είναι αληθινή, τότε το άτομο πρέπει να πει την αλήθεια, αλλά παραδέχεται ότι λέει ψέματα. Και αν η δήλωση είναι πράγματι ψευδής, τότε το άτομο πρέπει να μας εξαπατήσει, αλλά στο τέλος λέει την αλήθεια. Προκύπτει μια αντίφαση: μια δήλωση δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής. Αυτός είναι ο νόμος της δισθενείας: υπάρχουν μόνο δύο τιμές αλήθειας και κάθε πρόταση μπορεί να έχει μόνο μία από αυτές.

Το παράδοξο μπορεί να αποφευχθεί υποθέτοντας ότι η πρόταση αποτελεί εξαίρεση στον νόμο της δισθενείας, ότι δεν είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής. Η νέα διατύπωση της δήλωσης θα ακούγεται ως εξής: «Αυτό που λέω δεν είναι αλήθεια». Αν υποθέσουμε ότι αυτό είναι αλήθεια, τότε όλα είναι όπως λέει το άτομο και η δήλωσή του δεν είναι αληθινή. Αλλά μια δήλωση δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθινή και ψευδής, επομένως είναι ψέμα. Υποθέσαμε ότι η δήλωση είναι αληθινή, είχαμε αντίφαση και καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι είναι ψευδής. Αλλά είπε επίσης ότι η δήλωση δεν είναι αληθινή, κάτι που μόλις αποδείξαμε και είχαμε πάλι μια αντίφαση.

Διαζευκτικός συλλογισμός

Ο νόμος της μη αντίφασης λέει: τίποτα δεν μπορεί να έχει ταυτόχρονα κάποιο χαρακτηριστικό και να μην το έχει. Ένα απλό παράδειγμα: Ένας τοίχος δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα λευκός και μη. Αλλά η δήλωση "Αυτό που λέω δεν είναι αλήθεια" είναι και αληθινό και ψευδές, είναι ένα αντιπαράδειγμα στον νόμο της μη αντίφασης.

Οι φιλόσοφοι θεωρούν κακή ιδέα να επιτρέπονται αντιφάσεις στις θεωρίες. Ας υποθέσουμε όμως ότι η δήλωση «Ή η δήλωση είναι αληθινή ή το φεγγάρι είναι από πράσινο τυρί» είναι και αληθινή και ψευδής. Έτσι, αν λέμε ψέματα ότι λέμε αλήθεια, ή λέμε την αλήθεια ότι λέμε ψέματα, πρέπει να παραδεχτούμε ότι το φεγγάρι είναι φτιαγμένο από πράσινο τυρί. Η αρχή που χρησιμοποιείται μπορεί να συνοψιστεί ως "είτε P είτε Q και όχι P, επομένως Q". Αυτός ο τυπικός κανόνας ονομάζεται στη λογική διαχωριστικός συλλογισμός.

 Λύσεις στο παράδοξο του ψεύτη

Η λύση στο παράδοξο του ψεύτη μπορεί να βρεθεί υποθέτοντας αντιφάσεις χωρίς να χρειάζεται να βγάλουμε συμπεράσματα από αυτές - και εδώ θα πρέπει να εισαχθεί η λέξη «διαλεθεϊκός». Μπορεί να μεταφραστεί από τα ελληνικά ως «δύο αξίες αλήθειας». Οι υποστηρικτές των διαλεκτικών λύσεων προτείνουν την εγκατάλειψη των διαχωριστικών συλλογισμών ως μέθοδο επιχειρηματολογίας. Αν υποθέσουμε ότι οι δηλώσεις έχουν δύο τιμές αλήθειας ταυτόχρονα, τότε οι προϋποθέσεις του διαχωριστικού συλλογισμού μπορεί να είναι αληθείς, αλλά η συνέπεια θα είναι ψευδής.

Εξετάστε ως παράδειγμα τη δήλωση "είτε P είτε Q και όχι P" και υποθέστε ότι το P είναι και σωστό και λάθος. Τότε το "είτε P είτε Q" είναι επίσης και αληθές και ψευδές, ανεξάρτητα από την τιμή του Q. Αν όμως το P είναι και αληθές και λάθος, τότε το "not P" είναι και σωστό και λάθος, και τότε "είτε P είτε Q και όχι Π" είτε. ταυτόχρονα αληθές και ψευδές. Αλλά αν δεχθούμε την αλήθεια της δήλωσης P, και το Q ("είτε η Σελήνη είναι φτιαγμένη από πράσινο τυρί") είναι ψευδής, τότε, σύμφωνα με τις αρχές του διαχωριστικού συλλογισμού, θα αναγκαστούμε να περάσουμε από τις αληθινές προϋποθέσεις σε μια ψευδή συνέπεια.

Έχουμε μια βιώσιμη λύση για το παράδοξο του ψεύτη, αλλά λειτουργεί μόνο αν στραφούμε στη μη κλασική λογική, στην οποία οι αρχές του διαχωριστικού συλλογισμού έχουν εγκαταλειφθεί.

ΠΗΓΉ:https://postnauka.ru/longreads 

Το παράδοξο φαινόμενο της «ανηφόρας» της Πεντέλης

Eίναι δυνατόν να αποσυνθέσουμε μια σφαιρική επιφάνεια σε έναν πεπερασμένο αριθμό σημειοσυνόλων και στη συνέχεια, ανακατανέμοντας κατάλληλα αυτά τα σημειοσύναολα, να κατασκευάσουμε δυο πανομοιότυπες σφαιρικές επιφάνειες με την αρχική; Το παράδοξο των Banach-Tarski,

 

Πολλά παράδοξα εμφανίζονται όταν έχουμε να κάνουμε με άπειρα σύνολα. Για παράδειγμα το παράδοξο με το ξενοδοχείο των άπειρων δωματίων.
Ένας ταξιδιώτης φτάνει στην ρεσεψιόν του ξενοδοχείου αυτού και ζητάει δωμάτιο για μια νύχτα. Ο υπάλληλος της ρεσεψιόν του λέει πως όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα.  Εκεί επεμβαίνει ο διευθυντής του ξενοδοχείου και δίνει την εξής λύση: θα μεταφέρουμε τον ένοικο του δωματίου 1 στο δωμάτιο 2, τον ένοικο του 2 στο 3, του 3 στο 4 κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο. Έτσι ο νέος πελάτης θα πάρει το δωμάτιο 1.

Την επόμενη μέρα ο ταξιδιώτης αναχωρεί και το δωμάτιο 1 αδειάζει. Τότε ο διευθυντής του ξενοδοχείου που θέλει το ξενοδοχείο του να έχει πληρότητα 100%, δίνει εντολή στον υπάλληλο να μεταφέρει το ένοικο του δωματίου 2 στο δωμάτιο 1, τον ένοικο του 3 στο 2, του 4 στο 3 κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο, αποκαθιστώντας έτσι την πληρότητα του ξενοδοχείου!

Το παράδοξο του ξενοδοχείου απείρων δωματίων μπορεί να εφαρμοστεί στα σημεία ενός κύκλου. Θεωρούμε τα άπειρα σημεία του κύκλου σαν τους ενοίκους του ξενοδοχείου με τα άπειρα δωμάτια. Στη συνέχεια αφαιρούμε ένα σημείο από τον κύκλο. Θα δούμε πως αυτό δεν έχει καμία σημασία. Αν αρχίσουμε να αριθμούμε τα σημεία του κύκλου (1, 2, 3, 4, …) ξεκινώντας με συγκεκριμένη φορά από την οπή, ανά μήκος τόξου ίσο με την ακτίνα του κύκλου, θα καλύψουμε όλα τα σημεία του κύκλου – χωρίς να πέσουμε ποτέ δυο φορές στο ίδιο σημείο του κύκλου.

Αν τώρα μεταθέσουμε κατά μία θέση όλα τα σημεία προς την αντίθετη φορά, όπως με το ξενοδοχείο, τότε θα καλύψουμε την οπή που δημιουργήσαμε στην αρχή αφαιρώντας ένα σημείο!
Αυτά και άλλα παράδοξα αναφέρονται στο βίντεο που ακολουθεί μέχρι να μας εισάγει σε ένα παράδοξο που δύσκολα χωνεύεται.

Eίναι δυνατόν να αποσυνθέσουμε μια σφαιρική επιφάνεια σε έναν πεπερασμένο αριθμό σημειοσυνόλων και στη συνέχεια, ανακατανέμοντας κατάλληλα αυτά τα σημειοσύναολα, να κατασκευάσουμε δυο πανομοιότυπες σφαιρικές επιφάνειες με την αρχική; Τα μαθηματικά απαντούν καταφατικά.

Πρόκειται για το παράδοξο των Banach-Tarski, ένα θεώρημα των καθαρών μαθηματικών που διατυπώθηκε από τους μαθηματικούς Stefan Banach και Alfred Tarski. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό μπορούμε να διαμερίσουμε οποιαδήποτε τρισδιάστατη μπάλα σε ένα πεπερασμένο πλήθος κομματιών και στη συνέχεια … αναδιατάσσοντας τα κομμάτια με κατάλληλο τρόπο να σχηματίσουμε δύο μπάλες πανομοιότυπες με την αρχική!

ΠΗΓΉ 

To παράδοξο του κρητικού Επιμενίδη : "Όλοι οι Κρήτες λένε ψέματα " .Είναι σωστή η πρόταση ή λάθος

  O Επιμενίδης ήταν ξακουστός κατά την αρχαιότητα σοφός, θρησκευτικός διδάσκαλος, προφήτης και μάντης, καταγόμενος από την Κρήτη (κατά τον Διογένη Λαέρτιο από την Κνωσό, κατά τον Πλούταρχο από τη Φαιστό). Σύμφωνα με την μυθική παράδοση περί του βίου του, κοιμήθηκε για 57 χρόνια, εξ ου και η παροιμιώδης φράση Επιμενίδειος ύπνος. Έζησε συνολικά 157 ή 299 χρόνια. Το μόνο ιστορικό γεγονός του βίου του, αναφέρεται στην κάθαρση της Αθήνας από το Κυλώνειο Άγος (596 π.Χ.).

Ο Επιμενίδης έγινε αφορμή και για ένα γνωστό παράδοξο στη Λογική. Σε ένα ποίημά του είχε γράψει:

Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται (οι Κρήτες είναι πάντα ψεύτες)

Ο στίχος αυτός αναφέρεται και στην Προς Τίτον Επιστολή του Αποστόλου Παύλου (1:12):

εἶπέ τις ἐξ αὐτῶν ἴδιος αὐτῶν προφήτης· Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται, κακὰ θηρία, γαστέρες ἀργαί

Ένας άλλος στίχος από τις Πράξεις των Αποστόλων στον λόγο του Παύλου προς τους Αθηναίους στον Άρειο Πάγο επίσης αποδίδεται στον Επιμενίδη:

ἐν αὐτῷ γὰρ ζῶμεν καὶ κινούμεθα καὶ ἐσμέν, ὡς καί τινες τῶν καθ᾿ ὑμᾶς ποιητῶν εἰρήκασι· (Πράξ. 17:28)

Ο καθηγητής Rendel Harris διατύπωσε σε μια σειρά άρθρων του [1] τη θεωρία ότι οι στίχοι αυτοί προέρχονται από το ποίημα του Επιμενίδη Μίνως, το οποίο δε σώζεται, αλλά μετάφρασή του στα συριακά βρήκε στον σχολιασμό των Πράξεων των Αποστόλων του Isho’dad του Merv (περί το 850 μ.Χ.) και στο Gannat Busame. Ο Harris ανακατασκεύασε το ποίημα από τα Συριακά στα αρχαία Ελληνικά ως εξής:

Τύμβον ἐτεκτήναντο σέθεν, κύδιστε, μέγιστε,
Κρῆτες, ἀεὶ ψεῦσται, κακὰ θηρία, γαστέρες ἀργοί·
Ἀλλὰ σύ γ᾿ οὐ θνῇσκεις, ἕστηκας γὰρ ζοὸς αἰεί·
Ἐν γὰρ σοὶ ζῶμεν καὶ κινούμεθ᾿ ἠδὲ καὶ ἐσμέν

Στο σημείο αυτό ο Μίνως απευθύνεται στον Δία και του λέει πως οι Κρήτες τον θεωρούν θνητό, αλλά ότι είναι ψεύτες και αυτός είναι στην πραγματικότητα αθάνατος.

Κατά τον 19ο αιώνα διατυπώθηκε με βάση τη φράση του αυτή ότι οι Κρήτες είναι ψεύτες το εξής λογικό παράδοξο, γνωστό και ως παράδοξο του Επιμενίδη:

• Ο Επιμενίδης λέει ότι όλοι οι Κρήτες είναι ψεύτες
• Ο Επιμενίδης είναι Κρητικός
• Άρα ο Επιμενίδης λέει ψέματα
• Άρα οι Κρήτες λένε την αλήθεια
• Άρα και ο Επιμενίδης λέει την αλήθεια
• Άρα οι Κρήτες είναι ψεύτες κ.ο.κ.

Φαίνεται πάντως από το ποίημα ότι ο Επιμενίδης δεν το έθεσε ως παράδοξο, αλλά εννοούσε τους υπόλοιπους Κρήτες πλην του εαυτού του.

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

========================================

Παραθέτουμε την βιογραφία του Επιμενίδη όπως την κατέγραψε ο Διογένης Λαέρτιος στο έργο του Βίοι καὶ γνῶμαι τῶν ἐν φιλοσοφίᾳ εὐδοκιμησάντων

ΕΠΙΜΕΝΙΔΗΣ<!—->
109	Ἐπιμενίδης, καθά φησι Θεόπομπος (FGrH 115 F 67a) καὶ ἄλλοι συχνοί, πατρὸς μὲν ἦν Φαιστίου, οἱ δὲ Δωσιάδα, οἱ δὲ Ἀγησάρχου. Κρὴς τὸ γένος ἀπὸ Κνωσοῦ, καθέσει τῆς κόμης τὸ εἶδος παραλλάσσων. οὗτός ποτε πεμφθεὶς παρὰ τοῦ πατρὸς εἰς ἀγρὸν ἐπὶ πρόβατον, τῆς ὁδοῦ κατὰ μεσημβρίαν ἐκκλίνας ὑπ’ ἄντρῳ τινὶ κατεκοιμήθη ἑπτὰ καὶ πεντήκοντα ἔτη. διαναστὰς δὲ μετὰ ταῦτα ἐζήτει τὸ πρόβατον, νομίζων ἐπ’ ὀλίγον κεκοιμῆσθαι. ὡς δὲ οὐχ εὕρισκε, παρεγένετο εἰς τὸν ἀγρόν, καὶ μετεσκευασμένα πάντα καταλαβὼν καὶ παρ’ ἑτέρῳ τὴν κτῆσιν, πάλιν ἧκεν εἰς ἄστυ διαπορούμενος. κἀκεῖ δὲ εἰς τὴν ἑαυτοῦ εἰσιὼν οἰκίαν περιέτυχε τοῖς πυνθανομένοις τίς εἴη, ἕως τὸν νεώτερον ἀδελφὸν εὑρὼν τότε ἤδη γέροντα ὄντα, πᾶσαν ἔμαθε παρ’ ἐκείνου τὴν ἀλήθειαν.
110	γνωσθεὶς δὲ παρὰ τοῖς Ἕλλησι θεοφιλέστατος εἶναι ὑπελήφθη. Ὅθεν καὶ Ἀθηναίοις τότε λοιμῷ κατεχομένοις ἔχρησεν ἡ Πυθία καθῆραι τὴν πόλιν· οἱ δὲ πέμπουσι ναῦν τε καὶ Νικίαν τὸν Νικηράτου εἰς Κρήτην, καλοῦντες τὸν Ἐπιμενίδην. καὶ ὃς ἐλθὼν Ὀλυμπιάδι τεσσαρακοστῇ ἕκτῃ ἐκάθηρεν αὐτῶν τὴν πόλιν καὶ ἔπαυσε τὸν λοιμὸν τοῦτον τὸν τρόπον. λαβὼν πρόβατα μελανά τε καὶ λευκὰ ἤγαγε πρὸς τὸν Ἄρειον πάγον. κἀκεῖθεν εἴασεν ἰέναι οἷ βούλοιντο, προστάξας τοῖς ἀκολούθοις ἔνθα ἂν κατακλίνοι αὐτῶν ἕκαστον, θύειν τῷ προσήκοντι θεῷ· καὶ οὕτω λῆξαι τὸ κακόν. ὅθεν ἔτι καὶ νῦν ἔστιν εὑρεῖν κατὰ τοὺς δήμους τῶν Ἀθηναίων βωμοὺς ἀνωνύμους, ὑπόμνημα τῆς τότε γενομένης ἐξιλάσεως. οἱ δὲ τὴν αἰτίαν εἰπεῖν τοῦ λοιμοῦ τὸ Κυλώνειον ἄγος σημαίνειν τε τὴν ἀπαλλαγήν· καὶ διὰ τοῦτο ἀποθανεῖν δύο νεανίας,
111	Κρατῖνον καὶ Κτησίβιον, καὶ λυθῆναι τὴν συμφοράν. Ἀθηναῖοι δὲ τάλαντον ἐψηφίσαντο δοῦναι αὐτῷ καὶ ναῦν τὴν ἐς Κρήτην ἀπάξουσαν αὐτόν. ὁ δὲ τὸ μὲν ἀργύριον οὐ προσήκατο· φιλίαν δὲ καὶ συμμαχίαν ἐποιήσατο Κνωσίων καὶ Ἀθηναίων. Καὶ ἐπανελθὼν ἐπ’ οἴκου μετ’ οὐ πολὺ μετήλλαξεν, ὥς φησι Φλέγων ἐν τῷ Περὶ μακροβίων (FGrH 257 F 38), βιοὺς ἔτη ἑπτὰ καὶ πεντήκοντα καὶ ἑκατόν· ὡς δὲ Κρῆτες λέγουσιν, ἑνὸς δέοντα τριακόσια· ὡς δὲ Ξενοφάνης ὁ Κολοφώνιος ἀκηκοέναι φησί (DK 21 B 20), τέτταρα πρὸς τοῖς πεντήκοντα καὶ ἑκατόν. Ἐποίησε δὲ Κουρήτων καὶ Κορυβάντων γένεσιν καὶ θεογονίαν, ἔπη πεντακισχίλια, Ἀργοῦς ναυπηγίαν τε καὶ Ἰάσονος εἰς Κόλ-
112 Πηγή :https://antikleidi.com/2012/10/14/epimenides/	χους ἀπόπλουν ἔπη ἑξακισχίλια πεντακόσια. συνέγραψε δὲ καὶ καταλογάδην περὶ θυσιῶν καὶ τῆς ἐν Κρήτῃ πολιτείας καὶ περὶ Μίνω καὶ Ῥαδαμάνθυος εἰς ἔπη τετρακισχίλια. ἱδρύσατο δὲ καὶ παρ’ Ἀθηναίοις τὸ ἱερὸν τῶν Σεμνῶν θεῶν, ὥς φησι Λόβων ὁ Ἀργεῖος ἐν τῷ Περὶ ποιητῶν (Cro+n. 16). λέγεται δὲ καὶ πρῶτος οἰκίας καὶ ἀγροὺς καθῆραι καὶ ἱερὰ ἱδρύσασθαι. εἰσὶ δ’ οἳ μὴ κοιμηθῆναι αὐτὸν λέγουσιν, ἀλλὰ χρόνον τινὰ ἐκπατῆσαι ἀσχολού- μενον περὶ ῥιζοτομίαν. Φέρεται δ’ αὐτοῦ καὶ ἐπιστολὴ πρὸς Σόλωνα τὸν νομοθέτην, περιέχουσα πολιτείαν ἣν διέταξε Κρησὶ Μίνως. ἀλλὰ Δημήτριος ὁ Μάγνης ἐν τοῖς Περὶ ὁμωνύμων ποιητῶν τε καὶ συγγραφέων διελέγχειν πειρᾶται τὴν ἐπιστολὴν ὡς νεαρὰν καὶ μὴ τῇ Κρητικῇ φωνῇ γεγραμμένην, Ἀτθίδι δὲ καὶ ταύτῃ νέᾳ. ἐγὼ δὲ καὶ ἄλλην εὗρον ἐπιστολὴν ἔχουσαν οὕτως·<!—->