Λυμένη άσκηση στις συναρτήσεις μαθηματικά λυκείου

 

Άσκηση Μαθηματικών

Δίνεται ότι το x + 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου:

f(x) = 2x³ - 7x² - 10x + 24

Να απαντήσετε στα παρακάτω:

1. Να γράψετε το f(x) ως γινόμενο μιας τετραγωνικής και μιας γραμμικής παράστασης.
2. Να παραγοντοποιήσετε πλήρως το f(x).
3. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης f(x) = 0.
4. Να γράψετε τις ρίζες της εξίσωσης f(x - 2) = 0.

Λύση Άσκησης Μαθηματικών

Δίνεται ότι το x + 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου:

f(x) = 2x³ - 7x² - 10x + 24

1. Γραφή ως γινόμενο τετραγωνικής και γραμμικής παράστασης

Αφού x + 2 είναι παράγοντας, διαιρούμε το f(x) με x + 2 με χρήση συνθετικής διαίρεσης ή μακροχρόνιας διαίρεσης.

Το αποτέλεσμα είναι:

f(x) = (x + 2)(2x² - 11x + 12)

2. Πλήρης παραγοντοποίηση του f(x)

Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο 2x² - 11x + 12.

Βρίσκουμε δύο αριθμούς που έχουν γινόμενο 2 × 12 = 24 και άθροισμα -11: αυτοί είναι -3 και -8.

Άρα:

2x² - 11x + 12 = (2x - 3)(x - 4)

Τελική παραγοντοποίηση:

f(x) = (x + 2)(2x - 3)(x - 4)

3. Λύσεις της εξίσωσης f(x) = 0

Θέτουμε f(x) = 0:

(x + 2)(2x - 3)(x - 4) = 0

Άρα οι λύσεις είναι:

• x = -2
• x = 3/2
• x = 4

4. Ρίζες της εξίσωσης f(x - 2) = 0

Αντικαθιστούμε x - 2 στη θέση του x:

Οι ρίζες του f(x) = 0 ήταν x = -2, \; 3/2, \; 4.

Άρα για f(x - 2) = 0, λύνουμε x - 2 = -2, \; 3/2, \; 4.

Τελικές ρίζες:

• x = 0
• x = 7/2
• x = 6