Πως κάνω την γραφική παράσταση της συνάρτησης y=ax^2 διερεύνηση του σχήματος για τις διάφορες τιμές του a συναρτήσεις λυκείου

Ο τύπος της γραφικής παράστασης  f(x)=ax2 είναι η απλούστερη μια συνάρτησης δευτέρου βαθμού.

Σε αυτήν την διερεύνηση θα εξετάσουμε πως oαριθμός  a  που  είναι o συντελεστής  μπροστά από τη μεταβλητή x2 επηρεάζει τη γραφική παράσταση.

Δίνουμε τυχαίες τιμές στον συντελεστή a  όπως 1/2, 2,5,7 και παρακάτω παροουσιάζεται η γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης :

f(x)=½ x2
f(x)=2x2
f(x)=5x2
f(x)=7x2

 Η παρατήρηση  είναι ότι όσο μεγαλώνουμε τον συντελεστή a  τόσο μικραίνει το άνοιγμα  της καμπύλης .

Αυτό συμβαίνει γιατί τα αντίστοιχεα f(x) που προκύπτουν μεγαλώνουν  και αυτά αλλά με μεγαλύτερο ρυθμό από ότι μεγαλώνουν οι τιμές του χ..

Ας δούμε μερικά παραδείγματα αλγεβρικά και μετά γραφικά.

Θεωρήστε g(x)  = 2x2 έναντι f(x)=10x2

Τιμή x	g(x) = 2x2	f(x)= 10x2
x = 2	y = 8	y = 40
x = 3	y = 18	y = 90
x = 4	y = 32	y = 160
x = 5	y = 50	y = 250

Καθώς αυξάνεται το x, οι τιμές y στη στήλη f(x) = 10x2 γίνονται πολύ μεγαλύτερες από τις τιμές y στη στήλη g(x)  = 2x2. 

Για αυτόν τον λόγο, λέμε ότι ο ρυθμός αύξησης για f(x) = 10x2 είναι μεγαλύτερος από τον ρυθμό αύξησης για  g(x) = 2x2.

Παρακάτω, μπορείτε να δείτε αυτές τις δύο συναρτήσεις που γράφονται στον ίδιο άξονα.

 Ποιο γράφημα αντιπροσωπεύει ποια συνάρτηση;

Προφανώς η γραφική παράσταση με μπλε χρώμα είναι πιο απότομη (μικρό άνοιγμα) γιατί  οι τιμές για το ίδιο x  είναι πιο μεγάλες από την γραφική παράσταση της πράσινης γραμμής.

Ποια τιμή  θα πάρουμε ως αποτέλεσμα αν a=0 ;

1.- Παρατήρησε επίσης ότι για οποιαδήποτε τιμή του a  η συνάρτηση έχει πάντα μια ελάχιστη τιμή το y=0 ή  f(x)=0, δηλαδη παρουσιάζει  ελάχιστο  που σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση δεν πάει παρακάτω από τον άξονα χχ'.

 2.- Επίσης παρατήρησε ότι όσο  οι τιμές του χ μεγαλώνουν όσο από το -00 πηγαίνουμε στο μηδέν  οι τιμές του y ή f(x)  μικραίνουν από το -00  στο μηδέν.

Αυτή τη σχέση που  υπάρχει ανάμεσα στις τιμές του χ να μεγαλώνουν και στις αντίστοιχες τιμές του y που μικραίνουν την ονομάζουμε μονοτονία  μιας συνάρτησης και συγκεκριμένα   λέμε ότι η συνάρτηση είναι φθίνουσα.  

Άρα  η συνάρτηση από το (-00,0) είναι φθίνουσα .

'Οταν το χ απο το 0 μεγαλώνει παρατηρούμε ότι μεγαλώνει και η τιμή της συνάρτησης. Επειδή και οι δυο μεταβλητές μεγαλώνουν  λέμε ότι το είδος της μονοτονίας είναι αύξουσα.

 'Αρα  από το (0.+00) είναι αύξουσα.

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την περίπτωση που  ο συντελεστής  a  παίρνει  αρνητικές τιμές .

Πως επηρεάζει την γραφική παράσταση.

Για αυτό θα κατασκευάσουμε   γραφική παράσταση της συνάρτησης     g(x)=-2x2

 αφού πρώτα βάλλουμε μερικές τυχαίες τιμές του χ.

 

'Οπως διαπιστώνουμε  όλα τα αποτελέσμα τις  g(x)  είναι τιμές αρνητικές και η γραφική παράσταση όπως φαίνεται  στο παραπάνω σχήμα.

1.- Παρατήρησε επίσης ότι για οποιαδήποτε τιμή του a  η συνάρτηση έχει πάντα μια μέγιστη τιμή  το y=0 ή  f(x)=0, δηλαδη παρουσιάζει  μέγιστο   που σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση δεν πάει πάνω  από τον άξονα χχ'.

 2.- Επίσης παρατήρησε ότι όσο  οι τιμές του χ μεγαλώνουν όσο από το -00 πηγαίνουμε στο μηδέν  οι τιμές του y ή f(x) μεγαλώνουν  από το -00  στο μηδέν.

Αυτή τη σχέση που  υπάρχει ανάμεσα στις τιμές του χ να μεγαλώνουν και στις αντίστοιχες τιμές του y που μεγαλώνουν την ονομάζουμε μονοτονία  μιας συνάρτησης και συγκεκριμένα   λέμε ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα.

Άρα από το (-00,0) η συνάρτηση είναι αύξουσα..

'Οταν οι τιμές του χ από το 0 μεγαλώνουν παρατηρούμε ο  οι τιμές της συνάρτησης μικραίνουν. Αρα απο το (0,+00)  η συνάρτηση είναι φθίνουσα.

Για περισσότερα εδώ