Προτεινόμενες ασκήσεις (με άμεση λύση) επανάληψης στα διανύσματα παρ 2.4 και 2. μαθηματικά β λυκείου προσανατολισμού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ - Blog Διανυσμάτων

Άσκηση 1

Δίνονται διανύσματα α και β, με |α| = 4 και (α, β) = π/3. Αν ισχύει α · (α + β) = 28, να βρείτε:

1. το εσωτερικό γινόμενο α · β
2. το μέτρο του διανύσματος β
3. το εσωτερικό γινόμενο (α − β) · (2α + β)

Μεθοδολογία:

• Χρησιμοποίησε την ιδιότητα α·(α+β) = α·α + α·β.
• Εφάρμοσε τον τύπο α·β = |α||β|cosθ για να βρεις το |β|.
• Για το τελευταίο γινόμενο, κάνε επιμερισμό και υπολόγισε όλα τα επιμέρους.

Λύση:

i) α·β = 12

ii) |β| = 6

iii) (α − β) · (2α + β) = −16

Άσκηση 2

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(3,5), Β(x,x−4), Γ(−5,11), όπου ισχύει ΑΒ · ΑΓ = −32.

1. Να βρείτε τον αριθμό x
2. Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΑΜ · ΓΝ

Μεθοδολογία:

• Υπολόγισε τα διανύσματα AB και AG από τις συντεταγμένες.
• Εφάρμοσε τον τύπο του εσωτερικού γινομένου για να βρεις το x.
• Βρες τα μέσα των πλευρών και τα αντίστοιχα διανύσματα, μετά υπολόγισε το γινόμενο.

Λύση:

i) x = 1

ii) AM·GN = −45

Άσκηση 3

Δίνονται τα διανύσματα α = (2,λ) και β = (λ − 8,1), με λ ∈ ℝ και ισχύει α · β = −1.

1. Να βρείτε τον αριθμό λ
2. Το εσωτερικό γινόμενο (2α − β) · (α + β)

Μεθοδολογία:

• Εφάρμοσε τον τύπο του εσωτερικού γινομένου για να βρεις το λ.
• Υπολόγισε τα διανύσματα 2α − β και α + β.
• Υπολόγισε το εσωτερικό γινόμενο τους.

Λύση:

i) λ = 5

ii) (2α − β) · (α + β) = 47