Θεωρία αριθμών και Κρυπτογραφία : Παράδειγμα: Η Κρυφή Επιστολή της Άννας

 🔐 Παράδειγμα: Η Κρυφή Επιστολή της Άννας

🎯 Στόχος:

Να δουν οι μαθητές πώς χρησιμοποιούνται οι πρώτοι αριθμοί και οι υπολογισμοί modulo (υπόλοιπα) για να κρύψουμε μηνύματα.

🧠 Εισαγωγή:

🗣️ «Η Άννα θέλει να στείλει ένα μυστικό μήνυμα στον φίλο της, τον Νίκο, αλλά φοβάται ότι κάποιος θα το διαβάσει.
Θα χρησιμοποιήσει κρυπτογραφία με τη βοήθεια της θεωρίας αριθμών!»

 

🔢 Κωδικοποίηση με Υπόλοιπα (modulo)

Χρησιμοποιούμε έναν απλό κανόνα:
Κάθε γράμμα της λέξης αντιστοιχεί σε έναν αριθμό (Α = 1, Β = 2, ..., Ω = 24).

Έπειτα, πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό με έναν πρώτο αριθμό και κρατάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με έναν άλλο αριθμό (δηλαδή mod).

🔧 Παράδειγμα:

Έστω ότι θέλουμε να κρυπτογραφήσουμε τη λέξη:

"ΚΑΛΗ"

Βήμα 1: Μετατροπή σε αριθμούς:

Γράμμα	Θέση
Κ	10
Α	1
Λ	11
Η	8

Βήμα 2: Πολλαπλασιάζουμε με έναν "μυστικό αριθμό" (π.χ. 7)

και κρατάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 26 (mod 26)

(Εδώ 26 = αριθμός γραμμάτων του αγγλικού αλφαβήτου, μπορούμε όμως να το ορίσουμε εμείς)

Αριθμός	Πράξη	Υπόλοιπο (mod 26)
10	10 × 7 = 70	70 mod 26 = 18
1	1 × 7 = 7	7 mod 26 = 7
11	11 × 7 = 77	77 mod 26 = 25
8	8 × 7 = 56	56 mod 26 = 4

Βήμα 3: Αντιστοίχιση των νέων αριθμών με γράμματα:

Υπόλοιπο	Γράμμα
18	Ρ
7	Ζ
25	Ψ
4	Δ

✅ Το κρυπτογραφημένο μήνυμα είναι: "ΡΖΨΔ"

🔓 Αποκωδικοποίηση (προαιρετικά ή για δυνατούς μαθητές)

Ο Νίκος γνωρίζει το κλειδί:

• Ο πολλαπλασιασμός έγινε με το 7

• mod 26
  Για να βρει το αρχικό μήνυμα, χρειάζεται να κάνει αντίστροφη πράξη, δηλαδή:

✳️ Να βρει τον αντίστροφο του 7 mod 26 (δηλαδή ποιος αριθμός x ισχύει: 7×x ≡ 1 mod 26)

Η απάντηση είναι x = 15, γιατί:

7×15 = 105 → 105 mod 26 = 1

Άρα τώρα:

Κωδικός	Πράξη	Αποκρυπτογράφηση
18	18 × 15 = 270	270 mod 26 = 10 → Κ
7	7 × 15 = 105	105 mod 26 = 1 → Α
25	25 × 15 = 375	375 mod 26 = 11 → Λ
4	4 × 15 = 60	60 mod 26 = 8 → Η

Η παρούσα ανάρτηση αποτελεί μέρος  των μαθημάτων  "MASTERCLASS 4"

Αν θέλεις στα σχόλια γράψε μου πως σου φάνηκε η παραπάνω ανάρτηση .