Μαθηματικά παράδοα : Το παράδοξο της Διαμέρισης Σφαίρας , ή το παράδοξο του Banach και Tarski

 Το παράδοξο του Tarski (ή παράδοξο Banach–Tarski) είναι ένα διάσημο μαθηματικό παράδοξο που σχετίζεται με τη θεωρία συνόλων και τη γεωμετρία. Παρουσιάστηκε το 1924 από τους μαθηματικούς Stefan Banach και Alfred Tarski και βασίζεται στη χρήση του αξιώματος της επιλογής στη θεωρία συνόλων.

---

Η Διατύπωση του Παράδοξου

Το παράδοξο λέει ότι:

Ένα στερεό σφαιρικό σώμα (όπως μια μπάλα) μπορεί να διαχωριστεί σε πεπερασμένο αριθμό (συγκεκριμένα 5 ή 6) ασύνδετων κομματιών, τα οποία, όταν επανατοποθετηθούν και περιστραφούν, μπορούν να σχηματίσουν δύο σφαίρες ίδιου μεγέθους με την αρχική.

Με άλλα λόγια, από μία μπάλα μπορείς να δημιουργήσεις δύο μπάλες ίδιου μεγέθους!

---

Πώς είναι δυνατόν;

Το παράδοξο αυτό δεν παραβιάζει τους νόμους της φυσικής, αλλά είναι καθαρά μαθηματικό και βασίζεται στις εξής ιδέες:

1. Χρήση του Αξιώματος της Επιλογής:
   Το αξίωμα αυτό επιτρέπει την κατασκευή συνόλων που είναι πολύ «παράξενα» και δεν μπορούμε να φανταστούμε φυσικά. Για παράδειγμα, χωρίζει τη σφαίρα σε κομμάτια που δεν έχουν μετρήσιμο όγκο ή καμία συγκεκριμένη «γεωμετρική» έννοια.

2. Ασυνεχή Υποσύνολα:
   Τα κομμάτια στα οποία χωρίζεται η σφαίρα δεν είναι συνεχόμενα. Είναι εξαιρετικά πολύπλοκα και ασύλληπτα στην κανονική γεωμετρική σκέψη.

3. Ομάδες Συμμετρίας:
   Το παράδοξο χρησιμοποιεί τις ιδιότητες της ομάδας συμμετριών $SO(3)$, δηλαδή των περιστροφών στο τρισδιάστατο χώρο. Ο τρόπος με τον οποίο επιμερίζεται η σφαίρα εξαρτάται από αυτές τις συμμετρίες.

---

Συνέπειες

Το παράδοξο του Tarski είναι αντιδιαισθητικό, αλλά:

• Δεν έχει εφαρμογή στη φυσική πραγματικότητα, γιατί βασίζεται στη διάσπαση σε «ιδεατά» μαθηματικά κομμάτια, που δεν είναι φυσικά υλοποιήσιμα.
• Αναδεικνύει τις «παράδοξες» συνέπειες του αξιώματος της επιλογής, που είναι αποδεκτό στα περισσότερα μαθηματικά συστήματα.

---

Παρατηρήσεις

• Αντίστοιχο παράδοξο υπάρχει και για το επίπεδο, αλλά με περιορισμούς (δεν μπορεί να δημιουργηθεί ένα πλήρες αντίγραφο του αρχικού κύκλου).
• Στην πραγματικότητα, το παράδοξο δεν ισχύει όταν περιοριζόμαστε σε «μετρήσιμα» κομμάτια ή σε φυσικούς χώρους, όπως εκείνους που συναντώνται στη φυσική.

Το Παράδοξο του Tarski είναι ένα πανέμορφο δείγμα της δύναμης και των ορίων της μαθηματικής λογικής!