Διαφορικές Εξισώσεις και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο

 

Πώς τα Μαθηματικά Περιγράφουν την Αλλαγή

Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα από τα πιο δυναμικά εργαλεία των μαθηματικών. Δεν περιγράφουν απλώς τι είναι κάτι, αλλά πώς αλλάζει. Χρησιμοποιούνται για να μοντελοποιήσουν φαινόμενα που

εξελίσσονται στον χρόνο ή στον χώρο, όπως η θερμοκρασία, η ταχύτητα, η εξάπλωση ασθενειών, η οικονομική ανάπτυξη και πολλά άλλα.

Τι είναι διαφορική εξίσωση;

Είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει παραγώγους, δηλαδή ρυθμούς μεταβολής. Αντί να λέει "η θερμοκρασία είναι 20 βαθμοί", λέει "η θερμοκρασία αυξάνεται κατά 2 βαθμούς ανά ώρα". Αυτό την καθιστά ιδανική για την περιγραφή δυναμικών συστημάτων.

Παράδειγμα από την Πραγματική Ζωή: Πληθυσμιακή Ανάπτυξη

Ας υποθέσουμε ότι μελετάμε τον πληθυσμό μιας πόλης. Αν ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού είναι ανάλογος με τον ίδιο τον πληθυσμό, τότε έχουμε ένα μοντέλο εκθετικής αύξησης.

Η βασική ιδέα είναι ότι όσο περισσότερους ανθρώπους έχεις, τόσο περισσότεροι γεννιούνται. Αν ξεκινήσεις με 1.000 κατοίκους και ο πληθυσμός αυξάνεται κατά 5% κάθε χρόνο, τότε μετά από 10 χρόνια ο πληθυσμός θα έχει φτάσει περίπου τους 1.648 κατοίκους.

Αυτό το μοντέλο χρησιμοποιείται ευρέως:

• Στη βιολογία για την ανάπτυξη πληθυσμών

• Στην οικονομία για την αύξηση επενδύσεων

• Στην τεχνολογία για την εξάπλωση ενός προϊόντος στην αγορά

Γιατί έχει σημασία;

Οι διαφορικές εξισώσεις μας βοηθούν να προβλέπουμε το μέλλον. Μπορούμε να δούμε πώς θα εξελιχθεί μια ασθένεια, πώς θα κινηθεί ένα σώμα, ή πώς θα αλλάξει η θερμοκρασία ενός υλικού. Είναι η γλώσσα της αλλαγής και της εξέλιξης.

Το Μοντέλο SIR: Πώς Εξαπλώνεται μια Ασθένεια

Το μοντέλο χωρίζει τον πληθυσμό σε τρεις ομάδες:

• S (Susceptible): Ευπαθείς – άτομα που μπορούν να κολλήσουν την ασθένεια

• I (Infected): Μολυσμένοι – άτομα που έχουν την ασθένεια και μπορούν να τη μεταδώσουν

• R (Recovered): Αναρρώσαντες – άτομα που έχουν αναρρώσει και δεν μπορούν να ξανακολλήσουν (ή έχουν ανοσία)

Το μοντέλο περιγράφει πώς αλλάζουν αυτές οι τρεις ομάδες με τον χρόνο, χρησιμοποιώντας τρεις διαφορικές εξισώσεις που βασίζονται σε δύο βασικές παραμέτρους:

• β (beta): ο ρυθμός μετάδοσης της ασθένειας

• γ (gamma): ο ρυθμός ανάρρωσης

🔍 Πώς λειτουργεί στην πράξη

Ας πούμε ότι σε μια πόλη 10.000 κατοίκων, ξεκινά μια επιδημία. Την πρώτη μέρα, μόνο 10 άτομα είναι μολυσμένα. Οι υπόλοιποι είναι ευπαθείς. Κανείς δεν έχει αναρρώσει ακόμα.

Καθώς περνούν οι μέρες:

• Οι μολυσμένοι μεταδίδουν την ασθένεια στους ευπαθείς

• Κάποιοι μολυσμένοι αναρρώνουν και μετακινούνται στην ομάδα των αναρρωσάντων

Το μοντέλο SIR μπορεί να προβλέψει:

• Πότε θα κορυφωθεί η επιδημία

• Πόσοι θα νοσήσουν συνολικά

• Πόσο γρήγορα θα εξαπλωθεί η ασθένεια

📈 Παράδειγμα με αριθμούς

Αν η ασθένεια μεταδίδεται γρήγορα (υψηλό β) και οι άνθρωποι αναρρώνουν αργά (χαμηλό γ), τότε η επιδημία εξαπλώνεται ραγδαία. Αντίθετα, αν η μετάδοση είναι αργή ή η ανάρρωση γρήγορη, η επιδημία μπορεί να περιοριστεί.

Με τη βοήθεια υπολογιστών, μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις και να δούμε πώς εξελίσσεται η κατάσταση μέρα με τη μέρα. Αυτό βοηθά τις κυβερνήσεις και τους επιστήμονες να πάρουν αποφάσεις για μέτρα πρόληψης, όπως καραντίνα ή εμβολιασμούς.

🤯 Γιατί είναι τόσο σημαντικό;

Το μοντέλο SIR δεν είναι απλώς μια μαθηματική άσκηση. Είναι εργαλείο ζωής. Χρησιμοποιήθηκε ευρέως κατά την πανδημία COVID-19 για να προβλέψει την εξάπλωση, να σχεδιάσει στρατηγικές περιορισμού και να εκτιμήσει την αποτελεσματικότητα των μέτρων.

📊 Παράδειγμα: Εξάπλωση Ασθένειας σε Πληθυσμό 1.000 Ατόμων

Αρχικές συνθήκες:

• Συνολικός πληθυσμός: 1.000 άτομα

• Ευπαθείς (S): 990 άτομα

• Μολυσμένοι (I): 10 άτομα

• Αναρρώσαντες (R): 0 άτομα

Παράμετροι:

• Ρυθμός μετάδοσης (β): 0.3

• Ρυθμός ανάρρωσης (γ): 0.1

Οι εξισώσεις του μοντέλου SIR είναι:

• Αλλαγή στους ευπαθείς: ΔS = –β × S × I / N

• Αλλαγή στους μολυσμένους: ΔI = β × S × I / N – γ × I

• Αλλαγή στους αναρρώσαντες: ΔR = γ × I

Όπου N είναι ο συνολικός πληθυσμός (1.000).

🔢 Υπολογισμοί για την Ημέρα 1:

• ΔS = –0.3 × 990 × 10 / 1000 = –2.97 → περίπου –3 άτομα

• ΔI = 0.3 × 990 × 10 / 1000 – 0.1 × 10 = 2.97 – 1 = 1.97 → περίπου +2 άτομα

• ΔR = 0.1 × 10 = 1 άτομο

Νέες τιμές:

• S = 990 – 3 = 987

• I = 10 + 2 = 12

• R = 0 + 1 = 1

📈 Ημέρα 2:

• ΔS = –0.3 × 987 × 12 / 1000 ≈ –3.55 → –4

• ΔI = 0.3 × 987 × 12 / 1000 – 0.1 × 12 ≈ 3.55 – 1.2 = 2.35 → +2

• ΔR = 0.1 × 12 = 1.2 → +1

Νέες τιμές:

• S = 987 – 4 = 983

• I = 12 + 2 = 14

• R = 1 + 1 = 2

📉 Παρατήρηση:

Βλέπουμε ότι οι μολυσμένοι αυξάνονται, οι ευπαθείς μειώνονται και οι αναρρώσαντες αυξάνονται. Αν συνεχίσουμε τους υπολογισμούς για αρκετές μέρες, θα δούμε την κορύφωση της επιδημίας και μετά τη σταδιακή μείωση των μολυσμένων καθώς περισσότεροι αναρρώνουν.

Ορίστε ο πίνακας με την εξέλιξη της επιδημίας για τις πρώτες 10 ημέρες, σύμφωνα με το μοντέλο SIR και τις παραμέτρους που ορίσαμε:

Ημέρα	Ευπαθείς (S)	Μολυσμένοι (I)	Αναρρώσαντες (R)
1	987	12	1
2	983	14	2
3	979	16	5
4	974	19	7
5	969	22	9
6	963	25	12
7	957	28	15
8	950	31	19
9	943	34	23
10	935	37	28

📌 Τι παρατηρούμε:

• Οι μολυσμένοι αυξάνονται σταθερά τις πρώτες μέρες.

• Οι ευπαθείς μειώνονται καθώς περισσότεροι μολύνονται.

• Οι αναρρώσαντες αυξάνονται, δείχνοντας ότι το σύστημα αρχίζει να "θεραπεύεται".

Αν θέλεις, μπορούμε να συνεχίσουμε για περισσότερες μέρες ή να αλλάξουμε τις παραμέτρους (π.χ. πιο γρήγορη ανάρρωση) για να δούμε πώς επηρεάζεται η εξάπλωση. Θες να το εξερευνήσουμε;