Ένα τρίδυμο δέντρο σχηματίζει μια από τις πιο όμορφες δομές στα μαθηματικά

 Οι αριθμοί Markov αποκαλύπτουν τα μυστικά των παράλογων αριθμών και τα μοτίβα της ακολουθίας Fibonacci. Αλλά υπάρχει μια ερώτηση σχετικά με αυτούς που αντιστέκεται στην απόδειξη για πάνω από έναν αιώνα.

Αυτό το δέντρο δείχνει πώς μπορείτε να προσδιορίσετε μοναδικά μια τριάδα Markov. Ξεκινήστε από τον μεγαλύτερο αριθμό στο τριπλό σας. Στη συνέχεια, διασχίστε δύο παρακείμενα κλαδιά για να μετακινηθείτε προς τα κάτω στο δέντρο. Για παράδειγμα, αν ξεκινήσετε από το 194, θα φτάσετε στο 13 και στο 5. Kristina Armitage/ Περιοδικό Quanta

Εισαγωγή Οι περισσότεροι άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με μια χούφτα αριθμών που δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα, π.χ √2ήπ. Αλλά τέτοιοι αριθμοί, που ονομάζονται παράλογοι αριθμοί, είναι πολύ πιο πολλοί από τα κλάσματα ή τους ρητούς αριθμούς. Πόσο εύκολο είναι να προσεγγιστούν με κλάσματα; Εάν χρησιμοποιείτε ένα κλάσμα με αυθαίρετα μεγάλο παρονομαστή, μπορείτε να πλησιάσετε αυθαίρετα. (Όπως είναι γνωστό, το 22/7 δίνει μια αξιοπρεπή προσέγγιση του π; Το 355/113 είναι ακόμα καλύτερο.) Αλλά ορισμένοι παράλογοι αριθμοί είναι πιο δύσκολο να προσεγγιστούν από άλλους, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν πολύ μεγάλο παρονομαστή για να λάβετε μια κοντινή προσέγγιση. Το πιο δύσκολο αποδεικνύεται η χρυσή τομή,ϕ, ή(1+)/2. Είναι, με μια συγκεκριμένη μαθηματική έννοια, ο αριθμός που απέχει περισσότερο από το να είναι λογικός. Ποιο είναι το επόμενο-μακρύτερο; Και το επόμενο; Η ακολουθία των δύσκολων στην προσέγγιση παράλογων αριθμών αποδεικνύεται ότι δίνεται από τις ακέραιες λύσεις σε μια απατηλά απλή εξίσωση που δεν έχει προφανή σχέση με την προσέγγιση παράλογων αριθμών. Αυτή η σύνδεση αποδείχθηκε από τον Andrey Markov, έναν προνοητικό Ρώσο μαθηματικό, το 1879.Ο Markov είναι διάσημος για τη δημιουργία μιας ιδέας στη θεωρία πιθανοτήτων που ονομάζεται αλυσίδες Markov, οι οποίες χρησιμοποιούνται σε οτιδήποτε, από τον αλγόριθμο PageRank της Google μέχρι μοντέλα εξέλιξης DNA. Όμως, αν και οι λύσεις της εξίσωσής του, που ονομάζονται αριθμοί Markov, δεν είναι σχεδόν τόσο γνωστές, προκύπτουν σε ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών κλάδων, όπως η συνδυαστική, η θεωρία αριθμών, η γεωμετρία και η θεωρία γραφημάτων.

«Δεν είναι απλώς μια εξίσωση, είναι ένα είδος μεθόδου», είπε ο Oleg Karpenkov , μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Λίβερπουλ. «Αυτοί οι αριθμοί είναι κεντρικοί, βαθιά μέσα στα μαθηματικά… δομές όπως αυτή είναι το είδος των ιδεών που είναι σπάνιες».

Η εξίσωσή του,++=3Χyz

, έχει μια προφανή ακέραια λύση όταν τα x , y και z είναι όλα 1 (αφού 1 + 1 + 1 = 3 × 1). Αποδεικνύεται ότι όλες οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης συνδέονται με έναν απλό κανόνα. Ξεκινήστε με μια λύση ( a , b , c ). Τότε η σχετική τριάδα ( a , b , 3 ab − c ) είναι επίσης λύση. Οι δύο πρώτοι αριθμοί παραμένουν ίδιοι, ενώ ο c , ο τρίτος, αντικαθίσταται από 3 ab − c . Εφαρμόστε αυτόν τον κανόνα στο (1, 1, 1) και θα λάβετε (1, 1, 2). (Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι η εισαγωγή αυτών των τιμών κάνει και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ίσες με 6.) Εφαρμόστε ξανά τον κανόνα και θα επιστρέψετε εκεί που ξεκινήσατε, αφού 3 − 2 = 1. Αλλά αν αντιστρέψετε τη σειρά του αριθμοί στο τριπλό πριν εφαρμόσει τον κανόνα, δημιουργεί ένα ολόκληρο σύμπαν λύσεων. Εισαγάγετε (1, 2, 1) και θα λάβετε (1, 2, 5).

Μέχρι τώρα, λόγω των πανομοιότυπων 1, το δέντρο (που φαίνεται στην εικόνα στην αρχή αυτής της ιστορίας) δεν διακλαδίζεται — τα πρώτα βήματα μεγαλώνουν τον κορμό του δέντρου, ας πούμε έτσι. Αλλά αν ξεκινήσετε με μια λύση με τρεις διαφορετικούς αριθμούς, όπως (1, 2, 5), τα κλαδιά αρχίζουν να πολλαπλασιάζονται. Εισαγάγετε (5, 1, 2) και λαμβάνετε (1, 5, 13). Αλλά το (2, 5, 1) καταλήγει σε (2, 5, 29). (Αν εισαγάγετε (1,2,5) τότε ο κανόνας σας μεταφέρει πίσω σε έναν χαμηλότερο κλάδο του δέντρου.) Από αυτό το σημείο και μετά, κάθε λύση έχει τρεις διαφορετικούς αριθμούς, επομένως κάθε κλάδος του δέντρου οδηγεί σε δύο νέους κλάδους .

Ο αριστερός κλάδος του δέντρου μπορεί να φαίνεται οικείος — περιέχει κάθε άλλο αριθμό στην ακολουθία Fibonacci, έναν από τους πιο γνωστούς στα μαθηματικά (κάθε αριθμός σε αυτήν την ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …). Ο δεξιότερος κλάδος περιέχει ομοίως κάθε άλλο όρο στην ακολουθία Pell, μια σχετική, αν και λίγο λιγότερο διάσημη, ακολουθία. Ο τρόπος με τον οποίο εμφανίζονται αυτές οι ακολουθίες στο δέντρο των λύσεων είναι «ένα από τα πιο όμορφα πράγματα στα μαθηματικά που γνωρίζω», είπε ο Alexander Gamburd , καθηγητής στο Πανεπιστήμιο City της Νέας Υόρκης.

Το θεώρημα του Markov του 1879, που συσχετίζει κάθε τριπλέτα με έναν δύσκολα προσεγγίσιμο παράλογο αριθμό, ήταν ο πρώτος υπαινιγμός ότι αυτή η εξίσωση μπορεί να έχει βαθιά απήχηση σε όλα τα μαθηματικά. Σε ένα βιβλίο του 2013 για το θέμα , ο Martin Aigner, ένας Αυστριακός μαθηματικός που πέθανε τον Οκτώβριο, ονόμασε το θεώρημα «αναμφίβολα ένα από τα κλασικά όλων των εποχών στη θεωρία αριθμών».

Το 1913, ο Georg Frobenius, ένας γερμανός μαθηματικός που έκανε εκτεταμένες συνεισφορές στην άλγεβρα, τη θεωρία αριθμών και τη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων, παρατήρησε κάτι περίεργο για τις τριάδες Markov. Κάθε μεγαλύτερος αριθμός φαινόταν να καθορίζει μοναδικά τους δύο μικρότερους. Ένας αριθμός — πάρτε για παράδειγμα το 5 — μπορεί να εμφανίζεται σε πολλές τρίδυμες, όπως (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29) και ούτω καθεξής. Όμως, παρατήρησε, εάν κοιτάξετε μόνο τον μεγαλύτερο αριθμό σε κάθε τρίδυμο, θα συνδεθεί μόνο με ένα ζευγάρι μικρότερων αριθμών.

Επειδή οι αριθμοί αυξάνονται τόσο γρήγορα, δεν είναι προφανές ότι αυτό θα έπρεπε να είναι αλήθεια. Για παράδειγμα, πάρτε την τριάδα (5, 433, 6,466). Δεν είναι εύκολα προφανές ότι αν ορίσετε το z σε 6.466, τα μόνα δυνατά x και y που θα λύσουν την εξίσωση είναι το 5 και το 433. Όμως, όσο μπορούσε να πει ο Frobenius, ο μεγαλύτερος αριθμός καθόριζε πάντα μοναδικά τους δύο μικρότερους. Στα 110 χρόνια από τότε, παρά τον τεράστιο όγκο έρευνας που συνδέει τους αριθμούς Markov με άλλα προβλήματα, κανείς δεν μπόρεσε να αποδείξει αυτό που έγινε γνωστό ως εικασία μοναδικότητας.

Η σχετική απλότητα της εικασίας απεικονίζει ένα κοινό μαθηματικό παράδοξο. Εργαλεία όπως η εξίσωση Markov μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη λεπτών και περίπλοκων αποτελεσμάτων ακόμη και όταν βασικά ερωτήματα σχετικά με τις ιδιότητές τους παραμένουν άλυτα.

Ωστόσο, τα τελευταία χρόνια, έχει σημειωθεί κάποια αξιοσημείωτη πρόοδος προς την απόδειξη της εικασίας μοναδικότητας. Είναι από καιρό γνωστό ότι είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια αντιστοιχία μεταξύ κάθε τριπλού Markov και όλων των κλασμάτων μεταξύ μηδέν και 1. Για κάθε κλάσμα p / q , που ονομάζεται δείκτης, μπορείτε να αντιστοιχίσετε έναν αριθμό Markov m p / q ακολουθώντας μια συγκεκριμένη μαθηματική διαδικασία. Για παράδειγμα, το m 2/3 είναι 29 και το m 3/5 είναι 433.

Το 2013, ο Aigner έκανε τρεις εικασίες σχετικά με το πώς μπορούν να παραγγελθούν τα τρίκλινα χρησιμοποιώντας αυτήν την αλληλογραφία. Αυτές οι εικασίες αποτελούν σκαλοπάτι στο δρόμο για την απόδειξη της εικασίας μοναδικότητας. Υπέθεσε ότι εάν κρατήσετε τον αριθμητή του δείκτη σταθερό και αυξήσετε τον παρονομαστή (όπως στο 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,…), οι αντίστοιχοι αριθμοί Markov θα συνεχίσουν να μεγαλώνουν. Ομοίως, σκέφτηκε ότι αν αυξήσετε τον αριθμητή αλλά διατηρήσετε τον ίδιο παρονομαστή (όπως στα 1/17, 2/17, 3/17, 4/17, …), θα πρέπει επίσης να πάρετε μια σειρά από ολοένα και μεγαλύτερους αριθμούς Markov. Το ίδιο μοτίβο αυξανόμενων αριθμών, σκέφτηκε, θα έπρεπε να ισχύει αν το άθροισμα του αριθμητή και του παρονομαστή διατηρηθεί σταθερό (όπως στο 1/100, 2/99, 3/98, …).

Η εικασία σταθερού αριθμητή αποδείχθηκε σε μια εργασία του 2020 στο Advances in Mathematics από τη Michelle Rabideau του Πανεπιστημίου του Χάρτφορντ και τον Ralf Schiffler του Πανεπιστημίου του Κονέκτικατ. Τον Φεβρουάριο του 2023, μαζί με δύο άλλους συνεργάτες, ο Rabideau και ο Schiffler δημοσίευσαν μια απόδειξη και για τις άλλες δύο εικασίες .

Εξαιτίας αυτών και άλλων προόδων, ο Karpenkov είναι αισιόδοξος ότι μια απόδειξη της εικασίας της μοναδικότητας του Frobenius μπορεί τελικά να είναι στα σκαριά. «Ξέρω ανθρώπους που λένε ότι πλησιάζουν να το αποδείξουν», είπε. «Νομίζω ότι είμαστε πολύ κοντά – ίσως μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια».

Διόρθωση:  18 Δεκεμβρίου 2023
Η σειρά των δύο τριπλών (2,5,29) και (1,5,13) σε ένα παράδειγμα αυτής της ιστορίας ήταν λανθασμένη. Εμφανίζονται τώρα με τη σωστή σειρά.

https://www.quantamagazine.org