Μαριάν Φράιμπεργκερ
Σε πολλούς ανθρώπους αρέσουν τα μαθηματικά επειδή δίνουν σαφείς απαντήσεις. Τα πράγματα είναι είτε αληθινά είτε ψευδή, και τα αληθινά πράγματα φαίνονται αληθινά με έναν πολύ θεμελιώδη τρόπο.
Χιου Γούντιν.
Το γεγονός είναι, ωστόσο, ότι τα μαθηματικά κινούνται σε κάπως ασταθή φιλοσοφικά εδάφη εδώ και αρκετό καιρό. Με το έργο του λογικού Κουρτ Γκέντελ και άλλων στη δεκαετία του 1930 έγινε σαφές ότι υπάρχουν όρια στη δύναμη των μαθηματικών να προσδιορίσουν την αλήθεια. Στην πραγματικότητα, είναι δυνατό να δημιουργήσουμε διαφορετικές εκδοχές των μαθηματικών στις οποίες ορισμένες δηλώσεις είναι αληθείς ή ψευδείς ανάλογα με τις προτιμήσεις σας. Αυτό εγείρει την πιθανότητα τα μαθηματικά να είναι κάτι περισσότερο από ένα παιχνίδι στο οποίο επιλέγουμε τους κανόνες που ταιριάζουν στον σκοπό μας. Αντίο στην όμορφη πλατωνική έννοια μιας αιώνιας και ανεξάρτητης μαθηματικής αλήθειας.
Ωστόσο, μπορεί να υπάρχει κάποια βάση για αισιοδοξία. Στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών πέρυσι, το Plus μίλησε με τον μαθηματικό Χιου Γούντιν , ο οποίος πιστεύει ότι παρόλο που είναι πιθανά πολλά ξεχωριστά μαθηματικά «σύμπαντα», ένα μπορεί σύντομα να ξεχωρίσει ως αυτό που θα μπορούσατε να θεωρήσετε το «σωστό».
Αριθμοί από το τίποτα
Ο Γούντιν εργάζεται στη θεωρία συνόλων , έναν τομέα που βρίσκεται στα θεμέλια των μαθηματικών. Ένα σύνολο στα μαθηματικά είναι απλώς μια συλλογή αντικειμένων — το τι είναι αυτά τα αντικείμενα δεν έχει σημασία. Θα μπορούσαν να είναι αριθμοί, σύμβολα, τρίγωνα ή ένα μείγμα όλων αυτών. Τα σύνολα γράφονται χρησιμοποιώντας αγκύλες, για παράδειγμα το σύνολο που περιέχει τους αριθμούς 1, 2, 3 γράφεται ως
Ένα σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων.
Το γεγονός ότι η ακίνδυνη έννοια ενός συνόλου είναι τόσο θεμελιώδης για τα μαθηματικά μπορεί να φαίνεται εκπληκτικό, αλλά αποδεικνύεται ότι σχεδόν όλα τα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν στη γλώσσα των συνόλων.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε τους φυσικούς αριθμούς 0, 1, 2, .... Αν συναντούσατε έναν εξωγήινο που δεν είχε αντίληψη για τους αριθμούς, αλλά καταλάβαινε σύνολα, θα μπορούσατε να ορίσετε τους αριθμούς αναδρομικά ως εξής.
- Το 0 είναι το κενό σύνολο, συμβολίζεται
, αυτό είναι το σύνολο χωρίς τίποτα μέσα σε αυτό. - 1 είναι
το σύνολο που περιέχει μόνο τον αριθμό 0 (τον οποίο μόλις ορίσαμε). - 2 είναι
το σύνολο που αποτελείται από τους δύο προηγούμενους αριθμούς. - 3 είναι
- Και τα λοιπά
- Γενικά, ο αριθμός
είναι το σετ που περιέχει όλους τους αριθμούς που ορίστηκαν προηγουμένως.
Αυτός ο ιεραρχικός ορισμός σας δίνει αμέσως τη σειρά των αριθμών, καθώς και μια ιδέα για το τι σημαίνει να προσθέτουμε 1 σε έναν δεδομένο αριθμό: απλώς ανεβαίνετε ένα στην ιεραρχία. Αυτές οι δύο έννοιες αρκούν για να σας δώσουν όλη την αριθμητική, αφού η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός αντιστοιχούν απλώς στην επαναλαμβανόμενη πρόσθεση 1 και η αφαίρεση και η διαίρεση είναι το αντίστροφό τους. Έτσι, η αριθμητική των φυσικών αριθμών μπορεί να κατασκευαστεί, κυριολεκτικά, από το τίποτα, χρησιμοποιώντας μόνο την έννοια των συνόλων. Και όπως αποδεικνύεται, σχεδόν κάθε άλλο μαθηματικό αντικείμενο μπορεί επίσης να κατασκευαστεί από σύνολα.
Ο δρόμος προς το άπειρο
Ίσως η πιο σημαντική ιδιότητα των συνόλων είναι ότι μας δίνουν μια γεύση από το άπειρο. Όπως σημείωσε ο μαθηματικός Γκέοργκ Κάντορ στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, για να δούμε αν δύο σύνολα
Γκέοργκ Κάντορ.
Τώρα πάρτε δύο άπειρα σύνολα, για παράδειγμα το σύνολο
| Β | 1 | 2 | 3 | … | ν | … |
| μι | 2 | 4 | 6 | … | 2n | … |
Έτσι, παρόλο που τα δύο σύνολα είναι άπειρα και το ένα περιέχεται στο άλλο, μπορούμε να πούμε ότι έχουν την ίδια πληθικότητα.
Αυτό που έδειξε επίσης ο Κάντορ, ωστόσο, είναι ότι είναι αδύνατο να βρεθεί μια ακριβής αντιστοίχιση μεταξύ των φυσικών αριθμών και των πραγματικών αριθμών (οι πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται κατά μήκος της αριθμογραμμής). Υπάρχουν «περισσότεροι» πραγματικοί αριθμοί από τους φυσικούς, επειδή όπως και να αντιστοιχίσετε τους φυσικούς αριθμούς με τους πραγματικούς αριθμούς, πάντα θα απομένουν πραγματικοί αριθμοί.
Αυτό υποδηλώνει ότι υπάρχουν δύο διαφορετικοί τύποι απείρου, ο ένας μεγαλύτερος από τον άλλον. Ο πρώτος, το άπειρο των φυσικών αριθμών, είναι αυτό που ονομάζεται μετρήσιμο άπειρο . Το δεύτερο άπειρο ονομάζεται συνεχές . Το ερώτημα του κατά πόσον υπάρχει ένα άπειρο «ανάμεσα» σε αυτά τα δύο αποδεικνύεται ότι είναι ένα άπειρο στο οποίο θα επιστρέψουμε αργότερα.
Ο Κάντορ δεν σταμάτησε σε αυτούς τους δύο τύπους απείρου, αλλά στην πραγματικότητα όρισε μια ολόκληρη ιεραρχία από αυτούς, ο καθένας μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Ονόμασε αυτούς τους άπειρους αριθμούς πλινθικούς και μάλιστα βρήκε έναν τρόπο να κάνει αριθμητική με αυτούς. Κάθε πλινθικός αριθμός μετρά το μέγεθος των άπειρων συνόλων με ορισμένες ιδιότητες. (Μπορείτε να μάθετε περισσότερα για αυτήν την κατασκευή στο άρθρο του Plus Cantor and Cohen: Infinite investigators .)
Από τότε που ο Κάντορ εργάστηκε, οι μαθηματικοί έχουν επεκτείνει τη συλλογή του για το άπειρο, προσθέτοντας ολοένα και μεγαλύτερα άπειρα τέρατα. Η δομή που προκύπτει είναι πραγματικά συναρπαστική. «Το αξιοσημείωτο είναι ότι υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους κάποιος θα μπορούσε να προσεγγίσει τη διατύπωση μιας ιεραρχίας μεγάλων πληθικών», εξηγεί ο Γούντιν, «αλλά όλες οι προσεγγίσεις καταλήγουν στην ίδια ιεραρχία. Υπάρχουν πολύ βαθιά θεωρήματα που λένε ότι μια έννοια του απείρου μετριέται ακριβώς από μια άλλη. Αυτό δικαιολογεί εν μέρει τον ισχυρισμό ότι η ιεραρχία του απείρου είναι ο θεμελιώδης πυρήνας της θεωρίας συνόλων».
Τυπικά μαθηματικά
Υποκινούμενοι, εν μέρει, από την αφηρημένη δύναμη των συνόλων, οι μαθηματικοί στις αρχές του εικοστού αιώνα πίστευαν ότι βρίσκονταν στα πρόθυρα της επίτευξης ενός αρχαίου ονείρου: να θέσουν όλα τα μαθηματικά σε μια στεγανή λογική βάση και να δείξουν ότι δεν περιέχουν αντιφάσεις. Αυτό μπορεί να ακούγεται περίεργο, αφού τα μαθηματικά είναι ο πιο αυστηρός από τους κλάδους. Αλλά το γεγονός είναι ότι είναι γεμάτο κρυφές υποθέσεις και άλματα πίστης. Για παράδειγμα, στον ορισμό μας για τους φυσικούς αριθμούς παραπάνω, έχουμε υποθέσει έμμεσα ότι υπάρχει κάτι τέτοιο όπως το κενό σύνολο.
Ο Κάντορ συνειδητοποίησε ότι υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί από ό,τι φυσικοί αριθμοί. Αυτή ήταν μόνο η αρχή μιας ιεραρχίας απείρων.
Για να εξαλείψετε τέτοιες γκρίζες ζώνες από τα μαθηματικά, πρέπει να τα αναπτύξετε ως ένα επίσημο σύστημα. Χρειάζεστε μια σαφή δήλωση των υποθέσεων που είστε διατεθειμένοι να δεχτείτε χωρίς απόδειξη — αυτές ονομάζονται αξιώματα . Πρέπει επίσης να είστε σαφείς σχετικά με τους κανόνες λογικής συμπερασματολογίας που θεωρείτε έγκυρους, για παράδειγμα κανόνες όπως "αν x=y και y=z, τότε x=z". Στη συνέχεια, θεωρείτε μια δήλωση αληθή μόνο εάν μπορείτε να την συμπεράνετε από τα αξιώματα χρησιμοποιώντας τους κανόνες συμπερασματολογίας σας.
Η θεωρία συνόλων φαινόταν να παρέχει το τέλειο σκηνικό για ένα τόσο τυπικό σύστημα. Σχεδόν όλα τα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν να οριστούν στη γλώσσα των συνόλων και η έννοια του συνόλου είναι αρκετά απλή ώστε να καταλήξει σε ένα σχετικά σύντομο και σαφές σύνολο αξιωμάτων. Αυτό οι μαθηματικοί το έκαναν δεόντως. Οι Ernst Zermelo και Abraham Fraenkel κατέληξαν σε ένα σύνολο οκτώ αξιωμάτων, γνωστά ως αξιώματα ZF, τα οποία περιλαμβάνουν τον ισχυρισμό ότι το κενό σύνολο υπάρχει, καθώς και άλλες μάλλον διαισθητικές δηλώσεις όπως «δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν τα ίδια μέλη» (κάντε κλικ εδώ για μια πλήρη λίστα των αξιωμάτων ZF). Το σύνολο των αξιωμάτων που χρησιμοποιούνται πιο συχνά σήμερα αποτελείται από τα αξιώματα ZF μαζί με το μάλλον ενδιαφέρον αξίωμα επιλογής . Είναι γνωστά ως αξιώματα ZFC.
Ελλιπή μαθηματικά
Το αξιωματικό όνειρο διαλύθηκε τη δεκαετία του 1930, ιδίως από δύο αποτελέσματα που απέδειξε ο μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ. Μια συνέπεια των διάσημων θεωρημάτων μη πληρότητας του Γκέντελ είναι ότι μέσα σε οποιοδήποτε τυπικό μαθηματικό σύστημα που περιγράφει την αριθμητική των φυσικών αριθμών θα υπάρχουν πάντα προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν ούτε αληθείς ούτε ψευδείς από τα αξιώματα. Όπως το έθεσε ο Γκέντελ σε μια επιστολή προς τον Ζέρμελο, «Για κάθε τυπικό σύστημα υπάρχουν προτάσεις που είναι εκφράσιμες εντός του συστήματος, αλλά οι οποίες μπορεί να μην καθορίζονται από τα αξιώματα αυτού του συστήματος». (Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα για τα θεωρήματα μη πληρότητας στο άρθρο Plus Gödel and the limits of logic .)
Κουρτ Γκέντελ
Τι είδους προτάσεις είναι αναποφάσιστες εντός των αξιωμάτων ZFC; Έχουμε ήδη συναντήσει μία παραπάνω. Όπως σημείωσε ο Κάντορ, το άπειρο του συνεχούς είναι «μεγαλύτερο» από αυτό των φυσικών αριθμών. Ο ισχυρισμός ότι δεν υπάρχει άπειρο «ανάμεσα» στα δύο είναι γνωστός ως υπόθεση συνεχούς . Αποδεικνύεται ότι εντός του συστήματος που βασίζεται στα αξιώματα ZFC, η υπόθεση συνεχούς είναι αναπόδεικτη. Δεν είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής, είναι απλώς πέρα από τα όρια του ZFC. (Μπορείτε να μάθετε περισσότερα για την υπόθεση συνεχούς σε αυτό το άρθρο του Plus .)
Αυτό είναι μάλλον σοκαριστικό, αφού αφελώς θα μπορούσαμε να πιστεύουμε ότι ερωτήματα όπως η υπόθεση του συνεχούς θα έπρεπε να έχουν μια απάντηση. Ίσως τα αξιώματα ZFC δεν είναι αρκετά ισχυρά και χρειάζεται να προσθέσουμε μερικά ακόμα; Θα μπορούσαμε ακόμη και να προσθέσουμε την ίδια την υπόθεση του συνεχούς ως αξίωμα, με άλλα λόγια θα μπορούσαμε να συμφωνήσουμε να την αποδεχτούμε χωρίς απόδειξη. (Αυτό συνέβη και με το αξίωμα της επιλογής, βλέπε το άρθρο του Plus Cantor and Cohen: Infinite investigators .)
Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση είναι προβληματική. Πρώτον, όπως αποδεικνύει το αποτέλεσμα του Gödel, οποιοδήποτε νέο σύστημα με όποια επιπλέον αξιώματα θα περιέχει επίσης μη αποφασίσιμα ερωτήματα. Δεύτερον, υπάρχουν πολλά, πολλά αποτελέσματα που είναι μη αποφασίσιμα στη θεωρία συνόλων ZFC. Η προσθήκη αξιωμάτων παντού μόνο και μόνο για να τα διευθετήσουμε μπορεί όχι μόνο να εισάγει αντιφάσεις, αλλά να μοιάζει και με απάτη.
Τι σημαίνει λοιπόν αυτό για τη μαθηματική αλήθεια; «Κάποιος μπορεί να υποστηρίξει, και κάποιοι έχουν, την άποψη ότι η πανταχού παρούσα ύπαρξη άλυτων προβλημάτων στη θεωρία συνόλων αποτελεί ένδειξη ότι η θεωρία συνόλων είναι αποτέλεσμα μιας υπερβολικής ανθρώπινης φαντασίας και ότι δεν υπάρχει κανένα νόημα σε αυτό. Είναι απλώς αποτέλεσμα της βιολογικής μας σύνδεσης», λέει ο Γούντιν. «Δεν νομίζω ότι αυτό ισχύει, αλλά μέχρι να ανακαλύψουμε έναν νέο πολιτισμό και να δούμε αν έχουν τα ίδια μαθηματικά με εμάς, είναι δύσκολο να το πούμε με βεβαιότητα».
Το αξίωμα που λείπει
Υπάρχει, ωστόσο, μια μέση οδός, η οποία δεν περιλαμβάνει την αναζήτηση εξωγήινης ζωής. Τα αποδεκτά αξιώματα της θεωρίας συνόλων είναι τα ίδια προϊόντα ανθρώπινης επινόησης. Έχουν επιλεγεί επειδή «αισθάνονται» φυσικά και αντανακλούν τη διαίσθησή μας για το τι είναι τα σύνολα και για τη φύση του απείρου. Ίσως υπάρχει ένα επιπλέον αξίωμα (ή πολλά από αυτά), που συμπληρώνουν αυτή τη διαίσθηση με ουσιαστικό τρόπο. Αν τα προσθέσουμε, θα μας έμεναν ακόμα αναποφάσιστα ερωτήματα, αλλά ίσως θα μπορούσαμε να διευθετήσουμε ένα μεγάλο μέρος της χιονοστιβάδας αναποφάσιστων που έχει καταρρεύσει πάνω από τη θεωρία συνόλων. «Κάποιος θα μπορούσε να πει ότι αυτό είναι απλώς ένα παιχνίδι, απλώς επιλέγετε τα αξιώματα για να λύσετε το πρόβλημά σας», λέει ο Woodin. «Αλλά όχι ακριβώς. Υπάρχουν βασικές θεμελιώδεις διαισθήσεις που πλαισιώνουν τη θεωρία συνόλων. Αν βρείτε μια απάντηση με βάση τις παρεκτάσεις αυτών των αρχών, τότε αυτό δεν είναι απλώς ένα παιχνίδι. Λέει ότι τα αξιώματα ZFC δεν κατέγραψαν όλη τη διαίσθησή μας».
Τη δεκαετία του 1930, ο ίδιος ο Gödel διατύπωσε ένα επιπλέον αξίωμα, που ονομάζεται αξίωμα της κατασκευασιμότητας , το οποίο μαζί με τα αξιώματα ZFC διευθέτησε την υπόθεση του συνεχούς, καθώς και πολλά άλλα μη αποφασιστικά ερωτήματα. Για την ακρίβεια, ο Gödel επινόησε μια κατηγορία συνόλων που ικανοποιούν τα αξιώματα ZFC και έχουν μια επιπλέον ιδιότητα που καθιστά δυνατή την απάντηση σε αυτά τα μη αποφασιστικά ερωτήματα. Το αξίωμα της κατασκευασιμότητας υποστηρίζει ότι το κατασκευαστό σύμπαν των συνόλων του Gödel είναι στην πραγματικότητα το μόνο που υπάρχει: δεν υπάρχουν άλλα σύνολα που να τα χαλούν.
Ποιο είναι το αξίωμα που λείπει;
Δυστυχώς, το σύμπαν του Γκέντελ δεν περιέχει τα περισσότερα από τα άπειρα σύνολα που προκύπτουν από την ιεραρχία που ξεκίνησε ο Κάντορ. Στην απλή θεωρία συνόλων ZFC, η ύπαρξη αυτών των μεγάλων πληθικών είναι μη αποφασιστική, όπως ακριβώς και η υπόθεση του συνεχούς. Αλλά μόλις προσθέσετε το αξίωμα της κατασκευασιμότητας στην ZFC, η μη αποφασισιμότητα εξαφανίζεται: μπορείτε να αποδείξετε ότι τα περισσότερα από αυτά τα μεγάλα άπειρα δεν υπάρχουν. Αυτό είναι απαράδεκτο για πολλούς θεωρητικούς συνόλων: ένα αξίωμα που αποκόπτει ένα μεγάλο κομμάτι της θεμελιώδους ιεραρχίας φαίνεται πολύ περιοριστικό. Για αυτόν και για κάποιους άλλους λόγους, το σύμπαν του Γκέντελ και το αξίωμα της κατασκευασιμότητας απορρίφθηκαν.
Αλλά δεν είχαν χαθεί όλα. Εδώ και αρκετό καιρό, ο Γούντιν και οι συνάδελφοί του τροποποιούν συστηματικά το σύμπαν του Γκέντελ ώστε να δέχεται όλο και μεγαλύτερα άπειρα σύνολα. Αυτή η εργασία οδήγησε τον Γούντιν να διατυπώσει την έννοια μιας απόλυτης εκδοχής του σύμπαντος συνόλων του Γκέντελ, η οποία μπορεί να φιλοξενήσει όλους τους γνωστούς μεγάλους πληθικούς αριθμούς, και σε αυτό που θα μπορούσε να είναι το απόλυτο ελλείπον αξίωμα. Το αξίωμα που έχει κατά νου περιλαμβάνει την ύπαρξη ορισμένων πολύ μεγάλων απείρων, γνωστών ως πληθικοί αριθμοί του Γούντιν .
Η αισιοδοξία του Woodin ότι βρίσκεται πράγματι στο σωστό δρόμο βασίζεται σε κάποια προηγούμενη επιτυχία. Για κάποιο χρονικό διάστημα, οι μαθηματικοί προβληματίζονταν για μια ομάδα κλασικών ερωτημάτων κεντρικών σε έναν συγκεκριμένο τομέα των μαθηματικών, τα οποία ήταν αναπόφευκτα με βάση την ZFC. Ήταν σαφές ότι αυτά τα ερωτήματα θα λύνονταν αν όλα τα σύνολα ικανοποιούσαν μια ιδιότητα που ονομάζεται προβολική προσδιοριστικότητα , αλλά δεν υπήρχε λόγος για τον οποίο θα έπρεπε. Εκ πρώτης όψεως, η προβολική προσδιοριστικότητα είχε ελάχιστη σχέση με την ιεραρχία του απείρου, αλλά η προσέγγιση του Woodin και των συναδέλφων του έδειξε ότι τα δύο ήταν συνδεδεμένα. Αν είστε διατεθειμένοι να αποδεχτείτε ένα συγκεκριμένο αξίωμα που περιλαμβάνει τους πληθικούς αριθμούς του Woodin, τότε η προβολική προσδιοριστικότητα προκύπτει ως συνέπεια. Ήταν επίσης σε θέση να δείξουν ότι το αξίωμά τους είναι ουσιαστικά το μόνο που μπορεί να σας δώσει προβολική προσδιοριστικότητα, υπό την επιφύλαξη ορισμένων αρκετά γενικών δομικών περιορισμών.
Αυτή η συνέργεια μεταξύ φαινομενικά άσχετων εννοιών προσδίδει αξιοπιστία στην προσέγγιση του Woodin για την εύρεση του απόλυτου αξιώματος που λείπει. «Αν όλα αυτά ήταν απλώς μια ανθρώπινη επιχείρηση, τότε δεν υπάρχει λόγος να περιμένουμε αυτό το είδος επιτυχίας. Ψάχναμε για νέα αξιώματα με βάση τη διαίσθησή μας και σε αυτό το είδος κατάστασης δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι η αναζήτηση θα πρέπει να είναι επιτυχής. Είναι λίγο σαν να ψάχνουμε για έναν μονόκερο. Νομίζουμε ότι ξέρουμε πώς μοιάζει ένας μονόκερος, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι θα τον βρούμε». Αν βρείτε τον μονόκερο, τότε πρέπει να κάνετε κάτι σωστά.
Η επιτυχία, ωστόσο, δεν είναι σε καμία περίπτωση εγγυημένη. Το αν το απόλυτο αξίωμα του Γούντιν έχει πραγματικά νόημα είναι κάτι που εξαρτάται από ανοιχτά ερωτήματα που πρέπει ακόμη να απαντηθούν. «Είναι πολύ εικασίες», παραδέχεται. «Υπάρχει όμως μια σειρά από εικασίες που έχουν διατυπωθεί τα τελευταία δύο ή τρία χρόνια, οι οποίες αν ακολουθήσουν τη σωστή κατεύθυνση θα οδηγήσουν κάποιον σε αυτή τη μοναδική αντίληψη του σύμπαντος των συνόλων. Αν συμβεί αυτό, τότε θα καταστήσει αληθή την υπόθεση του συνεχούς [ως αληθινή] και πολλά άλλα προβλήματα που είναι άλυτα. Για μένα, όλο το θέμα βρίσκεται σε ένα κρίσιμο σταυροδρόμι».
Στο ICM 2010, ο Woodin έκανε την τολμηρή και αμφιλεγόμενη πρόβλεψη ότι το αξίωμά του θα «επικυρωθεί με βάση πειστικές και αποδεκτές αρχές του απείρου». Αλλά έχει ήδη δείξει ότι δεν είναι αντίθετος στο να αλλάξει γνώμη υπό το φως νέων στοιχείων. Πριν από λίγα χρόνια, είχε δηλώσει δημόσια ότι πίστευε ότι η υπόθεση του συνεχούς θα μπορούσε στην πραγματικότητα να θεωρηθεί ψευδής, με βάση την εργασία που έκανε τότε. Τώρα έχει αλλάξει γνώμη.
Αλλά έχει κάποια ιδέα για το πότε μπορεί να επικυρωθεί το νέο του αξίωμα; «Αδύνατο να πω με σιγουριά. Θα μπορούσε να είναι ένα χρόνο, θα μπορούσε να είναι εκατό χρόνια. Προσωπικά πιστεύω ότι θα μάθουμε πολύ περισσότερα σε ένα ή δύο χρόνια, αν και μερικές από αυτές τις εικασίες φαίνονται αρκετά δύσκολες. Αυτό είναι το θέμα: αν έχεις μια εικασία στα μαθηματικά, δεν ξέρεις αν θα επιβεβαιωθεί αύριο ή σε χίλια χρόνια».
Πηγή:https://plus.maths.org
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου