Θεωρία (σύντομη)μαθηματικά β γυμνασίου στα κεφάλαια 1,2,3

 📘 Συνοπτική Θεωρία Β΄ Γυμνασίου

Κεφάλαιο 1 – Ακέραιοι και Ρητοί

1.1 Ακέραιοι αριθμοί

• Οι ακέραιοι αριθμοί είναι:
  $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$.

• Το 0 είναι ουδέτερο, ούτε θετικός ούτε αρνητικός.

• Στον άξονα των αριθμών: δεξιά βρίσκονται οι θετικοί, αριστερά οι αρνητικοί.

• Μεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται πιο δεξιά.

1.2 Πράξεις με ακεραίους

• Άθροισμα – Διαφορά:

  • Αν οι αριθμοί έχουν ίδιο πρόσημο, προσθέτουμε απόλυτες τιμές και κρατάμε το πρόσημο.

  • Αν έχουν διαφορετικό πρόσημο, αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές και κρατάμε το πρόσημο του μεγαλύτερου.

• Πολλαπλασιασμός – Διαίρεση:

  • $+\cdot + = +$, $- \cdot - = +$

  • $+\cdot - = -$, $-\cdot +=-$

1.4 Ρητοί αριθμοί

• Ρητοί είναι οι αριθμοί που γράφονται ως κλάσμα $\dfrac{α}{β}$ με $β \neq 0$.

• Τα κλάσματα απλοποιούνται με διαίρεση αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.

• Για πράξεις:

  • Πρόσθεση/Αφαίρεση: κοινός παρονομαστής.

  • Πολλαπλασιασμός: αριθμητές μεταξύ τους, παρονομαστές μεταξύ τους.

  • Διαίρεση: πολλαπλασιάζουμε με τον αντίστροφο.

• Κάθε κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικός.

Κεφάλαιο 2 – Εξισώσεις

2.1 Εξισώσεις α΄ βαθμού

• Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει άγνωστο.

• Εξίσωση α΄ βαθμού: έχει μορφή $αx + β = γ$.

• Βασικές αρχές:

  • Μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη.

  • Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

• Στόχος: βρίσκουμε την τιμή του $x$.

2.2 Προβλήματα με εξισώσεις

• Διαβάζουμε το πρόβλημα → μεταφράζουμε τα δεδομένα σε μαθηματική σχέση.

• Ορίζουμε άγνωστο, γράφουμε εξίσωση, λύνουμε και ερμηνεύουμε το αποτέλεσμα.

• Παράδειγμα: «Ένας αριθμός διπλάσιος του μειωμένος κατά 7 κάνει 15» → $2x - 7 = 15$.

Κεφάλαιο 3 – Γεωμετρία

3.1 Γωνίες

• Συμπληρωματικές γωνίες: άθροισμα 90°.

• Παραπληρωματικές γωνίες: άθροισμα 180°.

• Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°.

3.2 Παράλληλες ευθείες

• Όταν μια τέμνουσα τέμνει δύο παράλληλες:

  • Εναλλάξ εντός γωνίες είναι ίσες.

  • Εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές.

  • Κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

3.3 Τρίγωνα

• Άθροισμα γωνιών: $180°$.

• Είδη τριγώνων:

  • Ισοσκελές (δύο ίσες πλευρές, δύο ίσες γωνίες).

  • Ισόπλευρο (όλες ίσες πλευρές και γωνίες 60°).

  • Ορθογώνιο (μία γωνία 90°).

3.4 Τετράπλευρα

• Παραλληλόγραμμο: απέναντι πλευρές και γωνίες ίσες.

• Ορθογώνιο: παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες 90°.

• Ρόμβος: παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.

• Τετράγωνο: ρόμβος + ορθογώνιο.

• Άθροισμα γωνιών τετραπλεύρου = 360°.

3.5 Εμβαδά

• Ορθογώνιο: $Ε = μήκος \cdot πλάτος$

• Τρίγωνο: $Ε = \dfrac{β \cdot υ}{2}$

• Τραπέζιο: $Ε = \dfrac{(Β+β)\cdot υ}{2}$

• Παραλληλόγραμμο: $Ε = βάση \cdot ύψος$

• Ρόμβος: $Ε = \dfrac{δ_1 \cdot δ_2}{2}$

• Κύκλος: $\mathrm{E}=\pi \cdot {\rho }^2$