Λυμένη άσκηση στους λογαρίθμους μαθηματικά β λυκείου

 Σύστημα εξισώσεων:

y = log₂(5x + 4)
y = 3 + log₂(x - 1)

Λύση:

Βήμα 1: Ισότητα των δύο εκφράσεων για το y

Δεδομένου ότι και οι δύο εξισώσεις έχουν το y ως άγνωστο, μπορούμε να τις θέσουμε ίσες μεταξύ τους:

log₂(5x + 4) = 3 + log₂(x - 1)

Βήμα 2: Μεταφορά όλων των λογαρίθμων στην ίδια πλευρά της εξίσωσης

log₂(5x + 4) - log₂(x - 1) = 3

Βήμα 3: Χρήση του κανόνα διαίρεσης λογαρίθμων

log₂[(5x + 4) / (x - 1)] = 3

Βήμα 4: Μετατροπή της λογαριθμικής εξίσωσης σε εκθετική

Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των λογαρίθμων που λέει ότι αν logₐ(b) = c, τότε a^c = b.

2³ = (5x + 4) / (x - 1)

Βήμα 5: Επίλυση της προκύπτουσας εξίσωσης

8 = (5x + 4) / (x - 1)

Αφού πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με (x - 1), παίρνουμε:

8(x - 1) = 5x + 4

8x - 8 = 5x + 4

3x = 12

x = 4

Βήμα 6: Υπολογισμός της τιμής του y

Αντικαθιστώντας το x = 4 σε μία από τις αρχικές εξισώσεις (π.χ. την πρώτη), βρίσκουμε:

y = log₂(5*4 + 4)
y = log₂(24)

Λύση του συστήματος:

Το σύστημα εξισώσεων έχει μία μοναδική λύση:

x = 4
y = log₂(24)

Συμπέρασμα:

Το σημείο (4, log₂(24)) είναι το σημείο τομής των δύο γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων που ορίζονται από τις δύο εξισώσεις του συστήματος.