ΓΙΑΤΙ ΠΛΗΝ (-) ΕΠΙ ΠΛΗΝ (-) ΚΑΝΕΙ ΣΥΝ (+);

 

 Ο  Πέτρος  ακολουθεί εδώ και έναν µήνα µια συγκεκριµένη δίαιτα και έχει παρατηρήσει ότι κάθε µέρα χάνει 50 γραµµάρια βάρους.  

 Ερώτηµα 1. Τι βάρος θα έχει χάσει σε 6 ηµέρες;  

 Απάντηση 

 (6 µέρες) ⋅(απώλεια 50 γρ./µέρα)= απώλεια 300 γρ.  

 ή 6⋅(-50)=-300 

Παρατήρηση:

Πολλές φορές  εκφράζουμε με τα σύμβολα (+) τα κέρδη ενώ αντίθετα με (-) τις ζημιές.

Στο παράδειγμά μας παραπάνω εκφράζουμε την απώλεια 50 γρ/μέρα με το -50. Το αποτέλεσμα επειδή είναι ζημιά θα πρέπει να το συμβολίσουμε με το αρνητικό πρόσημο (-).

Ερώτηµα 2. Πόσο βαρύτερος ήταν πριν από 7 ηµέρες;  

 Απάντηση 

 (7 µέρες )⋅(απώλεια 50γρ./µέρα)=απώλεια 350 γρ. Άρα πριν από 7 µέρες  ήταν βαρύτερος κατά 350 γρ.  

 ή (-7)⋅(-50)=+350  

Εδώ το πριν 7 ημέρες πρέπει να το εκφράσουμε με το -7 αντί το πριν βάζω το (-) μείον σαν μαθηματικό σύμβολο.

Παραδεχόμαστε  ότι :

α) Αρνητικός χρόνος ερµηνεύεται ως παρελθόν 

β) Αρνητική µεταβολή του βάρους ερµηνεύεται ως απώλεια βάρους.  

γ) Αρνητικό βάρος σηµαίνει ελάττωση του βάρους σε σχέση µε το βάρος του Νίκου σε κάποια  προηγούµενη χρονική στιγµή, ενώ το θετικό βάρος (ως αποτέλεσµα του παραπάνω πολ/µου)   ερµηνεύεται ως αύξηση του βάρους σχετικά µε το βάρος του Νίκου σε κάποια προηγούµενη   χρονική στιγμή. 

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΣΩ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 

Πρόβληµα1. 

 Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: Α= (7-5)⋅(3-2)  

 Β=7⋅3+5⋅2-5⋅3-7⋅2   Λύση 

Έχουµε Α= 2⋅1=2  

 Β= 21+10-15-14=31-15-14=16-14=2  

Παρατηρούµε ότι Α=Β 

 Πρόβληµα 2. 

Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: Α=(10-8)⋅(12-3)  

 Β=10⋅12+8⋅3-8⋅12-10⋅3   Λύση 

Έχουµε Α=2⋅9=18  

 Β=120+24-96-30=144-96-30=48-30=18  

Παρατηρούµε ότι Α=Β.  

Τα παραπάνω αποτελέσµατα µας υποβάλουν την ισχύ του κανόνα 

 (α-β)⋅(γ-δ)=α⋅γ+β⋅δ-α⋅δ-β⋅γ ο οποίος µας υποβάλει στην ιδέα ενός κανόνα πρόσηµων.  Συγκεκριµένα (-β)⋅(-δ)=+β⋅δ 

 (-β)⋅(+γ)=-β⋅γ2  

 

Γιατί πλην επί πλην κάνει συν; Μια άλλη προσπάθεια αιτιολόγησης.  

 ∆είτε τα παρακάτω αποτελέσµατα 

 3⋅4=12 4⋅3=12  

 3⋅3=9 3⋅3=9  

 3⋅2=6 2⋅3=6  

 3⋅1=3 1⋅3=3  

 3⋅0=0 0⋅3=0  

Τι παρατηρείτε;  

Όταν είναι σταθερός ο πολλαπλασιαστής (εδώ το 3) και ο πολλαπλασιαστέος ελαττώνεται κατά 1  τότε το γινόµενο ελαττώνεται κατά τον πολλαπλασιαστή (δηλ. κατά 3).  

Επίσης το ίδιο συµβαίνει και όταν είναι σταθερός ο πολλαπλασιαστέος και ελαττώνεται κατά ι ο πολλαπλασιαστής.  

 Ας συνεχίσουµε λοιπόν την µείωση του πολλαπλασιαστές ή του πολλαπλασιαστή κατά ένα διατηρώντας τον παραπάνω κανόνα.  

 3⋅(-1)=-3 (-1)⋅3=-3  

 3((-2)=-6 (-2)⋅3=-6  

 3⋅(-3)=-9 (-3)⋅3=-9  

 3⋅(-4)=-12 (-4)⋅3=-12  

Τι συµπέρασµα βγαίνει για το πρόσηµο του γινόµενου δυο ετερόσηµων αριθµών;  

 Συµπεραίνουµε ότι το γινόµενο δυο ετερόσηµων αριθµών έχει πάντα αρνητικό πρόσηµο.   ∆ηλιαδη συν επί πλην κάνει πλην.  

 ∆είτε τώρα τα παρακάτω αποτελέσµατα 

 3⋅(-4)=-12  

 2⋅(-4)=-8  

 1⋅(-4)=-4  

 0⋅(-4)=0  

 Τι παρατηρείτε;  

Τα γινόµενα αυξάνουν κατά 4  

 Συνεχίστε τώρα µε τον ίδιο τρόπο 

 (-1)⋅(-4)=+4  

 (-2)⋅(-4)=+8  

 (-3)⋅(-4)=+12  

 Τι συµπέρασµα βγάζετε;  

Συµπεραίνουµε µε βάση τα παραπάνω ότι πλην επί πλην κάνει συν.  

  

παραδοχές 

α) Η φυσική γραµµική διάταξη των αριθµών. …….,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,…..  

β) Η διατήρηση των κανόνων που ισχύουν για θετικούς αριθµούς και στην περίπτωση των αρνητικών αριθµών. 

Η ΑΠΆΝΤΗΣΗ ΜΕ ΦΟΡΜΑΛΙΣΤΙΚΌ ΤΡΌΠΟ

 Οµολογώ πως δεν γνωρίζω ποια είναι η «φύση» του αριθµού ,όµως ξέρω ότι η χρήση των   αριθµών από τους ανθρώπους υπακούει στους παρακάτω κανόνες (Αξιώµατα):  

α+β=β+α α⋅β=β⋅α 

α+(β+γ)=(α+β)+γ α⋅(β⋅γ)=(α⋅β)⋅γ 

α+0=0+α=α α⋅1=1⋅α=α 

για κάθε α υπάρχει χ ώστε για κάθε α διάφορο του 0 υπάρχει ψ ώστε  α+χ=χ+α=0 (ύπαρξη αντίθετου) α⋅α1=1 (ύπαρξη αντίστροφου)   α⋅(β+γ)=α⋅β+α⋅γ 

Με βάση τα παραπάνω αξιώµατα µπορώ να αποδείξω µε λογική ακρίβεια τον κανόνα των πρόσηµων.  

Θεώρηµα1. Ο αντίθετος του α είναι µοναδικός.  

 Απόδειξη 

 Αν ο α έχει δυο αντίθετους έστω χ,ψ τότε 

 α+χ=0 και α+ψ=0  

 όµως χ=χ+0=χ+(α+ψ)=(χ+α)+ψ=0+ψ=ψ. Άρα ο αντίθετος του α είναι  µοναδικός.  

 Αυτόν τον µοναδικό αντίθετο του α τον συµβολίζουµε µε –α 

Θεώρηµα2. Ο αντίθετος του αντίθετου είναι ο ίδιος ο αριθµός. ∆ηλαδή –(-α)=α  Απόδειξη 

 Αφού α+(-α)=0 και λόγω του θ.1. προκύπτει –(-α)=α 

Θεώρηµα 3 (-α)⋅β=-(α⋅β) και α⋅(-β)=-(α⋅β)  

 Απόδειξη 

 (-α)+α=0  

 [(-α)+α]⋅β=0⋅β 

 (-α)⋅β+α⋅β=0  

 η τελευταία σχέση δείχνει ότι –(α⋅β)=(-α)⋅β 

Θεώρηµα 4. (-α)⋅(-β)=α⋅β 

 Απόδειξη 

 (-α)⋅(-β)=-[(-α)⋅β]=-[-(α⋅β)]=α⋅β. 

4