Δευτέρα 26 Δεκεμβρίου 2022

Λογαριθμικές εξισώσεις μεθοδολογία -λυμένες ασκήσεις ,παραδείγματα

Λογαριθμικές ανισότητες

Επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα μονοτονίας της λογαριθμικής συνάρτησης. Χρησιμοποιούμε επίσης τον ορισμό του λογαρίθμου και βασικούς λογαριθμικούς τύπους.

Ας ανακεφαλαιώσουμε τι είναι οι λογάριθμοι:

$σι$ Ο βασικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού $ένα$ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξήσετε $ένα$ για να λάβετε $σι$ .

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}c}\Leftrightarrow { }\boldsymbol{{{ a}}^{{ c}}}{ }{ =}\boldsymbol {{ β}}.$

Εν $b \textgreater 0,a \textgreater 0,a\ne 1.$

Βασική λογαριθμική ταυτότητα:

$\boldsymbol{{{ a}}^{{{{ log}}_{{ a}} { b}}}{ =}{ b}{,}}$

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} {{ a}}^{{ c}}}{ =c}}.$

Βασικοί τύποι για λογάριθμους:

$\boldsymbol{log_a(bc)}=\boldsymbol{log_ab+log_ac}$ (Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων)

$\boldsymbol{log_a {{b} \over {c}}=log_ab-log_ac}$ (Ο λογάριθμος του πηλίκου είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων)

$\boldsymbol{log_ab^m=mlog_ab}$ (Τύπος για τον λογάριθμο του βαθμού)

Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση είναι:

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{{{ log}}_{{ γ}} { b}}}{{{{ log}}_ {{ γ}} { a}}} }$

$\boldsymbol{{ }{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{ 1}}{{{{ log}}_{{ b}} { a}}}} .$

Αλγόριθμος επίλυσης λογαριθμικών ανισώσεων

Μπορούμε να πούμε ότι οι λογαριθμικές ανισώσεις επιλύονται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο. Πρέπει να γράψουμε το εύρος των αποδεκτών τιμών (ODV) της ανισότητας. Φέρτε την ανισότητα στη μορφή ${{ } }{{log}_a {{ x}}_{{ 1}}}{ \textless }{{log}_a {{ x}}_{{ 2}}}.$ Το πρόσημο εδώ μπορεί να είναι οποιοδήποτε: $\textgreater , \textgreater , \textless .$ Είναι σημαντικό ότι το αριστερό και το δεξί στην ανισότητα ήταν λογάριθμοι στην ίδια βάση.

Και μετά «απορρίπτουμε» τους λογάριθμους! Επιπλέον, εάν η βάση του βαθμού ${a} \textgreater 1$ είναι , το πρόσημο της ανισότητας παραμένει το ίδιο. Αν η βάση είναι τέτοια που το $0 \textless {a} \textless 1,$ πρόσημο της ανισότητας αντιστρέφεται.

Χρησιμοποιούμε επίσης την ιδιότητα μονοτονίας της λογαριθμικής συνάρτησης. Εάν η βάση του λογάριθμου είναι μεγαλύτερη από ένα, η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται μονότονα και τότε μια μεγαλύτερη τιμή x αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή της παράστασης ${{log}_a x}$ .

Αν η βάση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και μικρότερη από ένα, η λογαριθμική συνάρτηση μειώνεται μονότονα. Μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος x θα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή ${{log}_a x}.$

Σημαντική σημείωση: είναι καλύτερο να γράψετε τη λύση ως μια αλυσίδα ισοδύναμων μεταβάσεων.

Ας προχωρήσουμε στην εξάσκηση. Όπως πάντα, ξεκινάμε με τις πιο απλές ανισότητες.

1. Θεωρήστε το log3 x > log 3 5.
Εφόσον οι λογάριθμοι ορίζονται μόνο για θετικούς αριθμούς, το x πρέπει να είναι θετικό. Η συνθήκη x > 0 ονομάζεται το εύρος των αποδεκτών τιμών (Πεδίο Ορισμού ) της δεδομένης ανισότητας. Μόνο για τέτοιο x έχει νόημα η ανισότητα.

Η απάντηση είναι απλή: εάν η βάση είναι μεγαλύτερη από ένα (όπως στην περίπτωσή μας), η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται μονότονα, πράγμα που σημαίνει ότι μια μεγαλύτερη τιμή του x αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή του y, και από το log της ανισότητας 3 x 1 > log 3 x 2 έπεται ότι x 1 > x 2 .

Σημειώστε ότι έχουμε αλλάξει σε μια αλγεβρική ανισότητα και το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται σε αυτήν την περίπτωση.

Άρα x > 5.

Η παρακάτω λογαριθμική ανισότητα είναι επίσης απλή.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Ας ξεκινήσουμε κάνοντας τους περιορισμούς.

Οι λογάριθμοι ορίζονται μόνο για θετικούς αριθμούς, άρα

Λύνοντας αυτό το σύστημα, παίρνουμε: x > 0.

Τώρα ας περάσουμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην αλγεβρική - «απορρίπτουμε» τους λογάριθμους. Εφόσον η βάση του λογάριθμου είναι μεγαλύτερη από μία, διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας.

15 + 3x > 2x.

Παίρνουμε: x > −15.

Έτσι,

Απάντηση: x > 0.

Τι γίνεται όμως αν η βάση του λογάριθμου είναι μικρότερη από το ένα; Είναι εύκολο να μαντέψουμε ότι σε αυτή την περίπτωση, όταν περνάμε σε μια αλγεβρική ανισότητα, το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

3. $log_{\frac{5}{6}}\left ( 2x-9 \right )\geq log_{\frac{5}{6}}x.$