Η τέχνη των Μαθηματικών και τα μαθηματικά της τέχνης

 

Μαθηματικά και τέχνηΤα μαθηματικά και η τέχνη συνδέονται με πολλούς τρόπους. Τα ίδια τα μαθηματικά περιγράφονται ως μια τέχνη με κίνητρο την ομορφιά. Τα μαθηματικά μπορούν να διακριθούν σε τέχνες όπως η μουσική, ο χορός, η ζωγραφική, η αρχιτεκτονική, η γλυπτική και τα υφάσματα. Αυτό το άρθρο εστιάζει στα μαθηματικά στις εικαστικές τέχνες.Η τέχνη και τα μαθηματικά συνδέονται συχνά στην αναλογία του Πλάτωνα με την ομορφιά και την αλήθεια. οι προϋποθέσεις αυτής της ερώτησης συχνά προκαλούν την ποσότητα του χρυσού. Το Phi είναι η μαθηματική σταθερά που συνδέεται περισσότερο με την τέχνη λόγω της συνεχούς παρουσίας του σε γλυπτικές και εικαστικές συνθέσεις στην τέχνη της Αναγέννησης. Η χρυσή τομή θεωρείται ως κανόνας για να ληφθεί μια αρμονική αναλογία που ικανοποιεί το γούστο του παρατηρητή. Αυτό το παράδειγμα είναι μερικό αν θέλετε να κατανοήσετε τον ρόλο των μαθηματικών στην ιστορία της τέχνης και στις σύγχρονες αισθητικές επαναστάσεις. Είναι πιο αποτελεσματικό να αμφισβητούμε δημιουργικά πρωτόκολλα, δομές και μορφογένεση. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να εγκαταλείψουμε τις πλατωνικές θέσεις υπέρ των ερωτημάτων σχετικά με τις μορφές και τους τρόπους εμφάνισης και αντίληψής τους. Η τέχνη και τα μαθηματικά δημιουργούν πολλούς άξονες σύγκλισης από άποψη ενδιαφέροντος, την οποία μαθηματικοί και καλλιτέχνες υποστηρίζουν αμοιβαία, αλλά και γύρω από χρήσεις και διαδικασίες. Πολλά σύγχρονα αισθητικά έργα πηγάζουν από περισσότερο ή λιγότερο προφανείς μαθηματικές πρακτικές, αλλά όλα μαρτυρούν έναν εκπληκτικό βαθμό μαθηματικής κουλτούρας. Από το ζήτημα της ομορφιάς και της αρμονίας έως τα ζητήματα μορφολογίας ή δομής, τα μαθηματικά προσφέρουν πολλά εργαλεία για την εξερεύνηση της πολυπλοκότητας της πραγματικότητας, τις αναπαραστάσεις της, καθώς και την ικανότητα να εφευρίσκονται δομές, μορφές και μορφές. διαδικασίες. Από το ζήτημα της ομορφιάς και της αρμονίας έως τα ζητήματα μορφολογίας ή δομής, τα μαθηματικά προσφέρουν πολλά εργαλεία για την εξερεύνηση της πολυπλοκότητας της πραγματικότητας, τις αναπαραστάσεις της, καθώς και την ικανότητα να εφευρίσκονται δομές, μορφές και μορφές. διαδικασίες. Από το ζήτημα της ομορφιάς και της αρμονίας έως τα ζητήματα μορφολογίας ή δομής, τα μαθηματικά προσφέρουν πολλά εργαλεία για την εξερεύνηση της πολυπλοκότητας της πραγματικότητας, τις αναπαραστάσεις της, καθώς και την ικανότητα να εφευρίσκονται δομές, μορφές και μορφές. διαδικασίες.Τα μαθηματικά και η τέχνη έχουν μια μακρά ιστορική σχέση. Οι καλλιτέχνες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά από τον 4ο αιώνα π.Χ., όταν ο Έλληνας γλύπτης Πολύκλειτος έγραψε τον Κανόνα του, ορίζοντας αναλογίες με βάση την αναλογία 1:√2 για το ιδανικό ανδρικό γυμνό. Έχουν γίνει επίμονοι λαϊκοί ισχυρισμοί για τη χρήση της χρυσής τομής στην αρχαία τέχνη και αρχιτεκτονική χωρίς αξιόπιστα στοιχεία. Στην Ιταλική Αναγέννηση, ο Luca Pacioli έγραψε την επιδραστική πραγματεία De Divina Proportione (1509), εικονογραφημένη με δάση από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι, σχετικά με τη χρήση της χρυσής τομής στην τέχνη. Ένας άλλος Ιταλός ζωγράφος, ο Piero della Francesca, ανέπτυξε τις ιδέες του Ευκλείδη για την προοπτική σε πραγματείες όπως η Deprospectiva του Pindandi και στους πίνακές του. Ο χαράκτης Albrecht Dürer έκανε πολλές αναφορές στα μαθηματικά στο έργο του Melencolia I. Στη σύγχρονη εποχή, ο γραφίστας M. C. Escher έχει κάνει βαριά χρήση της ψηφίδας και της υπερβολικής γεωμετρίας, με τη βοήθεια του μαθηματικού H. M. Coxer, και το κίνημα De Stijl, με επικεφαλής τον Theo van Doberg και τον Piet Mondrian, έχει σαφώς υιοθετήσει γεωμετρικές μορφές. Τα μαθηματικά έχουν εμπνεύσει τις τέχνες της κλωστοϋφαντουργίας όπως το καπιτονέ, το πλέξιμο, η σταυροβελονιά, το βελονάκι, το κέντημα, η υφαντική, η τουρκική και άλλη ταπητουργία και το κιλίμι. Στην ισλαμική τέχνη, οι συμμετρίες εμφανίζονται με διαφορετικές μορφές όπως τα περσικά κορίτσια και τα μαροκινά πλακάκια, καθώς και οι ευρέως διαδεδομένοι τύμβοι μουκάρνας. όπως καπιτονέ, πλέξιμο, σταυροβελονιά, βελονάκι, κέντημα, ύφανση, τουρκική και άλλη ταπητουργία και κιλίμι. Στην ισλαμική τέχνη, οι συμμετρίες εμφανίζονται με διαφορετικές μορφές όπως τα περσικά κορίτσια και τα μαροκινά πλακάκια, καθώς και οι ευρέως διαδεδομένοι τύμβοι μουκάρνας. όπως καπιτονέ, πλέξιμο, σταυροβελονιά, βελονάκι, κέντημα, ύφανση, τουρκική και άλλη ταπητουργία και κιλίμι. Στην ισλαμική τέχνη, οι συμμετρίες εμφανίζονται με διαφορετικές μορφές όπως τα περσικά κορίτσια και τα μαροκινά πλακάκια, καθώς και οι ευρέως διαδεδομένοι τύμβοι μουκάρνας.Ο François Morellet εμπνεόταν συνεχώς από τα μαθηματικά και τη γεωμετρία στη δουλειά του. Απόσπασμα από τον ιστότοπό του: Το έργο του François Morlelet εκτελείται σύμφωνα με ένα σύστημα: κάθε επιλογή καθορίζεται από μια προκαθορισμένη αρχή. Θέλει να δώσει την εντύπωση ότι έχει τον έλεγχο της καλλιτεχνικής δημιουργίας, αφήνοντας λίγη τυχαιότητα που δίνει μια απρόβλεπτη εικόνα. Χρησιμοποιεί απλά σχήματα, μικρή ποσότητα συμπαγών χρωμάτων και στοιχειώδεις συνθέσεις (παράθεση, υπέρθεση, τυχαιότητα, παρεμβολή, κατακερματισμός). Έτσι, δημιουργεί τα πρώτα του «κάδρα», δίκτυα μαύρων παράλληλων γραμμών επάλληλα με μια ορισμένη σειρά που καλύπτουν όλη την επιφάνεια των πινάκων. Αυτά τα συστήματα θυμίζουν τις δομές που προτάθηκαν από τον Oulipo (Ouvroir de Littérature Potentielle) και περιγράφονται από τον Raymond Kenow: «Ποιος είναι ο σκοπός της δουλειάς μας; Να προτείνει στους συγγραφείς νέες «δομές», μαθηματικού χαρακτήρα, ή ακόμα και να επινοήσει νέες τεχνητές ή μηχανικές διαδικασίες για να βοηθήσουν τη λογοτεχνική δραστηριότητα». Στη συνέχεια, ο François Morellet θα συνεχίσει να χρησιμοποιεί συστήματα που βασίζονται στο μαθηματικό σύμπαν.Τον δέκατο ένατο αιώνα, το έργο των Gauss, Lobatechevsky και Riemann έκανε δημοφιλή την ιδέα των χωρικών διαστάσεων και των εξωτικών γεωμετριών. Ο Albert Einstein, αναπτύσσοντας τη θεωρία της σχετικότητας, προσφέρει στο πολιτιστικό κοινό νέα παραδείγματα παρατήρησης, τα οποία μερικοί καλλιτέχνες χρησιμοποιούν για να βρουν άλλους τρόπους αναπαράστασης, η ιδέα του χωροχρόνου είναι γόνιμη και οι νέοι Braque και Pïcasso ακούν για έναν χώρο. που δεν είναι πλέον Ευκλείδειο, αλλά σφαιρικό ή υπερβολικό. Προκαλεί τη φαντασία και προσφέρει νέους τρόπους περιγραφής των σκαλοπατιών του Marcel Duchamp και, στα πρωτότυπα έργα του Braque και του Picasso, του αναλυτικού κυβισμού που έγινε στο Baetau Lavoir κατά την πρώτη δεκαετία του εικοστού αιώνα. αιώνας. Αυτή η έννοια του χώρου θα ενσωματωθεί στο θεμελιώδες έργο της ιστορίας της τέχνης του εικοστού αιώνα, Η Κυρία της Αβινιόν.Τα μαθηματικά επηρέασαν άμεσα την τέχνη μέσω εννοιολογικών εργαλείων όπως η γραμμική προοπτική, η ανάλυση συμμετρίας και τα μαθηματικά αντικείμενα όπως τα πολύεδρα και η λωρίδα Möbius. Ο Magnus Wenniner δημιουργεί πολύχρωμα σειριακά πολύεδρα, αρχικά ως μοντέλα διδασκαλίας. Μαθηματικές έννοιες όπως η αναδρομή και το λογικό παράδοξο μπορούν να φανούν στους πίνακες του René Magritte και στα χαρακτικά του M. S. Escher. Η τέχνη των υπολογιστών χρησιμοποιεί συχνά φράκταλ, συμπεριλαμβανομένου του συνόλου Mandelbrot, και περιστασιακά εξερευνά άλλα μαθηματικά αντικείμενα όπως τα κυψελωτά αυτόματα. Αντιφατικά, ο καλλιτέχνης David Hockney ισχυρίστηκε ότι οι καλλιτέχνες της Αναγέννησης, ξεκινώντας από τη χρήση της κάμερας Lucida, σχεδιάζουν ακριβείς αναπαραστάσεις σκηνών. Ο αρχιτέκτονας Philip Steadman ισχυρίστηκε επίσης ότι ο Vermeer χρησιμοποίησε την κάμερα obscura στους προφανώς παρατηρήσιμους πίνακές του.Άλλες σχέσεις περιλαμβάνουν την αλγοριθμική ανάλυση έργων τέχνης χρησιμοποιώντας φασματοσκοπία φθορισμού ακτίνων Χ, το συμπέρασμα ότι τα παραδοσιακά μπατίκ από διαφορετικές περιοχές της Ιάβας έχουν σαφείς διαστάσεις φράκταλ και κίνητρα για μαθηματική έρευνα, ειδικά τη θεωρία της προοπτικής του Filippo Brunelleschi, η οποία τελικά οδήγησε στο προβολικά έργα γεωμετρίας Girard Desargues. Μια επίμονη άποψη, βασισμένη τελικά στην πυθαγόρεια έννοια της αρμονίας στη μουσική, υποστηρίζει ότι τα πάντα οργανώθηκαν από τον Number, ότι ο Θεός είναι ο γεωμέτρης του κόσμου και επομένως η γεωμετρία του κόσμου είναι ιερή, όπως φαίνεται σε έργα όπως το William Blake Αρχαία Ημέρα.

Μαθηματικά και Τέχνη στην Ιστορία:
Ο Πολύκλειτος ο Πρεσβύτερος (περίπου 450-420 π.Χ.) ήταν Έλληνας γλύπτης από τη σχολή του Άργους και σύγχρονος του Φειδία. Τα έργα και τα αγάλματά του αποτελούνταν κυρίως από μπρούτζο και ήταν αθλητές. Σύμφωνα με τον φιλόσοφο και μαθηματικό Ξενοκράτη, ο Πολύκλειτος θεωρείται ένας από τους σημαντικότερους γλύπτες της κλασικής αρχαιότητας για το έργο του στον Δορυφόρο και το άγαλμα της Ήρας στο Ηριάδ Άργους. Αν και τα γλυπτά του δεν είναι τόσο διάσημα όσο αυτά του Φειδία, αγαπήθηκαν πολύ. Στο Canon Polykleitos, που έγραψε ο ίδιος, με σκοπό να τεκμηριώσει τις «ιδανικές» ανατομικές αναλογίες του ανδρικού γυμνού, ο Πολύκλειτος μας δίνει μια μαθηματική προσέγγιση στη γλυπτική του ανθρώπινου σώματος.

Ο Πολύκλειτος χρησιμοποιεί την άπω φάλαγγα του μικρού δακτύλου ως κύρια ενότητα για τον προσδιορισμό των αναλογιών του ανθρώπινου σώματος. Ο Πολύκλειτος πολλαπλασιάζει το μήκος της άπω φάλαγγας με την τετραγωνική ρίζα δύο (√2) για να πάρει την απόσταση από τη δεύτερη φάλαγγα και πολλαπλασιάζει ξανά το μήκος με √2 για να πάρει το μήκος της τρίτης φάλαγγας. Στη συνέχεια παίρνει το μήκος του δακτύλου και το πολλαπλασιάζει με √2 για να πάρει το μήκος της παλάμης από τη βάση του δακτύλου μέχρι την ωλένη. Αυτή η γεωμετρική σειρά μετρήσεων προχωρά μέχρι ο Πολύκλειτος να σχηματίσει ένα χέρι, στήθος, σώμα κ.λπ.αποδεικνύει την ιδεατότητά του για φυσική τελειότητα και μαθηματική ακρίβεια. Ορισμένοι μελετητές υποστηρίζουν ότι η Πυθαγόρεια σκέψη επηρέασε τον Κανόνα του Πολύκλειτου. Ο Κανόνας παίρνει τις βασικές μαθηματικές έννοιες της ελληνικής γεωμετρίας όπως η αναλογία, η αναλογία και η συμμετρία (στα ελληνικά για «αρμονικές αναλογίες») και τη μετατρέπει σε ένα σύστημα ικανό να περιγράφει την ανθρώπινη μορφή μέσω μιας σειράς συνεχών γεωμετρικών προόδων.Στην κλασική εποχή, αντί να μικραίνουν οι μακρινές φιγούρες με γραμμική προοπτική, οι καλλιτέχνες μεγεθύνουν αντικείμενα και φιγούρες ανάλογα με τη θεματική τους σημασία. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, ορισμένοι καλλιτέχνες χρησιμοποιούσαν την αντίστροφη προοπτική για έμφαση. Zero Filipl Nulvibrovolbalna Η Αναγέννηση είδε μια αναβίωση του κλασικού ελληνικού και ρωμαϊκού πολιτισμού και ιδεών, μεταξύ των οποίων ήταν η μελέτη των μαθηματικών για την κατανόηση της φύσης και της τέχνης. Δύο βασικά κίνητρα οδήγησαν τους καλλιτέχνες στον ύστερο Μεσαίωνα και την Αναγέννηση στα μαθηματικά. Πρώτα, οι καλλιτέχνες έπρεπε να καταλάβουν πώς να απεικονίσουν τρισδιάστατες σκηνές σε καμβά 2D.Nullmike Philippille Zero Zero Zero Zero Nulvav Zero Zero Nulvav Zero Nulvav Null Zero Zero αγροτική καπνοδόχος Απαραίτητη Philippille Nullmail Nullmail Nullmail Nullvangen Το 1415, ο Ιταλός αρχιτέκτονας Filippo Brunelleschi και ο φίλος του Leon Battista Alberti έδειξαν μια φόρμουλα με την προοπτική της Floroometric. από τον Ευκλείδη για να βρει το φαινομενικό ύψος των μακρινών αντικειμένων. Οι πίνακες προοπτικής του ίδιου του Μπρουνελέσκι ​​έχουν χαθεί, αλλά ο πίνακας της Αγίας Τριάδας του Μασάτσιο δείχνει τις αρχές του στη δουλειά.Αυτό που απεικονίζεται στους πίνακές του για τη Μάχη του Σαν Ρομάνο (περίπου 1435-1460) γοητεύτηκε από τον Ιταλό καλλιτέχνη Paolo Uccello (1397-1475): «Οι εκρηκτικές λόγχες βρίσκονται σε βολική τοποθεσία κατά μήκος προοπτικών γραμμών.Ο ζωγράφος Piero della Francesca (περ. 1415-1492) εικονογραφεί αυτή τη νέα αλλαγή στην ιταλική αναγεννησιακή σκέψη. Ήταν ειδικός μαθηματικός και γεωμέτρης, και έγραψε βιβλία για στερεά γεωμετρία και προοπτικές, συμπεριλαμβανομένων των Deprospectiva Pindendi (Προοπτική για τη ζωγραφική), Treattato d'Abaco (Πραγματεία Άβακου) και Debibus Sunditus (Σε κανονικά στερεά). Ο ιστορικός Vasari, στο The Lives of the Painters, αποκαλεί τον Piero «τον μεγαλύτερο γεωμέτρη της εποχής του, ή ίσως οποιασδήποτε εποχής». Sputni… Η δουλειά του στη γεωμετρία επηρέασε μεταγενέστερους μαθηματικούς και καλλιτέχνες, συμπεριλαμβανομένου του Luca Pacioli στο De Divina Proportione και του Leonardo da Vinci. Ο Πιέρο σπούδασε κλασικά μαθηματικά και το έργο του Αρχιμήδη. Διδάχτηκε εμπορική αριθμητική στα «σχολεία Άβακας». Τα κείμενά του είναι μορφοποιημένα σαν σχολικά βιβλία άβακα, που πιθανώς περιλαμβάνουν το 1202 Liber Abaci του Λεονάρντο Πιζάνο (Φιμπονάτσι). Η γραμμική προοπτική απλώς εισήχθη στον καλλιτεχνικό κόσμο. Ο Alberti εξήγησε στην εργασία του De pictura του 1435: «Οι ακτίνες φωτός ταξιδεύουν σε ευθείες γραμμές από τα σημεία της παρατηρούμενης σκηνής προς το μάτι, σχηματίζοντας ένα είδος πυραμίδας με το μάτι ως την κορυφή». Η εικόνα, χτισμένη με γραμμική προοπτική, είναι μια διατομή αυτής της πυραμίδας.Στο De Prospectiva Pingendi, ο Pierrot μεταμορφώνει τις εμπειρικές του παρατηρήσεις για το πώς οι πτυχές του σχήματος αλλάζουν από την άποψη των μαθηματικών. Philippille Philippillus Philippille Philippille Χρησιμοποιεί απαγωγική λογική για να οδηγήσει τον αναγνώστη σε μια προοπτική αναπαράσταση ενός τρισδιάστατου σώματος.Ο καλλιτέχνης David Hockney υποστήριξε στο βιβλίο του The Secret Knowledge: Rediscovering the Forgotten Techniques of the Old Masters ότι όταν οι καλλιτέχνες άρχισαν να χρησιμοποιούν την κάμερα lucida από τη δεκαετία του 1420, υπήρξε μια ξαφνική αλλαγή στην ακρίβεια και τον ρεαλισμό και ότι η πρακτική συνεχίστηκε από μεγάλους καλλιτέχνες συμπεριλαμβανομένων των Ingres, Van Eyck και Caravaggio. Οι κριτικοί διαφωνούν για το αν ο Χόκνεϊ είχε δίκιο. Επιπλέον, ο αρχιτέκτονας Philip Steadman υποστήριξε αμφιλεγόμενα ότι ο Vermeer χρησιμοποίησε μια άλλη συσκευή, την camera obscura, για να τον βοηθήσει να δημιουργήσει τους πίνακές του που παρατηρήθηκαν με σαφήνεια.Το 1509, ο Luca Pacioli (περίπου 1447–1517) δημοσίευσε την αναλογία του De Divina στη μαθηματική και καλλιτεχνική αναλογία, συμπεριλαμβανομένης της αναλογίας του ανθρώπινου προσώπου. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι (1452-1519) εικονογράφησε το κείμενο με ξυλογραφίες κανονικών στερεών όταν σπούδασε κοντά στον Πατσιόλι τη δεκαετία του 1490. Τα σχέδια του Λεονάρντο είναι πιθανώς οι πρώτες απεικονίσεις σκελετικών στερεών. Αυτά, όπως το ρομβοβοκτάεδρο, ήταν από τα πρώτα που χρησιμοποιήθηκαν για να δείξουν την προοπτική επικαλύπτοντας το ένα το άλλο. Η εργασία πραγματεύεται τις προοπτικές στα έργα των Piero della Francesca, Melozzo da Forli και Marco Palmezzano. Ο Ντα Βίντσι μελέτησε το Άθροισμα του Πατσιόλι, από το οποίο αντέγραψε πίνακες αναλογιών. Στη Μόνα Λίζα και τον Μυστικό Δείπνο, το έργο του Ντα Βίντσι περιελάμβανε μια γραμμική προοπτική σημείου εξαφάνισης για να δώσει ορατό βάθος. Ο Μυστικός Δείπνος είναι χτισμένος σε στενή αναλογία 12:6:4:3, όπως και η Σχολή του Ραφαήλ Αθηνών, που περιλαμβάνει τον Πυθαγόρα με έναν πίνακα ιδανικών αναλογιών, ιερό προς τους Πυθαγόρειους. Στο The Vitruvian Man, ο Λεονάρντο εξέφρασε τις ιδέες του Ρωμαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου δείχνοντας καινοτόμα την ανδρική φιγούρα δύο φορές και κεντρώνοντάς την τόσο σε κύκλο όσο και σε τετράγωνο.Ήδη τον 15ο αιώνα, η καμπυλόγραμμη προοπτική αντανακλάται στους πίνακες καλλιτεχνών που ενδιαφέρονται για παραμορφώσεις εικόνας. Ο πίνακας του Arnolfini του 1434 από τον John van Eyck περιέχει έναν κυρτό καθρέφτη με αντανακλάσεις ανθρώπων στη σκηνή, ενώ η αυτοπροσωπογραφία του Parmigianino σε έναν κυρτό καθρέφτη, γ. 1523-1524, που δείχνει το ανόθευτο πρόσωπο του καλλιτέχνη στο κέντρο, με ένα έντονα καμπύλο φόντο και το χέρι του καλλιτέχνη γύρω από την άκρη.Ο τρισδιάστατος χώρος μπορεί να αναπαρασταθεί πειστικά στην τέχνη, καθώς και στο τεχνικό σχέδιο, με άλλα μέσα εκτός από την προοπτική. Οι λοξές προβολές, συμπεριλαμβανομένης της προοπτικής του ιππικού (που χρησιμοποιήθηκαν από Γάλλους πολεμικούς καλλιτέχνες για να αναπαραστήσουν οχυρώσεις τον 18ο αιώνα), χρησιμοποιήθηκαν με συνέπεια και παντού από Κινέζους καλλιτέχνες από τον πρώτο ή τον δεύτερο αιώνα έως τον 18ο αιώνα. Οι Κινέζοι απέκτησαν την τεχνική από την Ινδία, η οποία την απέκτησε από την Αρχαία Ρώμη. Η λοξή προβολή φαίνεται στην ιαπωνική τέχνη, όπως στους πίνακες του Ukiyo-e Torii Kiyonaga (1752-1815).Η χρυσή τομή (περίπου ίση με 1,618) ήταν γνωστή στον Ευκλείδη. Η χρυσή τομή επιβεβαιώνεται συνεχώς στη σύγχρονη εποχή, που χρησιμοποιείται στην τέχνη και την αρχιτεκτονική από τους αρχαίους στην Αίγυπτο, την Ελλάδα και αλλού, χωρίς αξιόπιστα στοιχεία. Ο ισχυρισμός μπορεί να προκύψει από σύγχυση με τη «χρυσή τομή», η οποία για τους αρχαίους Έλληνες σήμαινε «αποφυγή της υπερβολής προς κάθε κατεύθυνση» και όχι αναλογία. Οι πυραμιδολόγοι έχουν διαφωνήσει από τον δέκατο ένατο αιώνα σχετικά με την αμφισβητήσιμη μαθηματική βάση για τη χρυσή τομή στο σχεδιασμό των πυραμίδων. Παρθενώνας, ναός 5ου αιώνα π.Χ στην Αθήνα λέγεται ότι χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή στην πρόσοψη και την κάτοψή του, αλλά και αυτοί οι ισχυρισμοί διαψεύδονται από τις μετρήσεις. Ομοίως, το Μεγάλο Τζαμί του Καϊρουάν στην Τυνησία χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή στο σχεδιασμό του, αλλά η αναλογία δεν εμφανίζεται στα αρχικά μέρη του τζαμιού. Ο ιστορικός αρχιτεκτονικής Frederic Macody Lund υποστήριξε το 1919 ότι ο καθεδρικός ναός της Chartres (12ος αιώνας), η Notre Dame of Laon (1157-1205) και η Notre Dame de Paris (1160) σχεδιάστηκαν σύμφωνα με τη χρυσή τομή, για να κάνουν τη δουλειά του. Άλλοι μελετητές υποστηρίζουν ότι πριν από το έργο του Pacioli το 1509, η χρυσή τομή ήταν άγνωστη στους καλλιτέχνες και τους αρχιτέκτονες. Για παράδειγμα, το ύψος και το πλάτος της πρόσοψης της Notre Dame Laon έχουν αναλογία 8/5 ή 1,6, όχι 1,618. Τέτοιοι λόγοι Fibonacci γίνονται γρήγορα δύσκολο να διακριθούν από τη χρυσή αναλογία. Μετά τον Πατσιόλι, η χρυσή τομή είναι πιο σίγουρα ορατή σε έργα όπως η Μόνα Λίζα του Λεονάρντο. ) έχει σχεδιαστεί σύμφωνα με τη χρυσή τομή, κάντε το σημαντικό. Άλλοι μελετητές υποστηρίζουν ότι πριν από το έργο του Pacioli το 1509, η χρυσή τομή ήταν άγνωστη στους καλλιτέχνες και τους αρχιτέκτονες. Για παράδειγμα, το ύψος και το πλάτος της πρόσοψης της Notre Dame Laon έχουν αναλογία 8/5 ή 1,6, όχι 1,618. Τέτοιοι λόγοι Fibonacci γίνονται γρήγορα δύσκολο να διακριθούν από τη χρυσή αναλογία. Μετά τον Πατσιόλι, η χρυσή τομή είναι πιο σίγουρα ορατή σε έργα όπως η Μόνα Λίζα του Λεονάρντο. ) έχει σχεδιαστεί σύμφωνα με τη χρυσή τομή, κάντε το σημαντικό. Άλλοι μελετητές υποστηρίζουν ότι πριν από το έργο του Pacioli το 1509, η χρυσή τομή ήταν άγνωστη στους καλλιτέχνες και τους αρχιτέκτονες. Για παράδειγμα, το ύψος και το πλάτος της πρόσοψης της Notre Dame Laon έχουν αναλογία 8/5 ή 1,6, όχι 1,618. Τέτοιοι λόγοι Fibonacci γίνονται γρήγορα δύσκολο να διακριθούν από τη χρυσή αναλογία. Μετά τον Πατσιόλι, η χρυσή τομή είναι πιο σίγουρα ορατή σε έργα όπως η Μόνα Λίζα του Λεονάρντο.Μια άλλη αναλογία, ο μόνος άλλος μορφικός αριθμός, ονομάστηκε πλαστικός αριθμός το 1928 από τον Ολλανδό αρχιτέκτονα Hans van der Laan (αρχικά ονομαζόταν le nombre radiant στα γαλλικά). Η τιμή του είναι λύση στην κυβική εξίσωσηΟι συμμετρίες σε επίπεδο έχουν χρησιμοποιηθεί για χιλιάδες χρόνια σε έργα όπως χαλιά, πέργκολα, υφάσματα και κεραμίδια.Πολλά παραδοσιακά χαλιά, είτε είναι χαλιά είτε επίπεδα κιλίμια, χωρίζονται σε ένα κεντρικό πεδίο και ένα πλαίσιο. Και τα δύο μπορεί να έχουν συμμετρίες, αν και στα χαλιά χειρός συχνά σπάνε ελαφρά από μικρές λεπτομέρειες, παραλλαγές σχεδίων και αλλαγές στο χρώμα που εισάγει η υφαντή. Στα κιλίμια από την Ανατολία, τα μοτίβα που χρησιμοποιούνται είναι συνήθως συμμετρικά. Συνήθως υπάρχει επίσης μια γενική διάταξη, με στοιχεία όπως ρίγες, ρίγες διάσπαρτες με σειρές μοτίβων και συσσωρευμένες σειρές από περίπου εξαγωνικά μοτίβα. Το πεδίο είναι συνήθως τοποθετημένο ως ταπετσαρία με μια ομάδα ταπετσαρίας όπως pmm, ενώ το περίγραμμα μπορεί να είναι σχεδιασμένο ως ζωφόρος μιας ομάδας ζωφόρου pm11, pmm2 ή pma2. Τα τουρκικά και τα κιλίμια της Κεντρικής Ασίας έχουν συχνά τρία ή περισσότερα σύνορα σε διαφορετικές ομάδες ζωφόρου. Οι υφάντριες, βέβαια, είχαν την πρόθεση της συμμετρίας, χωρίς ρητή γνώση των μαθηματικών τους. Ο μαθηματικός και θεωρητικός της αρχιτεκτονικής Νίκος Σαλίγκαρος προτείνει ότι η «ισχυρή παρουσία» (αισθητικό αποτέλεσμα) του «μεγάλου χαλιού», όπως τα καλύτερα χαλιά μενταγιόν Konya του 17ου αιώνα, βασίζεται σε μαθηματικές μεθόδους που συνδέονται με τις θεωρίες του αρχιτέκτονα Christopher Alexander. . Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν τη δημιουργία ενός ζεύγους αντιθέτων. αντίθετες τιμές χρώματος. διαφοροποίηση των περιοχών γεωμετρικά, χρησιμοποιώντας συμπληρωματικά σχήματα ή εξισορρόπηση της κατευθυντικότητας των αιχμηρών γωνιών. Παρέχει χαμηλή πολυπλοκότητα (από το επίπεδο κόμβου και πάνω) και συμμετρία μικρής και μεγάλης κλίμακας. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι "όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες" και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες. ότι η «ισχυρή παρουσία» (αισθητικό αποτέλεσμα) του «μεγάλου χαλιού», όπως τα ωραιότερα χαλιά δύο μετάλλων του Ικόνιου τον 17ο αιώνα, βασίζεται σε μαθηματικές μεθόδους που συνδέονται με τις θεωρίες του αρχιτέκτονα Christopher Alexander. Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν τη δημιουργία ενός ζεύγους αντιθέτων. αντίθετες τιμές χρώματος. διαφοροποίηση των περιοχών γεωμετρικά, χρησιμοποιώντας συμπληρωματικά σχήματα ή εξισορρόπηση της κατευθυντικότητας των αιχμηρών γωνιών. Παρέχει χαμηλή πολυπλοκότητα (από το επίπεδο κόμβου και πάνω) και συμμετρία μικρής και μεγάλης κλίμακας. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι "όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες" και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες. ότι η «ισχυρή παρουσία» (αισθητικό αποτέλεσμα) του «μεγάλου χαλιού», όπως τα ωραιότερα χαλιά δύο μετάλλων του Ικόνιου τον 17ο αιώνα, βασίζεται σε μαθηματικές μεθόδους που συνδέονται με τις θεωρίες του αρχιτέκτονα Christopher Alexander. Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν τη δημιουργία ενός ζεύγους αντιθέτων. αντίθετες τιμές χρώματος. διαφοροποίηση των περιοχών γεωμετρικά, χρησιμοποιώντας συμπληρωματικά σχήματα ή εξισορρόπηση της κατευθυντικότητας των αιχμηρών γωνιών. Παρέχει χαμηλή πολυπλοκότητα (από το επίπεδο κόμβου και πάνω) και συμμετρία μικρής και μεγάλης κλίμακας. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι "όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες" και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες. τα καλύτερα χαλιά από δύο μετάλλια Ικόνιου του 17ου αιώνα, βασισμένα σε μαθηματικές μεθόδους που σχετίζονται με τις θεωρίες του αρχιτέκτονα Christopher Alexander. Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν τη δημιουργία ενός ζεύγους αντιθέτων. αντίθετες τιμές χρώματος. διαφοροποίηση των περιοχών γεωμετρικά, χρησιμοποιώντας συμπληρωματικά σχήματα ή εξισορρόπηση της κατευθυντικότητας των αιχμηρών γωνιών. Παρέχει χαμηλή πολυπλοκότητα (από το επίπεδο κόμβου και πάνω) και συμμετρία μικρής και μεγάλης κλίμακας. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι "όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες" και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες. τα καλύτερα χαλιά από δύο μετάλλια Ικόνιου του 17ου αιώνα, βασισμένα σε μαθηματικές μεθόδους που σχετίζονται με τις θεωρίες του αρχιτέκτονα Christopher Alexander. Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν τη δημιουργία ενός ζεύγους αντιθέτων. αντίθετες τιμές χρώματος. διαφοροποίηση των περιοχών γεωμετρικά, χρησιμοποιώντας συμπληρωματικά σχήματα ή εξισορρόπηση της κατευθυντικότητας των αιχμηρών γωνιών. Παρέχει χαμηλή πολυπλοκότητα (από το επίπεδο κόμβου και πάνω) και συμμετρία μικρής και μεγάλης κλίμακας. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι "όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες" και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες. Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν τη δημιουργία ενός ζεύγους αντιθέτων. αντίθετες τιμές χρώματος. διαφοροποίηση των περιοχών γεωμετρικά, χρησιμοποιώντας συμπληρωματικά σχήματα ή εξισορρόπηση της κατευθυντικότητας των αιχμηρών γωνιών. Παρέχει χαμηλή πολυπλοκότητα (από το επίπεδο κόμβου και πάνω) και συμμετρία μικρής και μεγάλης κλίμακας. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι "όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες" και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες. Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν τη δημιουργία ενός ζεύγους αντιθέτων. αντίθετες τιμές χρώματος. διαφοροποίηση των περιοχών γεωμετρικά, χρησιμοποιώντας συμπληρωματικά σχήματα ή εξισορρόπηση της κατευθυντικότητας των αιχμηρών γωνιών. Παρέχει χαμηλή πολυπλοκότητα (από το επίπεδο κόμβου και πάνω) και συμμετρία μικρής και μεγάλης κλίμακας. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι "όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες" και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι "όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες" και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες. επαναλαμβανόμενα στοιχεία σε μια ιεραρχία διαφορετικών κλιμάκων (με αναλογία περίπου 2,7 από κάθε επίπεδο σε άλλο). Ο Salingaros ισχυρίζεται ότι «όλα τα επιτυχημένα χαλιά ικανοποιούν τουλάχιστον εννέα στους δέκα κανόνες» και προτείνει ότι θα μπορούσε να δημιουργηθεί μια μέτρηση από αυτούς τους κανόνες.Οι περίτεχνες σχάρες που βρέθηκαν στο ινδικό έργο Jaali σκαλισμένες σε μάρμαρο για να κοσμούν τάφους και παλάτια. Κινεζικά πλέγματα, πάντα με κάποια συμμετρία, υπάρχουν σε 14 από τις 17 ομάδες ταπετσαριών. έχουν συχνά κάτοπτρο, διπλό κάτοπτρο ή περιστροφική συμμετρία. Κάποια έχουν κεντρικό μετάλλιο και άλλα έχουν περίγραμμα στην ομάδα της ζωφόρου. Πολλά κινεζικά πλέγματα έχουν αναλυθεί μαθηματικά από τον Daniel S. Handsome. προσδιορίζει το Σιτσουάν ως το κέντρο της τέχνης.Συμμετρίες παρατηρούνται στις τέχνες της κλωστοϋφαντουργίας, συμπεριλαμβανομένου του καπιτονέ, του πλεξίματος, του κεντήματος, του κροσέ, του κεντήματος και της ύφανσης, όπου μπορεί να είναι καθαρά διακοσμητικές ή μπορεί να είναι σημάδια θέσης. Η περιστροφική συμμετρία βρίσκεται σε κυκλικές κατασκευές όπως οι θόλοι. μερικές φορές είναι περίτεχνα διακοσμημένα με συμμετρικά σχέδια μέσα και έξω, όπως στο τέμενος Sheikh Lotfoll του 1619 στο Ισφαχάν. Τα κεντήματα και οι δουλειές με δαντέλα, όπως τραπεζομάντιλα και επιτραπέζια χαλάκια που γίνονται με μασούρια ή τατουάζ, μπορούν να έχουν ένα ευρύ φάσμα συμμετριών καθρέφτη και περιστροφής που μελετώνται μαθηματικά.Η ισλαμική τέχνη χρησιμοποιεί συμμετρίες σε πολλές από τις τέχνες της, ειδικά στα πλακάκια girih. Σχηματίζονται χρησιμοποιώντας ένα σύνολο πέντε σχημάτων πλακιδίων, δηλαδή κανονικό δεκάγωνο, επίμηκες εξάγωνο, παπιγιόν, ρόμβος και κανονικό πεντάγωνο. Όλες οι πλευρές αυτών των πλακιδίων έχουν το ίδιο μήκος. και όλες οι γωνίες τους είναι πολλαπλάσια των 36° (π/5 ακτίνια), υποδηλώνοντας πενταπλάσιες και δεκαπλάσιες συμμετρίες. Τα πλακάκια είναι διακοσμημένα με γραμμές κορδέλας (βαρίδια), συνήθως πιο εμφανή από τα περιγράμματα των πλακιδίων. Το 2007, οι φυσικοί Peter Lu και Paul Steinhardt υποστήριξαν ότι τα βάρη ήταν παρόμοια με τα σχεδόν κρυσταλλικά πυρόμετρα Penrose. Σχεδιάστε γεωμετρικά πλακάκια στέγης Zellige, ένα χαρακτηριστικό στοιχείο στη μαροκινή αρχιτεκτονική. Οι φέτες Muqarnas είναι τρισδιάστατες, αλλά σχεδιάστηκαν σε δύο διαστάσεις με γεωμετρικά μοτίβα κελιών.Τα πλατωνικά στερεά και άλλα πολύεδρα είναι ένα επαναλαμβανόμενο θέμα στη δυτική τέχνη. Βρίσκονται, για παράδειγμα, σε ένα μαρμάρινο μωσαϊκό που απεικονίζει ένα μικρό γκρίζο δωδεκάεδρο, που αποδίδεται στον Paolo Uccello, στο πάτωμα στη Βασιλική του Αγίου Μάρκου στη Βενετία. στα διαγράμματα του Leonardo da Vinci για τα κανονικά πολύεδρα που σχεδιάστηκαν ως εικονογραφήσεις για το βιβλίο του Luca Pacioli του 1509 Divine Proportion. ως ο γυάλινος ρόμβος-οκτάεδρο στο πορτρέτο του Pacoli του Jacopo de Barbari, ζωγραφισμένο το 1495. σε ένα κολοβωμένο πολύεδρο (και διάφορα άλλα μαθηματικά αντικείμενα) σε ένα χαρακτικό του Albrecht Dürer Melencolius I. και στον Μυστικό Δείπνο του Σαλβαδόρ Νταλί, όπου ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο.Ο Albrecht Dürer (1471-1528) ήταν ένας Γερμανός χαράκτης της Αναγέννησης που συνέβαλε σημαντικά στην πολυεδρική λογοτεχνία στο βιβλίο του "Underweysung der Messung" ("Εκπαίδευση με Μέτρηση") το 1525, με σκοπό να διδάξει τα θέματα της γραμμικής προοπτικής, της γεωμετρίας στην αρχιτεκτονική. Πλατωνικά στερεά σώματα και κανονικά πολύγωνα. Ο Dürer πιθανότατα επηρεάστηκε από το έργο των Luca Pacioli και Piero della Francesca κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του στην Ιταλία. Αν και τα παραδείγματα προοπτικής στο Underweysung der Messung είναι υπανάπτυκτα και ανακριβή, υπάρχει μια λεπτομερής συζήτηση για τα πολύεδρα. Ο Dürer ήταν επίσης ο πρώτος που εισήγαγε στο κείμενο την ιδέα των πολυεδρικών ματιών, των πολυεδρών που ξετυλίγονταν για να απλωθούν για εκτύπωση. Ο Dürer δημοσίευσε ένα άλλο σημαντικό βιβλίο για τις ανθρώπινες αναλογίες που ονομάζεται Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Τέσσερα βιβλία για την ανθρώπινη ανάπτυξη) το 1528.Η διάσημη γκραβούρα του Dürer του Μελενκόλιου Α' απεικονίζει έναν απογοητευμένο στοχαστή καθισμένο με ένα κολοβωμένο τριγωνικό τραπεζόεδρο και ένα μαγικό τετράγωνο. Αυτά τα δύο αντικείμενα, και γενικά η γκραβούρα, έχουν αποτελέσει αντικείμενο πιο σύγχρονης ερμηνείας από το περιεχόμενο σχεδόν κάθε άλλης εκτύπωσης, συμπεριλαμβανομένου του δίτομου βιβλίου του Peter-Klaus Schuster και της σημαντικής συζήτησης στη μονογραφία Dürer του Erwen Panofsky. , Το Corpus Hypercubus του Salvador Dalí απεικονίζει ένα ξεδιπλωμένο τρισδιάστατο πλέγμα για τον υπερκύβο, έναν τετραδιάστατο κανονικό πολύτοπο.Τα παραδοσιακά ινδονησιακά σχέδια κεριού μπατίκ σε υφάσματα συνδυάζουν αντιπροσωπευτικά μοτίβα (όπως λουλουδάτα και βοτανικά στοιχεία) με αφηρημένα και κάπως χαοτικά στοιχεία, συμπεριλαμβανομένης της ανακρίβειας της εφαρμογής κεριού αντίστασης και της τυχαίας παραλλαγής που εμφανίζεται όταν το κερί ραγίζει. Τα σχέδια μπατίκ έχουν μέγεθος φράκταλ από 1 έως 2, που ποικίλλει σε διαφορετικά τοπικά στυλ. Για παράδειγμα, το μπατίκ Cirebon έχει μέγεθος φράκταλ 1,1. Τα μπατίκ της Yogyakarta και της Surakarta (Solo) στην Κεντρική Ιάβα έχουν μέγεθος φράκταλ από 1,2 έως 1,5. και το batik Lasem στη βόρεια ακτή της Java και το Tasikmalai στη Δυτική Ιάβα έχουν μέγεθος φράκταλ 1,5 έως 1,7.Τα έργα Dropper του σύγχρονου καλλιτέχνη Jackson Pollock διαφέρουν παρομοίως στη διάσταση του φράκταλ. Ο αριθμός 14 του 1948 έχει μέγεθος ακτογραμμής 1,45 και οι μεταγενέστεροι πίνακές του είχαν υψηλότερα μεγέθη φράκταλ και αντίστοιχα πιο σύνθετα σχέδια. Ένα από τα τελευταία του έργα, το Blue Poles, χρειάστηκε μισό χρόνο για να δημιουργηθεί και έχει φράκταλ διάσταση 1,72.

Η περίπλοκη σχέση μεταξύ μαθηματικών και τέχνης:
Ο αστρονόμος Galileo Galilei, στο Ilya Sagiatore, έγραψε ότι «το σύμπαν είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών και οι χαρακτήρες του είναι τρίγωνα, κύκλοι και άλλα γεωμετρικά σχήματα». Οι καλλιτέχνες που φιλοδοξούν και αγωνίζονται να μελετήσουν τη φύση πρέπει πρώτα, σύμφωνα με τον Galileo, να κατανοήσουν πλήρως τα μαθηματικά. Οι μαθηματικοί, αντίθετα, προσπάθησαν να ερμηνεύσουν και να αναλύσουν την τέχνη μέσα από το πρίσμα της γεωμετρίας και του ορθολογισμού. Ο μαθηματικός Felipe Cuker προτείνει ότι τα μαθηματικά, και ιδιαίτερα η γεωμετρία, είναι η πηγή κανόνων για την «καλλιτεχνική δημιουργία με γνώμονα τους κανόνες», αν και όχι η μοναδική. Παρακάτω είναι μερικά από τα πολλά σκέλη της προκύπτουσας πολύπλοκης σχέσης.

Ο μαθηματικός Jerry P. King περιγράφει τα μαθηματικά ως τέχνη, δηλώνοντας ότι «τα κλειδιά για τα μαθηματικά είναι η ομορφιά και η κομψότητα, όχι η βαρετή και η τεχνικότητα» και αυτή η ομορφιά είναι μια κινητήρια δύναμη για τη μαθηματική έρευνα. Ο King παραθέτει μια εργασία του 1940 του μαθηματικού G. H. Hardy, «Apology of a Mathematician». Σε αυτό, ο Χάρντι συζητά γιατί βρίσκει δύο θεωρήματα των κλασικών χρόνων ως πρώτη ταχύτητα, δηλαδή την απόδειξη του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί και η απόδειξη ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι παράλογη. Ο King το βαθμολογεί τελευταίο με βάση τα κριτήρια του Hardy για τη μαθηματική κομψότητα: «σοβαρότητα, βάθος, γενικότητα, έκπληξη, αναπόφευκτο και οικονομία» (πλάγια γράμματα του King) και περιγράφει την απόδειξη ως «αισθητικά ευχάριστη». Ο Ούγγρος μαθηματικός Paul Erdyus συμφώνησε ότι τα μαθηματικά έχουν ομορφιά, αλλά εξετάζει τους λόγους, υποκείμενο: «Γιατί οι αριθμοί είναι υπέροχοι; Είναι σαν να ρωτάς γιατί η όμορφη ένατη συμφωνία του Μπετόβεν είναι όμορφη. Αν δεν καταλαβαίνεις γιατί, κανείς δεν μπορεί να σου πει. τα νούμερα είναι όμορφα».Τα μαθηματικά μπορούν να διακριθούν σε πολλές τέχνες όπως η μουσική, ο χορός, η ζωγραφική, η αρχιτεκτονική και η γλυπτική. Κάθε ένα από αυτά έχει πλούσια σχέση με τα μαθηματικά. Μεταξύ των συνδέσμων με τις εικαστικές τέχνες, τα μαθηματικά μπορούν να παρέχουν εργαλεία για τους καλλιτέχνες, όπως τους κανόνες της γραμμικής προοπτικής όπως περιγράφονται από τους Brook Taylor και Johann Lambert, ή τις μεθόδους περιγραφικής γεωμετρίας που εφαρμόζονται τώρα στη μοντελοποίηση στερεών από λογισμικό, που αποδίδονται στον Albrecht Dürer και Gaspard Monge. Καλλιτέχνες από τον Luca Pacioli τον Μεσαίωνα και τους Leonardo da Vinci και Albrecht Dürer στην Αναγέννηση χρησιμοποίησαν και ανέπτυξαν μαθηματικές ιδέες αναζητώντας το καλλιτεχνικό τους έργο. Η χρήση της προοπτικής ξεκίνησε, παρά κάποιες εμβρυϊκές πρακτικές στην αρχαία ελληνική αρχιτεκτονική, με Ιταλούς καλλιτέχνες όπως ο Τζιότο τον δέκατο τρίτο αιώνα. τέτοιους κανόνες, ως σημείο εξαφάνισης, διατυπώθηκαν για πρώτη φορά από τον Brunelleschi γύρω στο 1413, η θεωρία του επηρέασε τον Leonardo και τον Dürer. Το έργο του Ισαάκ Νεύτωνα για το οπτικό φάσμα επηρέασε τη χρωματική θεωρία του Γκαίτε και, με τη σειρά του, καλλιτέχνες όπως ο Philipp Otto Runge, ο J. M. W. Turner, οι Pre-Raphaelites και ο Wassily Kandinsky. Οι καλλιτέχνες μπορούν επίσης να επιλέξουν να αναλύσουν τη συμμετρία της σκηνής. Τα εργαλεία μπορούν να εφαρμοστούν από μαθηματικούς σπουδαστές τέχνης ή καλλιτέχνες εμπνευσμένους από τα μαθηματικά όπως ο MC Escher (εμπνευσμένος από τον HSM Coxeter) και ο αρχιτέκτονας Frank Gehry, ο οποίος υποστήριξε με μεγαλύτερη ανεκτικότητα ότι ο σχεδιασμός με τη βοήθεια υπολογιστή του επέτρεπε να εκφραστεί με έναν εντελώς νέο τρόπο. με τη σειρά τους, καλλιτέχνες όπως ο Philip Otto Runge, ο J. M. W. Turner, οι Pre-Raphaelites και ο Wassily Kandinsky. Οι καλλιτέχνες μπορούν επίσης να επιλέξουν να αναλύσουν τη συμμετρία της σκηνής. Τα εργαλεία μπορούν να εφαρμοστούν από μαθηματικούς σπουδαστές τέχνης ή καλλιτέχνες εμπνευσμένους από τα μαθηματικά όπως ο MC Escher (εμπνευσμένος από τον HSM Coxeter) και ο αρχιτέκτονας Frank Gehry, ο οποίος υποστήριξε με μεγαλύτερη ανεκτικότητα ότι ο σχεδιασμός με τη βοήθεια υπολογιστή του επέτρεπε να εκφραστεί με έναν εντελώς νέο τρόπο. με τη σειρά τους, καλλιτέχνες όπως ο Philip Otto Runge, ο J. M. W. Turner, οι Pre-Raphaelites και ο Wassily Kandinsky. Οι καλλιτέχνες μπορούν επίσης να επιλέξουν να αναλύσουν τη συμμετρία της σκηνής. Τα εργαλεία μπορούν να εφαρμοστούν από μαθηματικούς σπουδαστές τέχνης ή καλλιτέχνες εμπνευσμένους από τα μαθηματικά όπως ο MC Escher (εμπνευσμένος από τον HSM Coxeter) και ο αρχιτέκτονας Frank Gehry, ο οποίος υποστήριξε με μεγαλύτερη ανεκτικότητα ότι ο σχεδιασμός με τη βοήθεια υπολογιστή του επέτρεπε να εκφραστεί με έναν εντελώς νέο τρόπο.Ο καλλιτέχνης Ρίτσαρντ Ράιτ υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα που μπορούν να κατασκευαστούν μπορούν να θεωρηθούν είτε «ως διαδικασίες για τη μοντελοποίηση φαινομένων» είτε ως έργα «τέχνης υπολογιστών». Θεωρεί τη φύση της μαθηματικής σκέψης, παρατηρώντας ότι τα φράκταλ ήταν γνωστά στους μαθηματικούς εδώ και έναν αιώνα πριν αναγνωριστούν ως τέτοια. Ο Ράιτ καταλήγει δηλώνοντας ότι είναι σκόπιμο να υποβάλλονται τα μαθηματικά αντικείμενα σε όποιες μεθόδους χρησιμοποιούνται για να «συμβιβαστούν με πολιτιστικά τεχνουργήματα όπως η τέχνη, η ένταση μεταξύ αντικειμενικότητας και υποκειμενικότητας, οι μεταφορικές τους έννοιες και η φύση των αναπαραστατικών συστημάτων». Δίνει ως παράδειγμα μια εικόνα από το σύνολο Mandelbrot, μια εικόνα που δημιουργείται από έναν αλγόριθμο κυψελωτού αυτόματου και μια εικόνα που δημιουργείται από έναν υπολογιστή, και συζητά με αναφορά στη δοκιμή Turing, μπορεί τα αλγοριθμικά έργα να είναι τέχνη. Μαθηματικά και Τέχνη Ο Sasho Kalaijievski: An Introduction to Visual Mathematics υιοθετεί μια παρόμοια προσέγγιση, αντιμετωπίζοντας θέματα οπτικών μαθηματικών όπως τα tilings, τα fractals και η υπερβολική γεωμετρία, αντίστοιχα.Μερικά από τα πρώτα έργα τέχνης υπολογιστών δημιουργήθηκαν από το "Roughing Machine 1" του Desmond Paul Henry, μια αναλογική μηχανή που βασίζεται σε έναν υπολογιστή βομβιστικής παρακολούθησης και εκτέθηκε το 1962. Το μηχάνημα είναι ικανό να δημιουργεί περίπλοκα, αφηρημένα, ασύμμετρα, καμπυλόγραμμα, αλλά επαναλαμβανόμενα γραμμικά σχέδια. Πιο πρόσφατα, ο Hamid Naderi Yegane δημιούργησε μορφές που υποδηλώνουν αντικείμενα του πραγματικού κόσμου, όπως ψάρια και πουλιά, χρησιμοποιώντας τύπους που αλλάζουν διαδοχικά για να σχεδιάσουν οικογένειες καμπυλών ή γωνιακές γραμμές. Καλλιτέχνες όπως ο Mikael Hviddfeldt Christensen δημιουργούν έργα γενετικής ή αλγοριθμικής τέχνης γράφοντας σενάρια για ένα σύστημα λογισμικού όπως το Structure Synth: ο καλλιτέχνης κατευθύνει αποτελεσματικά το σύστημα να εφαρμόσει τον επιθυμητό συνδυασμό μαθηματικών πράξεων σε ένα επιλεγμένο σύνολο δεδομένων.Η Επιστήμη και η Υπόθεση του μαθηματικού και θεωρητικού φυσικού Henri Poincare διαβάστηκε ευρέως από κυβιστές, συμπεριλαμβανομένων των Pablo Picasso και Jean Metzinger. Ο Πουανκαρέ θεωρούσε την Ευκλείδεια γεωμετρία ως μία από τις πολλές πιθανές γεωμετρικές διαμορφώσεις, όχι ως απόλυτη αντικειμενική αλήθεια. Η πιθανή ύπαρξη μιας τέταρτης διάστασης ενέπνευσε τους καλλιτέχνες να αμφισβητήσουν την κλασική αναγεννησιακή προοπτική: η μη ευκλείδεια γεωμετρία έγινε μια έγκυρη εναλλακτική λύση. Η αντίληψη ότι η ζωγραφική μπορούσε να εκφραστεί μαθηματικά, με χρώμα και μορφή, συνέβαλε στον κυβισμό, το κίνημα της τέχνης που οδήγησε στην αφηρημένη τέχνη. Ο Metzinger έγραψε το 1910 ότι: «[Ο Πικάσο] εκθέτει την οπτική γωνία της ελεύθερης κινητής τηλεφωνίας από την οποία αυτός ο έξυπνος μαθηματικός Μορίς Πρινς άντλησε όλη τη γεωμετρία». Ο Metzinger έγραψε αργότερα στα απομνημονεύματά του:Ο Maurice Prince έχει έρθει συχνά μαζί μας… ένας καλλιτέχνης, ως καλλιτέχνης, αντιλήφθηκε τα μαθηματικά ως αισθητική, στην οποία χρησιμοποίησε συνεχείς διαστάσεων n. Του άρεσε να εμπλέκει καλλιτέχνες στις νέες απόψεις του σύμπαντος που είχαν ανακαλύψει ο Schlegel και μερικοί άλλοι. Τα κατάφερε.Η παρόρμηση για τη δημιουργία εκπαιδευτικών ή ερευνητικών μοντέλων μαθηματικών μορφών δημιουργεί φυσικά αντικείμενα που έχουν συμμετρίες και εκπληκτικά ή ευχάριστα σχήματα. Μερικοί από αυτούς ενέπνευσαν καλλιτέχνες όπως οι Ντανταϊστές Man Ray, Marcel Duchamp και Max Ernst, και μετά τον Man Ray, ο Hiroshi Sugimoto.Ο Man Ray φωτογράφισε μερικά από τα μαθηματικά μοντέλα στο Ινστιτούτο Henri Poincaré στο Παρίσι, συμπεριλαμβανομένου του Objet mathematicque (Μαθηματικό Αντικείμενο). Σημείωσε ότι αυτές ήταν επιφάνειες Enneper με σταθερή αρνητική καμπυλότητα που προέρχεται από μια ψευδόσφαιρα. Αυτή η μαθηματική βάση ήταν σημαντική για αυτόν, καθώς του επέτρεπε να αρνηθεί ότι το αντικείμενο ήταν «αφηρημένο», αντί να ισχυριστεί ότι ήταν τόσο πραγματικό όσο το ουρητήριο που είχε κάνει ο Ντυσάν έργο τέχνης. Ο άντρας Ρέι παραδέχτηκε ότι η φόρμουλα [επιφάνεια Enneper] του αντικειμένου δεν σήμαινε τίποτα για μένα, αλλά τα ίδια τα σχήματα ήταν τόσο ποικίλα και αυθεντικά όσο όλα στη φύση». Χρησιμοποίησε τις φωτογραφίες του από μαθηματικά μοντέλα ως φιγούρες στη σειρά του που έκανε σε έργα του Σαίξπηρ, όπως ο πίνακας του Antony and Cleopatra το 1934. Ο δημοσιογράφος Jonathan Keats, γράφοντας στο ForbesLife, ισχυρίζεται ότι ο Man Ray έχει φωτογραφίσει «ελλειπτικά παραβολοειδή και κωνικά σημεία με το ίδιο αισθησιακό φως με τις φωτογραφίες του της Kiki de Montparnasse» και «επισκέπτεται εφευρετικά τους απότομους μαθηματικούς υπολογισμούς για να αποκαλύψει την τοπολογία της επιθυμίας». Γλύπτες του 20ου αιώνα όπως ο Henry Moore, η Barbara Hepworth και ο Nahum Gabo εμπνεύστηκαν από μαθηματικά μοντέλα. Ο Μουρ έγραψε για τη μητέρα και το παιδί του με έγχορδα το 1938: «Αναμφίβολα η πηγή των εγχόρδων μου ήταν το Μουσείο Επιστημών... Με γοήτευσαν τα μαθηματικά μοντέλα που είδα εκεί... Δεν ήταν μια επιστημονική μελέτη αυτών των μοντέλων, αλλά ικανότητα να βλέπω μέσα από τις χορδές, όπως με το κλουβί πουλιών, και να βλέπω μια μορφή μέσα σε μια άλλη που με άναψε». ότι ο Man Ray έχει φωτογραφίσει "ελλειπτικά παραβολοειδή και κωνικά σημεία με το ίδιο αισθησιακό φως με τις φωτογραφίες του από την Kiki de Montparnasse" και "επισκέπτεται ξανά εφευρετικά τους απότομους υπολογισμούς των μαθηματικών για να αναδείξει την τοπολογία της επιθυμίας". Γλύπτες του 20ου αιώνα όπως ο Henry Moore, η Barbara Hepworth και ο Nahum Gabo εμπνεύστηκαν από μαθηματικά μοντέλα. Ο Μουρ έγραψε για τη μητέρα και το παιδί του με έγχορδα το 1938: «Αναμφίβολα η πηγή των εγχόρδων μου ήταν το Μουσείο Επιστημών... Με γοήτευσαν τα μαθηματικά μοντέλα που είδα εκεί... Δεν ήταν μια επιστημονική μελέτη αυτών των μοντέλων, αλλά ικανότητα να βλέπω μέσα από τις χορδές, όπως με το κλουβί πουλιών, και να βλέπω μια μορφή μέσα σε μια άλλη που με άναψε». ότι ο Man Ray έχει φωτογραφίσει "ελλειπτικά παραβολοειδή και κωνικά σημεία με το ίδιο αισθησιακό φως με τις φωτογραφίες του από την Kiki de Montparnasse" και "επισκέπτεται ξανά εφευρετικά τους απότομους υπολογισμούς των μαθηματικών για να αναδείξει την τοπολογία της επιθυμίας". Γλύπτες του 20ου αιώνα όπως ο Henry Moore, η Barbara Hepworth και ο Nahum Gabo εμπνεύστηκαν από μαθηματικά μοντέλα. Ο Μουρ έγραψε για τη μητέρα και το παιδί του με έγχορδα το 1938: «Αναμφίβολα η πηγή των εγχόρδων μου ήταν το Μουσείο Επιστημών... Με γοήτευσαν τα μαθηματικά μοντέλα που είδα εκεί... Δεν ήταν μια επιστημονική μελέτη αυτών των μοντέλων, αλλά ικανότητα να βλέπω μέσα από τις χορδές, όπως με το κλουβί πουλιών, και να βλέπω μια μορφή μέσα σε μια άλλη που με άναψε». και «επισκέπτεται ξανά εφευρετικά τους απότομους υπολογισμούς των μαθηματικών για να αποκαλύψει την τοπολογία της επιθυμίας». Γλύπτες του 20ου αιώνα όπως ο Henry Moore, η Barbara Hepworth και ο Nahum Gabo εμπνεύστηκαν από μαθηματικά μοντέλα. Ο Μουρ έγραψε για τη μητέρα και το παιδί του με έγχορδα το 1938: «Αναμφίβολα η πηγή των εγχόρδων μου ήταν το Μουσείο Επιστημών... Με γοήτευσαν τα μαθηματικά μοντέλα που είδα εκεί... Δεν ήταν μια επιστημονική μελέτη αυτών των μοντέλων, αλλά ικανότητα να βλέπω μέσα από τις χορδές, όπως με το κλουβί πουλιών, και να βλέπω μια μορφή μέσα σε μια άλλη που με άναψε». και «επισκέπτεται ξανά εφευρετικά τους απότομους υπολογισμούς των μαθηματικών για να αποκαλύψει την τοπολογία της επιθυμίας». Γλύπτες του 20ου αιώνα όπως ο Henry Moore, η Barbara Hepworth και ο Nahum Gabo εμπνεύστηκαν από μαθηματικά μοντέλα. Ο Μουρ έγραψε για τη μητέρα και το παιδί του με έγχορδα το 1938: «Αναμφίβολα η πηγή των εγχόρδων μου ήταν το Μουσείο Επιστημών... Με γοήτευσαν τα μαθηματικά μοντέλα που είδα εκεί... Δεν ήταν μια επιστημονική μελέτη αυτών των μοντέλων, αλλά ικανότητα να βλέπω μέσα από τις χορδές, όπως με το κλουβί πουλιών, και να βλέπω μια μορφή μέσα σε μια άλλη που με άναψε».Οι καλλιτέχνες Theo Van Leesburg και Piet Mondrian ίδρυσαν το κίνημα De Stijl, το οποίο ήθελαν να «δημιουργήσουν ένα οπτικό λεξιλόγιο αποτελούμενο από στοιχειώδη γεωμετρικά σχήματα, κατανοητό σε όλους και προσαρμοστικό σε κάθε πειθαρχία». Πολλά από τα έργα τους αποτελούνται σαφώς από κανονικά τετράγωνα και τρίγωνα, μερικές φορές και με κύκλους. Οι καλλιτέχνες De Stijl έχουν εργαστεί στους τομείς της ζωγραφικής, των επίπλων, της εσωτερικής διακόσμησης και της αρχιτεκτονικής. Μετά την κατάρρευση του De Stijl, ο Van Velburgh ίδρυσε ένα avant-garde καλλιτεχνικό κίνημα περιγράμματος περιγράφοντας την αριθμητική του σύνθεση το 1929-1930, μια σειρά από τέσσερα μαύρα τετράγωνα σε μια διαγώνιο τετράγωνου φόντου, ως «μια δομή που μπορεί να ελεγχθεί, μια καθορισμένη επιφάνεια χωρίς τυχαία στοιχεία, ή ατομική ιδιοτροπία», αλλά «όχι χωρίς πνεύμα, χωρίς το καθολικό, και όχι... άδεια, αφού υπάρχει ό,τι αντιστοιχεί στον εσωτερικό ρυθμό».Τα μαθηματικά της πλάκας, των πολύεδρων, του σχηματισμού χώρου και της αυτοπροβολής παρείχαν στον γραφίστα M. S. Escher (1898-1972) το κόστος ζωής για τις ξυλογραφίες του. Σχεδιάζοντας την Αλάμπρα, ο Έσερ έδειξε ότι η τέχνη μπορούσε να δημιουργηθεί με πολύγωνα ή κανονικά σχήματα όπως τρίγωνα, τετράγωνα και εξάγωνα. Ο Escher χρησιμοποίησε ακανόνιστα πολύγωνα στο επίπεδο με πλακάκια και συχνά χρησιμοποιούσε αντανακλάσεις, αντανακλάσεις επιπέδου ολίσθησης και μεταφράσεις για να αποκτήσει περαιτέρω σχέδια. Πολλά από τα έργα του περιέχουν αδύνατες κατασκευές κατασκευασμένες με γεωμετρικά αντικείμενα που δημιουργούν μια αντίφαση μεταξύ προοπτικής προβολής και τριών διαστάσεων, αλλά είναι ευχάριστες στο ανθρώπινο μάτι. Η άνοδος και η κάθοδος του Escher βασίζεται στην «αδύνατη σκάλα»Μερικά από τα πολλά σχέδια του Escher εμπνεύστηκαν από συνομιλίες με τον μαθηματικό H. S. M. Coxer σχετικά με την υπερβολική γεωμετρία. Ο Έσερ ενδιαφέρθηκε ιδιαίτερα για πέντε συγκεκριμένα πολύεδρα που εμφανίστηκαν πολλές φορές στο έργο του. Τα πλατωνικά στερεά - τετράεδρα, κύβοι, οκτάεδρα, δωδεκάεδρα και εικοσάεδρα είναι ιδιαίτερα αισθητά στην Τάξη και στο Χάος και στα Τέσσερα Κανονικά Ξηρά Στερεά. Αυτές οι μορφές σε σχήμα αστεριού βρίσκονται συχνά μέσα σε μια άλλη φιγούρα, παραμορφώνοντας περαιτέρω τη γωνία θέασης και τη διαμόρφωση των πολύεδρων και παρέχοντας μια πολύπλευρη προοπτική εικόνα.Η οπτική πολυπλοκότητα των μαθηματικών δομών, όπως οι ψηφίδες και τα πολύεδρα, έχει εμπνεύσει πολλά μαθηματικά έργα. Ο Stuart Coffin φτιάχνει πολύπλευρα παζλ σε σπάνια και όμορφα ξύλα. Ο George W. Hart εργάζεται στη θεωρία των πολυεδρών και των γλυπτικών αντικειμένων που εμπνέονται από αυτά. Ο Magnus Wenniner κατασκευάζει «ιδιαίτερα όμορφα» μοντέλα πολύπλοκων αστεριών πολύεδρων.Οι διεστραμμένες προοπτικές της αναμόρφωσης έχουν διερευνηθεί στην τέχνη από τον 16ο αιώνα, όταν ο Χανς Χόλμπαϊν ο Νεότερος συμπεριέλαβε ένα βαριά παραμορφωμένο κρανίο στον πίνακα του Οι Πρεσβευτές του 1553. Πολλοί καλλιτέχνες από τότε, συμπεριλαμβανομένου του Escher, έχουν χρησιμοποιήσει αναμορφικά κόλπα.Τα μαθηματικά της τοπολογίας έχουν εμπνεύσει πολλούς καλλιτέχνες στη σύγχρονη εποχή. Ο γλύπτης John Robinson (1935-2007) δημιούργησε έργα όπως το The Gordian Knot και Friendship Bands επιδεικνύοντας τη θεωρία των κόμβων σε στιλβωμένο μπρούντζο. Το άλλο έργο του Robinson διερευνά την τοπολογία του tori. Η γένεση βασίζεται σε δαχτυλίδια Borromean - ένα σύνολο τριών κύκλων, κανένας από τους δύο συνδέσμους, στους οποίους ολόκληρη η δομή δεν μπορεί να αποσυναρμολογηθεί χωρίς να σπάσει. Ο γλύπτης Helaman Ferguson δημιουργεί πολύπλοκες επιφάνειες και άλλα τοπολογικά αντικείμενα. Τα έργα του είναι οπτικές αναπαραστάσεις μαθηματικών αντικειμένων. Η οκταδική διαδρομή βασίζεται στην προβολική ειδική γραμμική ομάδα PSL(2,7), μια πεπερασμένη ομάδα 168 στοιχείων. Ο γλύπτης Bathsheba Grossman βασίζει επίσης τη δουλειά του σε μαθηματικές δομές.Το ερευνητικό πρόγραμμα Liberal Studies εξετάζει τους δεσμούς μεταξύ των μαθηματικών και της τέχνης μέσω της ταινίας Möbius, της φλεξογραφίας, του origami και της πανοραμικής φωτογραφίας.Μαθηματικά αντικείμενα συμπεριλαμβανομένης της πολλαπλής Lorentz και του υπερβολικού επιπέδου έχουν δημιουργηθεί με τη χρήση τεχνών ινών συμπεριλαμβανομένου του κροσέ. Η Αμερικανίδα υφαντουργός Ada Dietz έγραψε το 1949 τη μονογραφία Algebraic Expressions in Handmade Fabrics, ορίζοντας τα μοτίβα ύφανσης με βάση την επέκταση πολυμεταβλητών πολυωνύμων. Ο μαθηματικός J.P.P. Miller χρησιμοποίησε τον κανόνα 90 κυψελοειδές μηχάνημα για να δημιουργήσει ταπετσαρίες που απεικονίζουν δέντρα και αφηρημένα μοτίβα τριγώνων. Οι «μαθηματικοί» Pat Ashforth και Steve Plummer χρησιμοποίησαν πλεκτές εκδοχές μαθηματικών αντικειμένων όπως εξάφλεξον στη διδασκαλία τους, αν και το σφουγγάρι Menger τους αποδείχτηκε πολύ ενοχλητικό για το πλέξιμο και ήταν κατασκευασμένο από πλαστικό καμβά. Το έργο τους mathghans (Αφγανοί για σχολεία) εισήγαγε το πλέξιμο στο βρετανικό πρόγραμμα σπουδών για τα μαθηματικά και την τεχνολογία.

Μαθηματική Μοντελοποίηση:
Η μοντελοποίηση απέχει πολύ από το να είναι ο μόνος δυνατός τρόπος για να επεξηγηθούν οι μαθηματικές έννοιες. Το τρίπτυχο του Giotto Stefaneschi, 1320, απεικονίζει την αναδρομή με τη μορφή mise en abyme. ο κεντρικός πίνακας του τρίπτυχου περιέχει, κάτω αριστερά, μια γονατιστή φιγούρα του καρδινάλιου Stefaneschi που κρατά το τρίπτυχο ως προσφορά. Οι μεταφυσικοί πίνακες του Τζόρτζιο Κίρικο, όπως το Μεγάλο Μεταφυσικό Εσωτερικό του 1917, διερευνούν το ζήτημα των επιπέδων αναπαράστασης στην τέχνη απεικονίζοντας εικόνες μέσα στους πίνακές του.

Η τέχνη μπορεί να παραδειγματίσει λογικά παράδοξα, όπως σε μερικούς από τους πίνακες του σουρεαλιστή René Magritte, που μπορούν να διαβαστούν ως σημειωτικά αστεία σχετικά με τη σύγχυση μεταξύ των επιπέδων. Στο La condition humaine (1933), ο Magritte απεικονίζει ένα καβαλέτο (σε πραγματικό καμβά), διατηρώντας ομαλά μια θέα μέσα από ένα παράθυρο που πλαισιώνεται από τις «πραγματικές» κουρτίνες του πίνακα. Ομοίως, το Escher's Print Gallery (1956) είναι μια εκτύπωση που απεικονίζει μια παραμορφωμένη πόλη που περιέχει μια γκαλερί που περιέχει την εικόνα αναδρομικά, και ούτω καθ' άπειρον. Ο Μαγκρίτ χρησιμοποίησε σφαίρες και κυβοειδή για να παραμορφώσει την πραγματικότητα με διαφορετικό τρόπο, χρωματίζοντάς τα μαζί με μια ποικιλία σπιτιών στην Ψυχική Αριθμητική του 1911 σαν να ήταν τα δομικά στοιχεία των παιδιών αλλά το μέγεθος ενός σπιτιού. Ο φύλακας παρατήρησεΟ τελευταίος πίνακας του Salvador Dali, The Swallow's Tail (1983), ήταν μέρος μιας σειράς εμπνευσμένης από τη θεωρία της καταστροφής του René Thom. Ο Ισπανός ζωγράφος και γλύπτης Pablo Palazuelo (1916-2007) επικεντρώθηκε στη μελέτη της φόρμας. Ανέπτυξε ένα στυλ το οποίο περιέγραψε ως τη γεωμετρία της ζωής και τη γεωμετρία όλης της φύσης. Αποτελούμενος από απλά γεωμετρικά σχήματα με λεπτομερή μοτίβα και χρωματισμό, σε έργα όπως το Angular I και το Automnes, ο Palazuelo εκφράστηκε με γεωμετρικούς μετασχηματισμούς.Ο καλλιτέχνης Adrian Gray εξασκεί την εξισορρόπηση των βράχων, χρησιμοποιώντας την τριβή και το κέντρο βάρους για να δημιουργήσει εντυπωσιακές και φαινομενικά αδύνατες συνθέσεις.Οι καλλιτέχνες, ωστόσο, δεν παίρνουν απαραίτητα τη γεωμετρία κυριολεκτικά. Όπως γράφει ο Douglas Hofstadter στον στοχασμό του για την ανθρώπινη σκέψη το 1980, οι Gödel, Escher, Bach, ειδικότερα, στα μαθηματικά της τέχνης: «Η διαφορά μεταξύ του σχεδίου του Escher και της μη ευκλείδειας γεωμετρίας είναι ότι στην τελευταία, μπορούν να βρεθούν κατανοητές ερμηνείες για ασαφείς όροι, με αποτέλεσμα ένα κατανοητό συνολικό σύστημα, ενώ για το πρώτο, το τελικό αποτέλεσμα δεν συνάδει με την έννοια του κόσμου, ανεξάρτητα από το πόσο καιρό κοιτάζει κανείς τις φωτογραφίες." Ο Hofstadter συζητά τη φαινομενικά παράδοξη λιθογραφία Print Gallery του M. S. Escher. απεικονίζει μια παραθαλάσσια πόλη που περιέχει μια γκαλερί τέχνης που φαίνεται να περιέχει μια εικόνα μιας παραθαλάσσιας πόλης όπου υπάρχει μια "παράξενη θηλιά ή μπερδεμένη ιεραρχία" στα επίπεδα της πραγματικότητας στην εικόνα. Ο ίδιος ο καλλιτέχνης Hofstadter, δεν βλέπει? η πραγματικότητά του και η σχέση του με τη λιθογραφία δεν είναι παράδοξες. Το κεντρικό κενό της εικόνας έχει προσελκύσει επίσης το ενδιαφέρον των μαθηματικών Bart de Smit και Hendrik Lenstra, οι οποίοι προτείνουν ότι θα μπορούσε να περιέχει ένα αντίγραφο του φαινομένου Droste που περιστρέφεται και συρρικνώνεται. αυτό θα ήταν μια άλλη απεικόνιση της αναδρομής εκτός από αυτό που σημειώθηκε από τον Hofstadter.Η αλγοριθμική ανάλυση εικόνων έργων τέχνης, όπως η χρήση φασματοσκοπίας φθορισμού ακτίνων Χ, μπορεί να αποκαλύψει πληροφορίες για την τέχνη. Τέτοιες τεχνικές μπορούν να αναδείξουν εικόνες σε στρώματα μπογιάς που αργότερα καλύφθηκαν από τον καλλιτέχνη. Βοηθήστε τους ιστορικούς τέχνης να οπτικοποιήσουν ένα κομμάτι πριν σπάσει ή εξαφανιστεί. για να βοηθήσει να πει ένα αντίγραφο του πρωτοτύπου ή να ξεχωρίσει το στυλ του πλοιάρχου από εκείνο των μαθητών του.Το στυλ drip του Jackson Pollock έχει μια ορισμένη διάσταση φράκταλ. Ανάμεσα στους καλλιτέχνες που μπορεί να επηρέασαν το ελεγχόμενο χάος του Πόλοκ, ο Μαξ Ερνστ ζωγράφισε τις φιγούρες της Lissajous όρθιες, κουνώντας έναν τρυπημένο κουβά με μπογιά πάνω από τον καμβά.Ο επιστήμονας υπολογιστών Neil Dodgson ερεύνησε εάν οι ριγέ πίνακες της Bridget Riley μπορούσαν να περιγραφούν μαθηματικά, καταλήγοντας στο συμπέρασμα ότι ενώ η απόσταση διαχωρισμού μπορούσε να "δώσει κάποιο χαρακτηρισμό" και η συνολική εντροπία λειτούργησε σε ορισμένες εικόνες, η αυτοσυσχέτιση απέτυχε επειδή τα σχέδια του Riley ήταν ακανόνιστα. Η τοπική εντροπία λειτούργησε καλύτερα και συσχετίστηκε καλά με την περιγραφή που έδωσε ο ιστορικός τέχνης Robert Kudeika.Το Αισθητικό Μέτρο του Αμερικανού μαθηματικού George Birkhoff το 1933 προσφέρει ένα ποσοτικό μέτρο της αισθητικής ποιότητας ενός έργου τέχνης. Δεν επιχειρεί να μετρήσει τους συνειρμούς του έργου, όπως το τι μπορεί να σημαίνει ένας πίνακας, αλλά περιορίζεται στα «στοιχεία τάξης» μιας πολυγωνικής φιγούρας. Ο Birkhoff αρχικά συνδυάζει (ως άθροισμα) πέντε τέτοια στοιχεία: εάν υπάρχει κατακόρυφος άξονας συμμετρίας. αν υπάρχει οπτική ισορροπία. πόσες περιστροφικές συμμετρίες έχει? ως φιγούρα που μοιάζει με ταπετσαρία. και αν υπάρχουν μη ικανοποιητικά χαρακτηριστικά, όπως η ύπαρξη δύο κορυφών πολύ κοντά μεταξύ τους. Αυτή η μετρική Ο παίρνει μια τιμή από -3 έως 7. Η δεύτερη μετρική C μετράει τα στοιχεία του σχήματος, που για ένα πολύγωνο είναι ο αριθμός των διαφορετικών γραμμών που περιέχουν τουλάχιστον μία από τις πλευρές του. Στη συνέχεια, ο Birkhoff ορίζει το αισθητικό μέτρο της ομορφιάς ενός αντικειμένου ως O/C. Αυτό μπορεί να ερμηνευθεί ως ισορροπία μεταξύ της ευχαρίστησης του να κοιτάς ένα αντικείμενο και του όγκου της προσπάθειας που απαιτείται για να το αποδεχτείς. Η πρόταση του Birkhoff έχει επικριθεί με διάφορους τρόπους, κυρίως επειδή προσπάθησε να βάλει την ομορφιά σε μια φόρμουλα, αλλά ποτέ δεν ισχυρίστηκε ότι το έκανε.Η τέχνη ενίοτε ενθάρρυνε την ανάπτυξη των μαθηματικών, από τότε που η θεωρία του Brunelleschi για την προοπτική στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική ξεκίνησε έναν κύκλο έρευνας που οδήγησε στο έργο των Brooke Taylor και Johann Heinrich Lambert σχετικά με τα μαθηματικά θεμέλια του σχεδίου προοπτικής και, τελικά, στα μαθηματικά. της προβολικής γεωμετρίας των Girard Desargues και Jean-Victor Poncelet.Η ιαπωνική τέχνη του origami με το δίπλωμα χαρτιού επεξεργάστηκε μαθηματικά από τον Tomoko Fuse χρησιμοποιώντας μονάδες, ομοιόμορφα κομμάτια χαρτιού όπως τετράγωνα και μετατρέποντάς τα σε πολύεδρα ή tilgas. Το δίπλωμα χαρτιού χρησιμοποιήθηκε το 1893 από τον T. Sundara Rao στις Γεωμετρικές Ασκήσεις δίπλωσης χαρτιού για να επιδείξει γεωμετρικά στοιχεία. Τα μαθηματικά της αναδίπλωσης του χαρτιού έχουν διερευνηθεί στο θεώρημα του Makawa, στο θεώρημα του Kawasaki και στα αξιώματα Huzita-Hatori.Οπτικές ψευδαισθήσεις, όπως η σπείρα Fraser, καταδεικνύουν οπτικά τους περιορισμούς στην ανθρώπινη οπτική αντίληψη, δημιουργώντας αυτό που ο ιστορικός τέχνης Ernst Gombrich αποκάλεσε «ένα τέχνασμα». Τα ασπρόμαυρα σχοινιά που φαίνεται να σχηματίζουν σπείρες είναι στην πραγματικότητα ομόκεντροι κύκλοι. Στη ζωγραφική και τη γραφική τέχνη των μέσων του εικοστού αιώνα ή στην οπτική τέχνη, τέτοια εφέ χρησιμοποιήθηκαν για να δημιουργήσουν την εντύπωση της κίνησης και των αστραφτερών ή δονούμενων μοτίβων που φαίνονται στα έργα καλλιτεχνών όπως η Bridget Riley, ο Σπύρος Χόραμης και ο Victor Vasarely.Ένα σκέλος τέχνης από την αρχαία Ελλάδα και μετά βλέπει τον Θεό ως τον γεωμέτρη του κόσμου και τη γεωμετρία του κόσμου ως ιερή. Η πεποίθηση ότι ο Θεός δημιούργησε το σύμπαν σύμφωνα με ένα γεωμετρικό σχέδιο είναι αρχαίας προέλευσης. Ο Πλούταρχος εξήγησε την πίστη στον Πλάτωνα γράφοντας ότι «ο Πλάτων είπε ότι ο Θεός γεωμετρεί συνεχώς» (Convivialium disputum, liber 8,2). Αυτή η εικόνα έχει επηρεάσει τη δυτική σκέψη από τότε. Η πλατωνική αντίληψη, με τη σειρά της, βασίστηκε στην πυθαγόρεια έννοια της αρμονίας στη μουσική, όπου οι νότες ήταν διατεταγμένες σε τέλειες αναλογίες που αντιστοιχούσαν στα μήκη των γραμμών της λύρας. πράγματι, οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι τα πάντα τακτοποιούσε ο Αριθμός. Με τον ίδιο τρόπο, σύμφωνα με τον Πλάτωνα, τα κανονικά ή πλατωνικά στερεά υπαγορεύουν τις αναλογίες που βρίσκονται στη φύση και στην τέχνη. Ένα μεσαιωνικό χειρόγραφο μπορεί να αναφέρεται σε ένα εδάφιο στην Παλαιά Διαθήκη: «Όταν ίδρυσε τους ουρανούς, ήμουν εκεί· όταν έβαλε την πυξίδα στο πρόσωπο του βαθέως» (Παροιμίες 8:27), δείχνοντας στον Θεό ένα ζευγάρι πυξίδες. Το 1596, ο μαθηματικός αστρονόμος Johannes Kepler μοντελοποίησε το σύμπαν ως ένα σύνολο ένθετων πλατωνικών στερεών, προσδιορίζοντας τα σχετικά μεγέθη των τροχιών των πλανητών. Το "Branch of the Day" του William Blake και ο πίνακας του με τον φυσικό Isaac Newton, γυμνός και σχεδιάζοντας με πυξίδα, επιχειρούν να απεικονίσουν την αντίθεση μεταξύ του μαθηματικά τέλειου πνευματικού κόσμου και του ατελούς φυσικού κόσμου, όπως η σταύρωση του Salvador Dalí το 1954 (Hypercubus Corps) , που απεικονίζει τον σταυρό ως υπερκύβο που αντιπροσωπεύει μια θεϊκή προοπτική με τέσσερις διαστάσεις και όχι τις τρεις συνηθισμένες. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο. όταν έβαλε την πυξίδα στο πρόσωπο του βαθέως» (Παροιμίες 8:27), δείχνοντας στον Θεό ένα ζευγάρι πυξίδες. Το 1596, ο μαθηματικός αστρονόμος Johannes Kepler μοντελοποίησε το σύμπαν ως ένα σύνολο ένθετων πλατωνικών στερεών, προσδιορίζοντας τα σχετικά μεγέθη των τροχιών των πλανητών. Το "Branch of the Day" του William Blake και ο πίνακας του με τον φυσικό Isaac Newton, γυμνός και σχεδιάζοντας με πυξίδα, επιχειρούν να απεικονίσουν την αντίθεση μεταξύ του μαθηματικά τέλειου πνευματικού κόσμου και του ατελούς φυσικού κόσμου, όπως η σταύρωση του Salvador Dalí το 1954 (Hypercubus Corps) , που απεικονίζει τον σταυρό ως υπερκύβο που αντιπροσωπεύει μια θεϊκή προοπτική με τέσσερις διαστάσεις και όχι τις τρεις συνηθισμένες. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο. όταν έβαλε την πυξίδα στο πρόσωπο του βαθέως» (Παροιμίες 8:27), δείχνοντας στον Θεό ένα ζευγάρι πυξίδες. Το 1596, ο μαθηματικός αστρονόμος Johannes Kepler μοντελοποίησε το σύμπαν ως ένα σύνολο ένθετων πλατωνικών στερεών, προσδιορίζοντας τα σχετικά μεγέθη των τροχιών των πλανητών. Το "Branch of the Day" του William Blake και ο πίνακας του με τον φυσικό Isaac Newton, γυμνός και σχεδιάζοντας με πυξίδα, επιχειρούν να απεικονίσουν την αντίθεση μεταξύ του μαθηματικά τέλειου πνευματικού κόσμου και του ατελούς φυσικού κόσμου, όπως η σταύρωση του Salvador Dalí το 1954 (Hypercubus Corps) , που απεικονίζει τον σταυρό ως υπερκύβο που αντιπροσωπεύει μια θεϊκή προοπτική με τέσσερις διαστάσεις και όχι τις τρεις συνηθισμένες. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο. Το 1596, ο μαθηματικός αστρονόμος Johannes Kepler μοντελοποίησε το σύμπαν ως ένα σύνολο ένθετων πλατωνικών στερεών, προσδιορίζοντας τα σχετικά μεγέθη των τροχιών των πλανητών. Το "Branch of the Day" του William Blake και ο πίνακας του με τον φυσικό Isaac Newton, γυμνός και σχεδιάζοντας με πυξίδα, επιχειρούν να απεικονίσουν την αντίθεση μεταξύ του μαθηματικά τέλειου πνευματικού κόσμου και του ατελούς φυσικού κόσμου, όπως η σταύρωση του Salvador Dalí το 1954 (Hypercubus Corps) , που απεικονίζει τον σταυρό ως υπερκύβο που αντιπροσωπεύει μια θεϊκή προοπτική με τέσσερις διαστάσεις και όχι τις τρεις συνηθισμένες. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο. Το 1596, ο μαθηματικός αστρονόμος Johannes Kepler μοντελοποίησε το σύμπαν ως ένα σύνολο ένθετων πλατωνικών στερεών, προσδιορίζοντας τα σχετικά μεγέθη των τροχιών των πλανητών. Το "Branch of the Day" του William Blake και ο πίνακας του με τον φυσικό Isaac Newton, γυμνός και σχεδιάζοντας με πυξίδα, επιχειρούν να απεικονίσουν την αντίθεση μεταξύ του μαθηματικά τέλειου πνευματικού κόσμου και του ατελούς φυσικού κόσμου, όπως η σταύρωση του Salvador Dalí το 1954 (Hypercubus Corps) , που απεικονίζει τον σταυρό ως υπερκύβο που αντιπροσωπεύει μια θεϊκή προοπτική με τέσσερις διαστάσεις και όχι τις τρεις συνηθισμένες. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο. Το "Branch of the Day" του William Blake και ο πίνακας του με τον φυσικό Isaac Newton, γυμνός και σχεδιάζοντας με πυξίδα, επιχειρούν να απεικονίσουν την αντίθεση μεταξύ του μαθηματικά τέλειου πνευματικού κόσμου και του ατελούς φυσικού κόσμου, όπως η σταύρωση του Salvador Dalí το 1954 (Hypercubus Corps) , που απεικονίζει τον σταυρό ως υπερκύβο που αντιπροσωπεύει μια θεϊκή προοπτική με τέσσερις διαστάσεις και όχι τις τρεις συνηθισμένες. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο. Το "Branch of the Day" του William Blake και ο πίνακας του με τον φυσικό Isaac Newton, γυμνός και σχεδιάζοντας με πυξίδα, επιχειρούν να απεικονίσουν την αντίθεση μεταξύ του μαθηματικά τέλειου πνευματικού κόσμου και του ατελούς φυσικού κόσμου, όπως η σταύρωση του Salvador Dalí το 1954 (Hypercubus Corps) , που απεικονίζει τον σταυρό ως υπερκύβο που αντιπροσωπεύει μια θεϊκή προοπτική με τέσσερις διαστάσεις και όχι τις τρεις συνηθισμένες. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο. όχι τα συνηθισμένα τρία. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο. όχι τα συνηθισμένα τρία. Στο «Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» (1955) του Νταλί, ο Χριστός και οι μαθητές του απεικονίζονται μέσα σε ένα γιγάντιο δωδεκάεδρο.