Λυμένη άσκηση στην αριθμητική πρόοδο με αυξημένη δυσκολία μαθηματικά λυκείου

 Εκφώνηση:

Έστω μια αριθμητική πρόοδος $(a_n)$ με πρώτο όρο $a_1 = \frac{1}{3}$ και διαφορά όρων $d = \frac{2}{5}$ 

Ερωτήματα: 

Υπολογισμός γενικού όρου:

1. • Να βρείτε τον γενικό τύπο του όρου $a_n$ της αριθμητικής προόδου.

2. Εύρεση συγκεκριμένου όρου:

   • Ποιος είναι ο 20ός όρος της προόδου;

3. Συνθήκη μη αρνητικότητας:

   • Ποιο είναι το μικρότερο φυσικό $n$ για το οποίο ισχύει $a_n \geq 5$;

4. Άθροισμα όρων:

   • Υπολογίστε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων της προόδου.

5. Αντίστροφο πρόβλημα:

   • Υπάρχει κάποιος όρος της προόδου που να είναι ίσος με $\frac{22}{3}$; Αν ναι, βρείτε τον αριθμό του όρου.

6. Λογική σκέψη και κριτική ικανότητα:

• Αν ξέρατε μόνο τους όρους $a_5 = \frac{13}{15}$ και $a_{10} = \frac{23}{15}$, θα μπορούσατε να βρείτε την αριθμητική διαφορά χωρίς να γνωρίζετε τον $a_{\mathrm{1 }}$

Λύσεις και καθοδήγηση:

1. Γενικός τύπος:

   $$a_n = a_1 + (n-1) d$$ 

2. 20ός όρος:

   $$a_{20} = \frac{1}{3} + (20-1) \cdot \frac{2}{5}$$

3. Λύση της ανίσωσης:

   $$\frac{1}{3} + (n-1) \cdot \frac{2}{5} \geq 5$$ 

4. Άθροισμα όρων:

   $$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)$$ 

5. Επίλυση εξίσωσης:

   $$\frac{1}{3} + (n-1) \cdot \frac{2}{5} = \frac{22}{3}$$

6. Υπολογισμός $d$ από δύο όρους:

   $$d = \frac{a_{10} - a_5}{10 - 5}$$

Ακολουθήστε  μας  στο   FACEBOOK   και στο   INSTAGRAM    για περισσότερες αναρτήσεις